2021版物理提能大一轮复习课标版文档：第一章　专题1　运动图像　追及、相遇问题

专题1　运动图像　追及、相遇问题

考点一　运动图像的理解及应用

运动学图像主要有x-t、v-t、a-t图像,应用图像解题时主要看图像中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素:

　　例　(多选)(2018课标Ⅱ,19,6分)甲、乙两

汽车在同一条平直公路上同向运动,其速度-时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是(　　)

A.两车在t1时刻也并排行驶

B.在t1时刻甲车在后,乙车在前

C.甲车的加速度大小先增大后减小

D.乙车的加速度大小先减小后增大

答案　BD　本题可巧用逆向思维分析,两车在t2时刻并排行驶,根据题图分析可知在t1~t2时间内甲车运动的位移大于乙车运动的位移,所以在t1时刻甲车在后,乙车在前,B正确,A错误;依据v-t图线上各点切线的斜率表示加速度分析出C错误,D正确。

考向1　x-t图像

1.(多选)(2018课标Ⅲ,18,6分)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动,甲做匀加速直线运动,乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是(　　)

A.在t1时刻两车速度相等

B.从0到t1时间内,两车走过的路程相等

C.从t1到t2时间内,两车走过的路程相等

D.在t1到t2时间内的某时刻,两车速度相等

答案　CD　本题考查x-t图像的应用。在x-t图像中,图线的斜率表示物体运动的速度,在t1时刻,两图线的斜率关系为k乙>k甲,两车速度不相等;在t1到t2时间内,存在某一时刻甲图线的切线与乙图线平行,如图所示,该时刻两车速度相等,选项A错误、D正确。从0到t1时间内,乙车走过的路程为x1,甲车走过的路程小于x1,选项B错误。从t1到t2时间内,两车走过的路程都为x2-x1,选项C正确。

考向2　v-t图像

2.(2019山西孝义一模)如图所示是某质点运动的v-t图像,下列判断正确的是(　　)

A.在第2 s末,质点的速度方向发生改变

B.在0~2 s内,质点做直线运动,在2~4 s内,质点做曲线运动

C.在0~2 s内,质点的位移大小为1 m

D.在2~4 s内,质点的加速度不断减小,方向不变

答案　D　2 s前后,运动方向不变,A错;v-t图线并非质点的运动轨迹,B错;在0~2 s内,由v-t图线与时间轴所围面积表示位移得x=-2 m,故C错;v-t图线的斜率表示加速度,在2~4 s内,a越来越小,方向不变,D对。

考向3　a-t图像

3.(2019湖北六校调考)一物体由静止开始沿直线运动,其加速度随时间变化的规律如图所示。取物体开始运动的方向为正方向,则下列关于物体运动的v-t图像正确的是(　　)

答案　C　

考向4　非常规运动图像

4.(2019云南玉溪一中期中)动力车在刹车过程中位移和时间的比值与t之间的关系图像如图所示,则下列说法正确的是(　　)

A.动力车的初速度为10 m/s

B.刹车过程动力车的加速度大小为2.5 m/s2

C.刹车过程持续的时间为8 s

D.从开始刹车时计时,经过2 s,动力车的位移为30 m

答案　D　由x=v0t+得=v0+a·t,可知-t图像的纵截距表示初速度,斜率表示a,所以v0=20 m/s,a=-5 m/s2,A、B均错;由v=v0+at得当v=0时,t=4 s,C错;由x=v0t+得当t=2时,x=30 m,D对。

方法技巧　　图像问题的解题思路

考点二　追及、相遇问题

1.追及、相遇问题中的一个条件和两个关系

(1)一个条件:即两者速度相等,它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点。

(2)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画过程示意图得到。

2.牢记“一个思维流程”

1.一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车,在跑到距汽车25 m处时,绿灯亮了,汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进,则(　　)

A.人能追上公共汽车,追赶过程中人跑了36 m

B.人不能追上公共汽车,人、车最近距离为7 m

C.人能追上公共汽车,追上车前人共跑了43 m

D.人不能追上公共汽车,且车开动后,人、车距离越来越远

答案　B　在跑到距汽车25 m处时,绿灯亮了,汽车以1.0 m/s2 的加速度匀加速启动前进。汽车加速到6.0 m/s所用时间t=6 s,人运动距离为6×6 m=36 m,汽车运动距离为18 m,二者最近距离为18 m+25 m-36 m=7 m,选项A、C错误,B正确。人不能追上公共汽车,且车开动后,人、车距离先减小后增大,选项D错误。

