2021届浙江省高考数学一轮学案：第五章第4节　二倍角公式

第4节　二倍角公式

考试要求　掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

知 识 梳 理

二倍角公式

sin 2α＝2sin__αcos__α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝.

[常用结论与易错提醒]

二倍角公式变形

(1)升降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；

sin αcos α＝sin 2α.

(2)配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2.

诊 断 自 测

1.判断下列说法的正误.

(1)二倍角的正弦、余弦公式对任意角都成立.(　　)

(2)二倍角正切公式左右两端有意义的范围不完全相同.(　　)

(3)在使左右两端都有意义的条件下，二倍角正切公式才成立.(　　)

(4)不存在α，使tan 2α＝2tan α.(　　)

解析　当α＝0时，tan 2α＝2tan α，(4)不正确，如α＝0.

答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

2.(2020·金华十校期末调研)已知x∈，sin x＝－，则tan 2x＝(　　)

A.   B.－ 

C.   D.－

解析　因为x∈，sin x＝－，所以cos x＝＝，tan x＝＝－，则tan 2x＝＝－，故选D.

答案　D

3.若α∈，则＋的值为(　　)

A.2cos    B.－2cos

C.2sin    D.－2sin

解析　∵α∈，∴≤≤，

∴＋＝＋

＝－－＝－2sin.

答案　D

4.已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f的值为(　　)

A.   B.－ 

C.   D.－

解析　∵＋＝，∴cos＝sin，

∴f(x)＝cos2－cos2

＝cos2－sin2

＝cos

＝－sin 2x，

故f＝－sin＝－.

答案　B

5.已知tan＝2，则cos 2α的值是________.

解析　因为tan＝2，所以cos 2α＝－sin＝－＝－＝－.

答案　－

6.若sin θ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝__________，tan 2θ＝__________.

解析　由题意知，因为sin θ＜0，tan θ＞0，所以cos θ＜0，又sin2θ＋cos2θ＝1，故cos θ＝－，又由tan θ＝＝，tan 2θ＝，

可知tan 2θ＝.

答案　－　

考点一　二倍角公式的正用

【例1】 (1)(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

(2)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)

A.－   B.－ 

C.   D.

解析　(1)由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.

又α∈，所以2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，所以sin α＝.

(2)sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.

答案　(1)B　(2)A

规律方法　二倍角公式与其他公式应用时注意：“化异为同”，即“化异次为同次，化异角为同角”.

【训练1】 (1)(一题多解)已知α为锐角，且tan α＝，则sin 2α＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

(2)若cos 2α＝2cos，α∈(0，π)，则sin 2α＝________，tan α＝________.

解析　(1)法一　sin 2α＝＝＝＝，故选D.

法二　由α为锐角，且tan α＝，得sin α＝，cos α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故选D.

(2)cos 2α＝2cos，α∈(0，π)，得cos2α－sin2α＝cos α－sin α，α∈(0，π)，即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α－sin α)　①，α∈(0，π)，当cos α－sin α＝0时，α＝；当cos α－sin α≠0时，①式化简为cos α＋sin α＝，α∈(0，π)，即sin＝1，α∈(0，π)，即α＝，综上所述，α＝，则sin 2α＝sin＝1，tan α＝tan＝1.

答案　(1)D　(2)1　1

考点二　二倍角公式的逆用

【例2】 (1)4cos 50°－tan 40°＝(　　)

A.   B.

C.   D.2－1

(2)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝________.

解析　(1)原式＝4sin 40°－

＝＝

＝＝

＝＝，故选C.

(2)原式＝cos 20°cos 40°··cos 80°

＝

＝

＝

＝

＝.

答案　(1)C　(2)

规律方法　利用二倍角公式可对形如cos αcos 2αcos 4α…cos 2nα的式子进行化简和计算.

【训练2】 (1)化简：＝________.

(2)计算：＝________.

解析　(1)原式＝

＝＝

＝＝cos 2α.

(2)原式＝＝

＝＝

＝＝－4.

答案　(1)cos 2α　(2)－4

考点三　二倍角公式的变形应用

【例3】 化简下列各式

(1)＋2的化简结果是________.

(2)(0<α<π)＝________.

解析　(1)原式＝＋2

＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，

因为π<4<π，所以cos 4<0，且sin 4<cos 4，

所以原式＝－2cos 4－2(sin 4－cos 4)＝－2sin 4.

(2)原式＝＝＝.

因为0<α<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝cos α.

答案　(1)－2sin 4　(2)cos α

规律方法　二倍角公式的常见变形有1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos 2α＝2cos2α，1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，及cos2α＝，sin2α＝，sin αcos α＝sin 2α等.

【训练3】 求值：－sin 10°.

解　原式＝－sin 10°

＝－sin 10°·

＝－sin 10°·

＝－2cos 10°＝

＝

＝

＝

＝

＝.

基础巩固题组

一、选择题

1.化简·的结果为(　　)

A.tan α   B.tan 2α 

C.1   D.

