2021版高考物理大一轮复习通用版教师用书：第4章第1节　曲线运动、运动的合成与分解

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第1节　曲线运动、运动的合成与分解

一、曲线运动

1．速度的方向

质点在某一点的速度方向，为沿曲线在这一点的切线方向。

2．运动的性质

做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。

3．曲线运动的条件

二、运动的合成与分解

1．遵循的法则

位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。

2．合运动与分运动的关系

合运动与分运动是等效替代关系，且具有等时性和独立性。

3．合运动的性质判断

4．两个直线运动的合运动性质的判断

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)曲线运动的速度大小可能不变。 (√)

(2)曲线运动的加速度可以为零。 (×)

(3)合运动的速度一定大于分运动的速度。 (×)

(4)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。 (×)

(5)船的实际运动即为船的合运动，其轨迹与水流速度和船在静水中的速度有关。 (√)

(6)船头指向的运动方向为船在静水中的速度方向。 (√)

2．(人教版必修2P6“演示实验”改编)如图所示，水平桌面上一小铁球沿直线运动。若在铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁铁，下列关于小球运动的说法正确的是(　　)

A．磁铁放在A处时，小铁球做匀速直线运动

B．磁铁放在A处时，小铁球做匀加速直线运动

C．磁铁放在B处时，小铁球做匀速圆周运动

D．磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动

D　[磁铁放在A处时，小铁球做变加速直线运动，选项A、B错误；磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动，选项C错误，D正确。]

3．(人教版必修2P4“演示实验”改编)如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动。红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L。则下列说法正确的是(　　)

A．v增大时，L减小 B．v增大时，L增大

C．v增大时，t减小 D．v增大时，t增大

B　[红蜡块沿玻璃管上升的高度和速度不变，运动时间不变，由合运动与分运动的等时性知，玻璃管匀速运动的速度越大，则合速度越大，合位移越大，选项B正确。]

4．(人教版必修2P7T2改编)(多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)

A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作

B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害

C．运动员下落时间与风力无关

D．运动员着地速度与风力无关

BC　[运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落和水平方向随风飘，两个分运动同时发生，相互独立，因而，水平风速越大，落地的合速度越大，但落地时间不变，故选项B、C正确，A、D错误。]

曲线运动条件与轨迹分析　[依题组训练]

1．(2019·江苏黄桥中学模拟)关于物体的受力和运动，下列说法中正确的是(　　)

A．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变

B．物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点曲线的切线方向

C．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变

D．做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的外力作用

D　[如果合力与速度方向不垂直，必然有沿速度方向的分力，速度大小一定改变，故A错误；物体做曲线运动时，通过某一点的曲线的切线方向是该点的速度方向，而不是加速度方向，比如平抛运动，故B错误；物体受到变化的合力作用时，它的速度大小可以不改变，比如匀速圆周运动，故C错误；物体做曲线运动的条件是一定受到与速度不在同一直线上的外力作用，故D正确。]

2．(2019·青岛模拟)质点做曲线运动，从A到B速率逐渐减小，如图所示，有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向，其中正确的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　　D

A　[由于质点的速率逐渐减小，则加速度方向与速度方向夹角大于90°；因为曲线运动中，加速度指向轨迹的“凹侧”，可知A正确，B、C、D错误。]

(1)物体做曲线运动时，速度沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹凹侧，可以速记为“无力不弯，力速两边”，如图所示。

(2)因为速度不能发生突变，所以曲线运动的轨迹也不能突变，除非速度和加速度同时减小为零并立刻开始沿其他方向加速运动。

(3)若合外力的方向与速度方向夹角成锐角，则物体速率增大，如图所示，若两者夹角为钝角，则速率减小。

运动的合成与分解　[依题组训练]

1．分运动与合运动的关系

2.运动的合成与分解的运算法则

运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。

3．合运动的性质判断

(1)加速度(或合外力)

(2)

[题组训练]

1．(多选)互成角度α(α≠0，α≠180°)的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动(　　)