2.(2019河南十校联考)在水平轨道上有两列火车A和B,相距x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件。

答案　v0≤

解析　解法一　临界条件法

设两车运动速度相等时,所用时间为t

由v0-(2a)t=at得,t=①

A车位移xA=v0t-(2a)t2

　　B车位移xB=at2

两车不相撞的条件:xB+x≥xA

即at2+x≥v0t-at2②

联立①②得v0≤

解法二　二次函数极值法

设两车运动了时间t,则

xA=v0t-at2　xB=at2

两车不相撞需要满足

Δx=xB+x-xA=at2-v0t+x≥0

则Δxmin=≥0

解得v0≤

解法三　图像法

利用速度-时间图像求解,先作A、B两车的速度-时间图像,其图像如图所示

设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车有vt=v0-2at

对B车有vt=at

联立以上两式解得t=

经时间t两车发生的位移之差,即原来两车间的距离x,它可用图中的阴影面积来表示,由图像可知x=v0t=v0·=,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤

解法四　相对运动法

巧选参考系求解。以B车为参考系,A车的初速度为v0,加速度为a'=-2a-a=-3a。A车追上B车且刚好不相撞的条件是v=0,这一过程A车相对于B车的位移为x,由运动学公式v2-=2ax得:

02-=2·(-3a)·x

所以v0=

故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤

考点三　运动图像与追及、相遇问题的综合应用

　　1.常见类型

(1)根据两个物体的运动图像分析追及、相遇问题。

(2)根据两个物体的运动状况作出运动图像解答问题。

2.解题思路

　　1.如图所示,甲、乙两物体分别从A、C两地由静止出发相向做加速运动,B为AC中点。两物体在AB段的加速度大小均为a1,在BC段的加速度大小均为a2,且a1<a2。若甲由A到C所用时间为t甲,乙由C到A所用时间为t乙,则t甲与t乙的大小关系为(　　)

A.t甲=t乙　　B.t甲>t乙　　C.t甲<t乙　　D.无法确定

答案　B　设甲在中点B的速度为v,在点C的速度为vt,AB=BC=x,则v2-0=2a1x,-v2=2a2x,解得=2a1x+2a2x。同理可知,对乙亦有=2a1x+2a2x,故甲、乙末速度大小应相等。作出两个物体的v-t图像,由于两物体在AB段、BC段加速度大小相等,两段图线分别平行,两段位移又分别相等,由图看出,t甲>t乙,选项B正确。

2.公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶,甲车在前,乙车在后,速度均为30 m/s,两车相距s0=100 m,t=0时刻甲车遇紧急情况后,甲、乙两车的加速度随时间变化的图像如图所示(图甲为甲车,图乙为乙车),问:两车在0~9 s内会不会相遇?

答案　见解析

解析　由a-t图像可画出两车的v-t图像,如图所示

由v-t图像可知,两车速度相等的时刻t1=6 s,v-t图像中阴影部分面积表示0~6 s内两车位移之差,即Δx=×30×3 m+×30×(6-3) m=90 m<100 m,则可知两车在0~9 s内不会相遇。

1.图甲为发射模型火箭的示意图,图乙为该火箭运动的v-t图像,关于火箭的运动情况,下列说法正确的是(　　)

A.火箭2 s时达到最高点

B.火箭在3 s时加速度的方向改变

C.火箭在1 s时和5 s时的加速度相同

D.火箭在4 s时位于发射点下方2 m处

1.答案　C　2 s前后,运动方向不变,故A错;v-t图线的斜率表示加速度,故3 s时加速度的方向不变,B错;0~2 s,a1=2 m/s2,4~6 s,a2=2 m/s2,C对;v-t图线与时间轴所围面积表示位移,则0~4 s内位移为4 m,表明火箭在4 s时位于发射点上方4 m处,D错。

2.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内,它们的v-t图像如图所示。在这段时间内(　　)

A.汽车甲的平均速度比乙的大

B.汽车乙的平均速度等于

C.甲、乙两汽车的位移相同

D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大

2.答案　A　根据v-t图线与时间轴所围的面积表示位移,可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙,选项C错误;根据v=得,汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙,选项A正确;汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x,即汽车乙的平均速度小于,选项B错误;由于v-t图线的斜率绝对值大小反映了加速度的大小,所以汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小,选项D错误。

3.小球从空中自由下落,与水平地面相碰后弹到空中某一高度,其速度-时间图像如图所示,则由图可知(　　)