解析　原式＝·＝＝tan 2α.

答案　B

2.若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)

A.－   B.－ 

C.   D.

解析　tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.

答案　D

3.cos·cos·cos＝(　　)

A.－   B.－ 

C.   D.

解析　cos·cos·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°

＝－

＝－

＝－

＝－＝－＝－.

答案　A

4.化简sin2＋sin2－sin2α的结果是(　　)

A.   B. 

C.   D.

解析　原式＝＋－sin2α

＝1－－sin2α

＝1－×2cos 2αcos －＝.

答案　C

5.设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则有(　　)

A.a＜c＜b   B.a＜b＜c 

C.b＜c＜a   D.c＜a＜b

解析　由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°，∴c＜a＜b.

答案　D

6.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)

A.2   B.3 

C.4   D.5

解析　令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin xcos x＝0，

∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.

又x∈[0，2π]，由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.

故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个.故选B.

答案　B

二、填空题

7.若cos＝，则sin的值是________.

解析　sin＝sin＝

cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.

答案　－

8.已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________.

解析　sin＝，得sin θ－cos θ＝，①

θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.

答案　－

9.已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.

解析　∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，

∴sin 2α＝＝，

∴cos＝cos 2α－sin 2α

＝×－×＝.

答案　

10.已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，则＝________.

解析　∵sin θ－cos θ＝－，即cos θ－sin θ＝，cos＝，即cos＝.

∵θ∈，∴<θ＋<，∴sin＝＝.

∴＝

＝

＝(sin θ＋cos θ)＝2sin＝.

答案　

三、解答题

11.已知函数f(x)＝－2sin x－cos 2x.

(1)比较f，f的大小；

(2)求函数f(x)的最大值.

解　(1)因为f(x)＝－2sin x－cos 2x，

所以f＝－2sin －cos＝－，

f＝－2sin －cos＝－，

因为－>－，所以f>f.

(2)因为f(x)＝－2sin x－(1－2sin2x)

＝2sin2x－2sin x－1

＝2－，

令t＝sin x，t∈[－1，1]，所以y＝2－，

因为对称轴t＝，

根据二次函数性质知，当t＝－1时，函数取得最大值3.

12.(2019·七彩阳光联盟三联)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上.

(1)求cos 2α的值；

(2)若角β满足tan(2α－β)＝1，求tan β的值.

解　(1)由已知得tan α＝2，

所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝

＝－.

(2)由(1)知tan 2α＝＝－，

而tan β＝tan[2α－(2α－β)]＝

＝＝7.

能力提升题组

13.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)

A.   B. 

C.   D.1

解析　由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.故选B.

答案　B

14.已知不等式f(x)＝3sin cos ＋cos2－＋m≤0对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A.[，＋∞)   B.(－∞，)

C.(－∞，－]   D.[－，]

解析　f(x)＝sin ＋＋m

＝＋m≤0，

∴m≤－sin ，x∈，

令g(x)＝－sin，x∈，

∵－≤＋≤，

∴g(x)min＝－，∴m∈(－∞，－].

答案　C

15.(一题多解)(2019·江苏卷)已知＝－，则sin的值是________.

解析　法一　由＝＝＝－，解得 tan α＝2或－.

sin＝

＝(2sin αcos α＋2cos2α－1)

＝(sin αcos α＋cos2α)－

＝·－

＝·－，

将tan α＝2和－分别代入得sin＝.

法二　∵＝＝－，

∴sin αcos＝－cos αsin.①

又sin ＝sin

＝sincos α－cossin α＝，②

由①②解得sin αcos＝－，

cos αsin＝.

∴sin＝sin

＝sin αcos＋cos αsin＝.

答案　

16.若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝__________；cos＝__________.

解析　因为sin 2θ＝，θ∈，所以sin θ＞0，cos θ＞0，且sin θ＞cos θ，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝＝，所以sin θ＋cos θ＝，同理可得sin θ－cos θ＝，所以sin θ＝.

因为θ∈，sin 2θ＝，所以cos 2θ＝－，

所以cos＝cos 2θ－sin 2θ＝－.

答案　　－

17.已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)－1.

(1)求f的值；

(2)若f(x0)＝，x0∈，求sin 2x0的值.

解　(1)因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，

所以f＝2sin＝2sin ＝2.

(2)由上可知f(x0)＝2sin＝，

所以sin＝.

由x0∈，得2x0＋∈.

由0<sin＝<，知2x0＋∈，从而有cos＝－，

所以sin 2x0＝sin

＝·－·

＝.

18.已知f(x)＝sin x＋2sincos.

(1)若f(α)＝，α∈，求α的值；

(2)若sin ＝，x0∈，求f(x0)的值.

解　(1)由条件可得f(x)＝sin x＋cos x

＝sin.

因为f(α)＝，α∈，

所以sin＝，sin＝，

因为α＋∈，

则α＋＝，解得α＝－.

(2)因为sin ＝，x0∈，

得sin x0＝，cos x0＝－，

所以f(x0)＝.