A．有可能是直线运动 B．一定是曲线运动

C．有可能是匀速运动 D．一定是匀变速运动

BD　[互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动合成后，加速度不变，是匀变速，且合速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上，故其做曲线运动，所以选B、D。]

2．某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4 m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为(　　)

A．西北风　风速为4 m/s

B．西北风　风速为4 m/s

C．东北风　风速为4 m/s

D．东北风　风速为4 m/s

D　[以骑车人为参考系，人向正东方向骑行，感觉风刮向正西，风速大小为v1＝4 m/s，当时有正北风，人感觉到的风刮向为正南，风速为v2＝4 m/s，如图所示，可求得人感觉到的风向为东北风，风速为v＝4 m/s，D正确。]

3．(2019·河北邯郸模拟)质量为2 kg的质点在直角坐标系xOy平面内做曲线运动，在x轴方向的速度—时间图象和y轴方向的位移—时间图象分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是(　　)

甲　　　　　　　　乙

A．质点的初速度大小为3 m/s

B．质点所受的合外力大小为3 N

C．质点初速度的方向与合外力方向垂直

D．2 s末质点速度大小为6 m/s

B　[通过图甲可以看出质点在x轴方向的分运动为匀加速直线运动，初速度为vx＝3 m/s；通过图乙可以看出质点在y轴方向的分运动为匀速直线运动，速度大小为vy＝4 m/s，因此质点的初速度为v0＝＝5 m/s，故A错误；质点在y轴方向上做匀速运动，所受合力为零，在x轴方向加速度为ax＝＝ m/s2＝1.5 m/s2，由牛顿第二定律可知，质点在x轴方向所受合力为Fx＝max＝3 N，所以质点所受合外力为3 N，故B正确；质点初速度方向与x轴方向成锐角，与合外力方向不垂直，故C错误；在2 s末，质点在x轴方向分速度为6 m/s，y轴方向分速度为4 m/s，合速度为2 m/s，故D错误。]

小船渡河问题　[讲典例示法]

1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。

3．两类问题、三种情景

[典例示法]　小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的航速是4 m/s，求：

(1)若小船的船头始终正对对岸行驶，它将在何时、何处到达对岸？

(2)要使小船到达河的正对岸，应如何航行？历时多长？

(3)小船渡河的最短时间为多长？

(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？

[解析]　(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动。因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即

t＝＝ s＝50 s

小船沿水流方向的位移

x水＝v水t＝2×50 m＝100 m

即船将在正对岸下游100 m处靠岸。

(2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则

甲

cos θ＝＝＝

故θ＝60°

即船的航向与上游河岸成60°角，渡河时间

t＝＝ s＝ s。

(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角β，如图乙所示。船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin β，故小船渡河的时间为t＝，当β＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间tmin＝50 s。

乙

(4)因为v船＝3 m/s＜v水＝5 m/s，所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲向下游。如图丙所示，设船头(v船)与上游河岸成θ角，合速度v与下游河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距离x′越短。以v水的矢尖为圆心，以v船的大小为半径画圆，当合速度v与圆相切时，α角最大。

丙

则cos θ＝＝，故船头与上游河岸的夹角θ＝53°

又＝＝，代入数据解得x′≈267 m。

[答案]　见解析

“三模型、两方案、两确定”解决小船渡河问题

[跟进训练]

1．有一条两岸平直、河水均匀流动，流速恒为v的大河。一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为。回程与去程所用时间之比为(　　)

A．3∶2 B．2∶1

C．3∶1 D．2∶1

B　[设河宽为d，则去程所用的时间t1＝＝；返程时的合速度：v′＝＝，回程的时间为：t2＝＝；故回程与去程所用时间之比为t2∶t1＝2∶1，选项B正确。]

2.(2019·潍坊统考)如图所示，河水由西向东流，河宽为d＝800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝x(m/s)(x的单位为m)。让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s。则下列说法正确的是(　　)

