2021届浙江省高考数学一轮学案：第五章加强练（五）　三角函数、解三角形

加强练(五)　三角函数、解三角形

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知角α的终边经过点(，)，若α＝，则m的值为(　　)

A.27   B. 

C.9   D.

解析　由正切函数的定义可得tan ＝，即m－＝，则m－＝，所以m＝(3)－6＝3－3＝，故选B.

答案　B

2.(2019·镇海中学模拟)若y＝f(x)·sin x是周期为π的奇函数，则f(x)可以是(　　)

A.sin x  B.cos x  C.sin 2x  D.cos 2x

解析　因为函数sin xcos x＝sin 2x是周期为π的奇函数，所以可知f(x)＝cos x，故选B.

答案　B

3.已知sin α＋cos α＝，则sin2＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

解析　对sin α＋cos α＝平方得1＋sin 2α＝，

∴sin 2α＝－，

∴sin2＝＝＝.

答案　B

4.在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，则cos C的值是(　　)

A.   B.

C.或   D.以上都不对

解析　cos B＝>0，∴B为锐角，sin B＝，又sin A＝<sin B，由正弦定理得0<A<B<，cos A＝，cos C＝cos＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝.

答案　B

5.(2020·浙江十校联盟适考)将函数f(x)＝sin 2x－2cos2x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为(　　)

A.   B. 

C.   D.

解析　将函数f(x)＝sin 2x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin－1的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数y＝2sin－1的图象，再向右平移个单位长度得到函数g(x)＝2sin－1＝2sin－1的图象，令x－＝kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，则函数g(x)＝2sin－1的一个对称中心为，故选D.

答案　D

6.(2019·浙江三校三联)函数y＝sin(πx＋φ)(φ＞0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB＝(　　)

A.   B.

C.10   D.8

解析　过点P作x轴的垂线，垂足为点C，则易得CP＝1，AC＝T＝×＝，BC＝ T＝，则tan∠APC＝，tan∠BPC＝，则tan∠APB＝tan(∠APC＋∠BPC)＝＝8，故选D.

答案　D

7.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)

A.6   B.5 

C.4   D.3

解析　∵asin A－bsin B＝4csin C，

∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.

由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.故选A.

答案　A

8.(2020·台州期末评估)已知函数y＝sin x＋acos x，x∈的最小值为a，则实数a的取值范围是(　　)

A.[0，]   B.[－，]

C.(－∞，]   D.

解析　设y＝f(x)＝sin x＋acos x，则f(0)＝a，又函数f(x)的最小正周期是2π，所以此函数在的左端点处取到最小值，所以必有f(0)≤f，即a≤＋a，解得a≤，故选C.

答案　C

9.(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是(　　)

A.①②④   B.②④ 

C.①④   D.①③

解析　f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数，①正确；

当x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函数f(x)在单调递减，②错误.

如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确.综上，正确结论的序号是①④.故选C.

答案　C

10.(2019·浙江名师预测卷四)若不等式(|x－a|－b)×cos≤0在x∈上恒成立，则a＋b的最小值为(　　)

A.   B.1 

C.   D.2

解析　当x∈时，πx－∈，cos≥0，所以|x－a|－b≤0，则a－b≤x≤a＋b，所以a＋b≥.故选A.

答案　A

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)

11.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.

解析　∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.

又由正弦定理＝，故－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.

答案　

12.(2020·嘉兴测试)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期是4π，则ω＝________，若f＝，则cos θ＝________.

解析　函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期是＝4π，则ω＝，f(x)＝sin.若f＝sin＝cos ＝，则cos θ＝2cos2－1＝－.

答案　　－

13.(2019·浙江“超级全能生”联考)如图，在△ABC中，AB＞AC，BC＝2，A＝60°，△ABC的面积等于2，则sin B＝________，角平分线AM的长为________.

解析　由题意知解得所以sin B＝＝.因为BC＞AC，所以B＝30°，C＝90°，在Rt△ACM中，AM＝＝.

答案　　

14.(2020·宁波模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.若函数g(x)为偶函数，则φ的值为________，此时函数f(x)在区间上的值域是________.