A.小球下落和反弹上升的加速度不同

B.小球第一次反弹初速度的大小为5 m/s

C.小球弹起后上升的时间为0.5 s

D.小球能弹起的最大高度为0.45 m

3.答案　D　由图可知,小球在0~0.5 s和0.5~0.8 s,加速度均为10 m/s2,A错;由图,小球弹起时(t=0.5 s),v=-3 m/s,B错;0.5~0.8 s小球处于上升阶段,t=0.3 s,C错;v-t图线与时间轴所围的面积表示位移,小球能弹起的最大高度为0.45 m,D对。

4.(多选)(2019山东德州模拟)为检测某新能源动力车的刹车性能,现在平直公路上做刹车试验,如图所示是动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图像,下列说法正确的是(　　)

A.动力车的初速度为20 m/s

B.刹车过程动力车的加速度大小为5 m/s2

C.刹车过程持续的时间为10 s

D.从开始刹车时计时,经过6 s,动力车的位移为30 m

4.答案　AB　根据v2-=2ax得x=v2-,结合图像有=- s2/m,-=40 m,解得a=   -5 m/s2,v0=20 m/s,选项A、B正确;刹车过程持续的时间t==4 s,选项C错误;从开始刹车时计时,经过6 s,动力车的位移等于其在前4 s内的位移,x4=t=40 m,选项D错误。

5.(2019安徽安庆期中)一辆摩托车在t=0时刻由静止开始在平直的公路上行驶,其运动过程的a-t图像如图所示,根据已知信息,可知(　　)

A.摩托车的最大动能

B.摩托车在30 s末的速度大小

C.在0~30 s的时间内牵引力对摩托车做的功

D.10 s末摩托车开始反向运动

5.答案　B　由题图可知,摩托车在0~10 s内做匀加速运动,在10~30 s内做减速运动,故10 s末速度最大,动能最大,由v=at 可求出最大速度,但摩托车的质量与所受阻力未知,故不能求最大动能,A错误;根据a-t图线与t轴所围的面积表示速度变化量,可求出30 s内速度的变化量,由于初速度为0,则可求摩托车在30 s末的速度大小,B正确;摩托车的质量与所受阻力未知,不能求出牵引力,故不能求出牵引力对摩托车做的功,C错误;由图线与时间轴所围的面积表示速度变化量可知,0~30 s内速度变化量为零,所以摩托车一直沿同一方向运动,D错误。

6.甲、乙两个物体由同一地点沿同一方向做直线运动,其v-t图像如图所示。关于两物体的运动情况,下列说法正确的是(　　)

A.t=1 s时,甲在乙前方

B.t=2 s时,甲、乙相遇

C.t=4 s时,乙的加速度方向开始改变

D.t=4 s时,乙的加速度为零

6.答案　B　t=1 s时,x甲=1 m,x乙=2 m,乙在前,A错;t=2 s时,x甲=x乙=4 m,甲、乙相遇,B对;v-t 图线的斜率表示加速度,t=4 s时,乙的加速度不为零且方向不变,C、D错。

7.(多选)一辆小汽车在水平路面上由静止启动,在前5 s内做匀加速直线运动,5 s末达到额定功率,之后保持额定功率运动,其v-t图像如图所示,已知汽车的质量为1×103 kg,汽车受到的阻力为车重的0.1,取g=10 m/s2,则以下说法正确的是(　　)

A.汽车在前5 s内的牵引力为5×103 N

B.汽车速度为25 m/s时的加速度为5 m/s2

C.汽车的额定功率为100 kW

D.汽车的最大速度为80 m/s

7.答案　AC　在前5 s内,由v-t图像可得a=4 m/s2,由牛顿第二定律得F-f=ma,其中f=0.1mg,可得F=5×103 N,A对;汽车的额定功率P=Fv=1×105 W,C对;当v'=25 m/s时,由F'=P/v'得F'=4×103 N,由F'-f=ma'得a'=3 m/s2,B错;vm=P/f=100 m/s,D错。

8.(多选)一辆汽车正以v1=10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶,发现正前方有一辆自行车以v2=4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动,汽车立即关闭油门做加速度大小为a=0.6 m/s2的匀减速直线运动,汽车恰好没有碰上自行车,则　(　　)

