2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第3章解答题专项突破（二）　三角函数与解三角形

解答题专项突破(二)　三角函数与解三角形

从近几年高考情况来看，高考对本部分内容的考查主要有：①三角恒等变换与三角函数的图象、性质相结合；②三角恒等变换与解三角形相结合．难度一般不大，属中档题型．

备考时要熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒等变换的技巧，如角的变换、函数名称的变换等．此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化．

热点题型1　三角函数的图象与性质

　　(2019·潍坊联考)设函数f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＋(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为.

(1)求ω的值；

(2)若函数y＝f(x＋φ)是奇函数，求函数g(x)＝cos(2x－φ)在[0,2π]上的单调递减区间．

解题思路　(1)利用三角恒等变换将函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再根据图象上相邻最高点与最低点的距离求出函数周期，从而确定ω.

(2)由(1)写出函数y＝f(x＋φ)的解析式．由奇函数确定φ，从而确定函数g(x)的解析式，进一步确定函数g(x)的单调区间．

规范解答　(1)f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＋

＝sin2ωx－＋

＝sin2ωx－cos2ωx

＝sin.

设T为f(x)的最小正周期，由f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为，得2＋[2f(x)max]2＝π2＋4.

∵f(x)max＝1，∴2＋4＝π2＋4，整理得T＝2π.

又ω>0，T＝＝2π，∴ω＝.

(2)由(1)可知f(x)＝sin，

∴f(x＋φ)＝sin.

∵y＝f(x＋φ)是奇函数，

∴sin＝0.

又0<φ<，

∴φ＝，∴g(x)＝cos(2x－φ)＝cos.

令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，

则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，

∴函数g(x)的单调递减区间是，k∈Z.

又x∈[0,2π]，

∴当k＝0时，g(x)的单调递减区间为；

当k＝1时，g(x)的单调递减区间为.

∴函数g(x)在[0,2π]上的单调递减区间是，.

　　(2019·湘中名校联考)已知函数f(x)＝sinωx－sin(ω>0)．

(1)若f(x)在[0，π]上的值域为，求ω的取值范围；

(2)若f(x)在上单调，且f(0)＋f＝0，求ω的值．

解题思路　(1)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式→由x∈[0，π]推出ωx＋φ的取值范围→利用正弦函数图象确定，为使值域为，ω要满足的不等式，求出ω的取值范围．

(2)①f(x)在上单调→周期满足的不等式，确定ω的取值范围．

②f(0)＋f＝0→是f(x)图象的对称中心→求ω的可能取值．

③综合①②确定ω的值．

规范解答　f(x)＝sinωx－sin

＝sinωx－sinωx－cosωx

＝sinωx－cosωx

＝sin.

(1)由x∈[0，π]⇒ωx－∈，

又f(x)在[0，π]上的值域为，

即最小值为－，最大值为1，

则由正弦函数的图象可知≤ωπ－≤，

解得≤ω≤.

所以ω的取值范围是.

(2)因为f(x)在上单调，

所以≥－0，则≥，

即ω≤3，又ω>0，所以0<ω≤3，

由f(0)＋f＝0且f(x)在上单调，

得是f(x)图象的对称中心，

所以－＝kπ，k∈Z⇒ω＝6k＋2，k∈Z，

又0<ω≤3，所以ω＝2.

热点题型2　解三角形

　　(2019·湖北省“四地七校”联考)如图，A，B，C，D四点共圆，∠A为钝角且sinA＝，BA＝BC＝10，BD＝6.

(1)求边AD的长；

(2)设∠BDC＝α，∠CBD＝β，求sin(2α＋β)的值．

解题思路　(1)已知两边一角，利用余弦定理可求第三边．

(2)连接AC，根据圆周角定理的推论可得到2α＋β与∠ABD互补，再利用正弦定理求∠ABD的正弦即可．

规范解答　(1)∵sinA＝，且∠A为钝角，

∴cosA＝－＝－.

在△ABD中，由余弦定理得，

AD2＋AB2－2AD·AB·cosA＝BD2，

∴AD2＋16AD－80＝0，

解得AD＝4或AD＝－20(舍去)，故AD＝4.

(2)如图，连接AC，则∠BDC＝∠BAC＝∠ADB＝∠ACB＝α，∠CBD＝∠CAD＝β，

则2π＝∠BCD＋∠CDA＋∠BAD＋∠CBA，即2π＝4α＋2β＋2∠ABD，

故2α＋β＋∠ABD＝π，

则2α＋β与∠ABD互补，于是sin(2α＋β)＝sin∠ABD，在△ABD中，由正弦定理＝⇒sin∠ABD＝，所以sin(2α＋β)＝.

　　已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝.

(1)求b的值；

(2)若cosB＋sinB＝2，求a＋c的取值范围．

解题思路　(1)用正、余弦定理化角为边→求b.

(2)用cosB＋sinB＝2和sin2B＋cos2B＝1，求B→A与C的关系和A的取值范围→用正弦定理把a＋c化为角，构建关于A的三角函数→求此函数的值域，得a＋c的取值范围．

规范解答　(1)在△ABC中，

∵＋＝，

∴＋＝，

∴＝，解得b＝.

(2)∵cosB＋sinB＝2，

∴cosB＝2－sinB，

∴sin2B＋cos2B＝sin2B＋(2－sinB)2

＝4sin2B－4sinB＋4＝1，

∴4sin2B－4sinB＋3＝0，解得sinB＝，

从而求得cosB＝，

∴B＝.

由正弦定理得＝＝＝＝1，

∴a＝sinA，c＝sinC.

由A＋B＋C＝π得A＋C＝，

∴C＝－A，且0<A<.

∴a＋c＝sinA＋sinC

＝sinA＋sin

＝sinA＋sincosA－cossinA

＝sinA＋cosA

＝sin.

∵0<A<，∴<A＋<，

∴<sin≤1，

∴<sin≤ ，

∴a＋c的取值范围是.