解析　由已知有＝×，则ω＝2，

因此f(x)＝2sin(2x＋φ)向左平移个单位长度，

得g(x)＝2sin＝2sin，

因为g(x)为偶函数，则＋φ＝＋kπ，k∈Z，|φ|＜，故φ＝－；由f(x)＝2sin知，当x∈时，u＝2x－∈，故f(x)＝2sin u∈(－1，2)，即值域为(－1，2).

答案　－　(－1，2)

15.(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.

解析　由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，∴ωmin＝.

答案　

16.已知3sin2x＋2sin2y＝2sin x，则sin2x＋sin2y的最大值为________，最小值为________.

解析　3sin2x＋2sin2y＝2sin x⇒sin2y＝sin x－sin2x⇒sin2x＋sin2y＝sin x－sin2x＝－(sin x－1)2，由于sin2y＝sin x－sin2x≥0，由已知条件知sin x≥0，∴sin x－1≤0⇒sin x∈，故sin2x＋sin2y＝－(sin x－1)2∈.

答案　　0

17.在平面四边形ABCD中，A＝B＝C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________.

解析　如图所示，延长BA与CD相交于点E，

过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF<AB<BE(利用CF向左平移即可).

在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，

所以BF＝＝－.

在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，

BE＝CE，BC＝2，＝，所以BE＝×＝＋，所以－<AB<＋.

答案　(－，＋)

三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(本小题满分14分)(2019·温州适应性考试)如图，在单位圆上，∠AOB＝α，∠BOC＝，且△AOC的面积为.

(1)求sin α的值；

(2)求2cossin的值.

解　(1)S△AOC＝sin＝，

∴sin＝，∵＜α＜，

∴＜α＋＜，∴cos＝－，

sin α＝sin

＝sincos －cossin

＝×＋×＝.

(2)2cossin＝2sin2

＝1－cos＝.

19.(本小题满分15分)(2020·杭州四中仿真)已知函数f(x)＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x，x∈R.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)求方程f(x)＝0在(0，π)内的所有解.

解　(1)f(x)＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)由f(x)＝0得2sin＝0，

解得2x＋＝kπ，即x＝－＋，k∈Z，

∵x∈(0，π)，∴x＝或x＝.

20.(本小题满分15分)(2019·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.

(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；

(2)若＝，求sin的值.

解　(1)因为a＝3c，b＝，cos B＝，

由余弦定理得cos B＝，

即＝，解得c2＝.所以c＝.

(2)因为＝，由正弦定理＝，得＝，所以cos B＝2sin B.从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝.因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0，从而cos B＝.因此sin＝cos B＝.

21.(本小题满分15分)(2020·浙江“超级全能生”联考)已知函数f(x)＝4sin x·cos－.

(1)求f的值和f(x)的最小正周期；

(2)在△ABC中，f＝，a＝，求△ABC面积的最大值.

解　(1)f(x)＝4sin x·cos－

＝sin 2x－cos 2x＝2sin，

所以f＝，f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)由f＝，得A＝，

又a＝，由余弦定理得3＝b2＋c2＋bc≥3bc，

所以bc≤1，所以△ABC的面积S△ABC＝bcsin A≤，

当且仅当b＝c＝1时，取到最大值.

22.(本小题满分15分)(2020·绍兴一中适考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A＋sin2B＋sin Asin B＝2csin C，△ABC的面积S＝abc.

(1)求角C；

(2)求△ABC周长的取值范围.

解　(1)由S＝abc＝absin C可知2c＝sin C，∴sin2A＋sin2B＋sin Asin B＝sin2C.由正弦定理得a2＋b2＋ab＝c2.由余弦定理得cos C＝＝－，

∴C∈(0，π)，∴C＝.

(2)由(1)知2c＝sin C，∴2a＝sin A，2b＝sin B.

△ABC的周长为a＋b＋c＝(sin A＋sin B＋sin C)

＝＋

＝＋

＝＋

＝sin＋.

∵A∈，∴A＋∈，∴sin∈，∴sin＋∈.

∴△ABC的周长的取值范围为.