A．小船渡河的轨迹为直线

B．小船在河水中的最大速度是5 m/s

C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度

D．小船渡河的时间是160 s

B　[由题意可知，小船在南北方向上做匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，小船的合运动是曲线运动，即小船渡河的轨迹为曲线，A错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，为×400 m/s＝3 m/s，此时小船的合速度最大，可得最大值vm＝5 m/s，B正确；由v水与x的关系可知，水流在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，故小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，C错误；小船的渡河时间t＝＝200 s，D错误。]

3.(多选)如图所示，某河宽d＝150 m，水流的速度大小为v1＝1.5 m/s，一小船以静水中的速度v2渡河，且船头方向与河岸成θ角，小船恰好从河岸的A点沿直线匀速到达河对岸的B点；若船头方向保持不变，小船以v2的速度航行，则小船从河岸的A点沿与河岸成60°角的直线匀速到达河对岸的C点。下列判断正确的是(　　)

A．v2＝1.5 m/s

B．θ＝30°

C．小船从A点运动到B点的时间为100 s

D．小船从A点运动到C点的时间为 s

BD　[小船速度合成情况如图所示。则小船从A点运动到B点的过程，有v2cos θ＝v1，小船从A点运动到C点的过程，根据正弦定理有＝，解得θ＝30°，v2＝ m/s，A错误，B正确；小船从A点运动到B点的时间t1＝＝100 s，从A点运动到C点的时间t2＝＝ s，C错误，D正确。]

4．如图所示，河水流动的速度为v，且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是瀑布。为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则(　　)

A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝

B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为vmax＝

C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝

D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝

D　[当小船船头垂直河岸渡河，时间最短，最短时间为t＝，且t必须小于或等于，故选项A错误；小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度不是最大，故选项B错误；小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，船头方向与AB垂直，可得vmin＝，故选项C错误，D正确。]

1．模型特点

沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。

2．思路与方法

合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v

分速度→

方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。

3．解题的原则

把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。

甲　　　　　　　乙

丙　　　　　　　丁

[示例]　一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(均可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则(　　)

A．v2＝v1　 B．v2＝2v1

C．v2＝v1 D．v2＝v1

思路点拨：(1)两个小球的速度都可分解为沿杆方向和垂直杆方向的两个分速度。

(2)杆的长度不变，两小球在沿杆方向的速度相等。

[解析]　因球A与球形容器球心等高，则此时其速度方向竖直向下，将速度v1分解如图所示。

由图可知：v11＝v1sin 30°＝v1，

对球B分析知，球B此时速度方向与杆所在直线夹角为α＝60°，如图所示，将球B的速度v2分解。由图可知

v21＝v2cos 60°＝v2。

又沿杆方向两球分速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，选项C正确。

[答案]　C

绳(杆)牵连物体的分析技巧

(1)先确定合速度的方向(物体实际运动方向)。

(2)分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动。

(3)确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，沿绳或杆方向的分速度大小相同。

[即时训练]

1.(2019·辽宁瓦房店三中期中)如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，此时B物体的速度大小为(　　)

A．  B．  C．  D．

D　[将A物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，如图所示，则A在沿绳方向的速度大小为vcos α；将B物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，则B在沿着绳子方向的速度大小为vBcos β，由于沿着绳子方向速度大小相等，所以有vcos α＝vBcos β，因此vB＝，且方向向右，选项D正确。]

2.(2019·陕西宝鸡二模)如图所示的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB、OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB在竖直面内的圆周运动可通过连杆AB使滑块在水平横杆上左右滑动。已知OB杆长为L，绕O点沿逆时针方向匀速转动且角速度为ω，当连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β时，滑块的水平速度大小为(　　)

A．  B．  C．  D．

D　[设滑块的速度大小为v，A点的速度的方向沿水平方向，如图将A点的速度进行分解，根据运动的合成与分解可知，A点在沿杆AB方向的分速度为vA分＝vcos α，B点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，如图，设B的线速度为v′，设v′与杆AB夹角为θ，由几何知识可知θ＝β－，则vB分＝v′·cos θ＝v′cos(90°－β)＝v′sin β，v′＝ωL，二者沿杆AB方向的分速度是相等的，即vA分＝vB分，联立可得v＝，故D正确。]