A.关闭油门后,汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为10 s

B.关闭油门后,汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为 s

C.关闭油门时,汽车与自行车的距离为30 m

D.关闭油门时,汽车与自行车的距离为 m

8.答案　AC　撞不上的临界条件为速度相等时恰好追上,则有v1-at=v2,代入数据解得t=10 s,选项A正确,B错误;设汽车的位移为x1,自行车的位移为x2,则由位移关系有x1=x2+x,即t=x+v2t,代入数据解得x=30 m,选项C正确,D错误。

9.(2019河北衡水中学调研)甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶,其v-t图像如图所示,下列对汽车运动状况的描述正确的是(　　)

A.在第10 s末,乙车改变运动方向

B.在第10 s末,甲、乙两车相距150 m

C.在第20 s末,甲、乙两车相遇

D.若开始时乙车在前,则两车可能相遇两次

9.答案　D　由图可知,在20 s内,乙车一直沿正方向运动,速度方向没有改变,故选项A错误;由于不知道初始位置甲、乙相距多远,所以无法判断在10 s末两车相距多远,及在20 s末能否相遇,故选项B、C错误;若开始时乙车在前,且距离为150 m,则在10 s末两车相遇,之后甲在乙的前面,乙的速度增大,在某个时刻与甲再次相遇,故选项D正确。

10.(2019河北沧州一中月考)甲、乙两车在同一条直道上行驶,它们运动的位移x随时间t变化的关系如图所示。已知乙车做匀变速直线运动,其图线与t轴相切于t=10 s处,则下列说法正确的是(　　)

A.甲车的初速度为零

B.乙车的初位置在x0=60 m处

C.乙车的加速度大小为1.6 m/s2

D.t=5 s时两车相遇,此时甲车速度较大

10.答案　C　位移-时间图像的斜率表示速度,则知甲车的速度不变,做匀速直线运动,初速度不为零,选项A错误;乙车做匀变速直线运动,其图线与t轴相切于10 s处,则t=10 s时,速度为零,可逆向看成初速度为0的匀加速直线运动,则x=at2,根据图像可知,x0=a·(10 s)2,    20 m=a·(5 s)2,解得a=1.6 m/s2,x0=80 m,选项B错误,C正确;t=5 s 时两车相遇,此时甲车的速度v甲= m/s=4 m/s,乙车的速度v乙=at=1.6×5 m/s=8 m/s,选项D错误。

11.(2019山东济南调研)某同学欲估算飞机着陆时的速度,他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动,飞机在跑道上滑行的距离为x,从着陆到停下来所用的时间为t,实际上,飞机的速度越大,所受的阻力越大,则飞机着陆时的速度应是(　　)

A.v=       B.v=

C.v>       D.<v<

11.答案　C　由题意知,当飞机的速度减小时,所受的阻力减小,因而它的加速度会逐渐变小,画出相应的v-t图线大致如图中实线所示。根据图像的意义可知,实线与坐标轴包围的面积为x,虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为t。应有t>x,所以v>,所以选项C正确。

12.如图所示,光滑斜面倾角为30°,A、B物体与水平面间的动摩擦因数均为μ=0.4,现将A、B两物体(可视为质点)同时由静止释放,两物体初始位置距斜面底端O的距离为LA=2.5 m、LB=  10 m。不考虑两物体在转折O处的能量损失。(g取10 m/s2)

(1)求两物体滑到O点的时间差;

(2)B从开始释放,需经过多长时间追上A?(结果可用根号表示)

12.答案　(1)1 s　(2) s

解析　(1)物体在光滑斜面上的加速度

a=g sin 30°=5 m/s2

A到达底端时间tA==1 s

B到达底端时间tB==2 s

A、B到达底端时间差ΔtAB=2 s-1 s=1 s

(2)A到达底端速度vA=atA=5 m/s,经过分析B追上A前,A已停止运动

A在水平面上运动的总位移sA== m

B在水平面上运动的总位移sB=vBt-μgt2

其中vB=atB=10 m/s

又sA=sB

得t= s

则B从释放到追上A用时t总=tB+t= s

13.(2019江西抚州临川期末)甲、乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶,甲车的速度为v1=  16 m/s,乙车的速度为v2=12 m/s,乙车在甲车的前面。当两车相距L=6 m时,两车同时开始刹车,从此时开始计时,甲车以大小为a1=2 m/s2的加速度刹车,6 s后立即改做匀速运动,乙车刹车的加速度大小为a2=1 m/s2。求:

(1)甲车第一次追上乙车的时刻;

(2)两车相遇的次数;

(3)两车速度相等的时刻。

13.答案　见解析

解析　(1)在甲减速时,设经时间t相遇,甲和乙的加速度大小分别为a1、a2,位移分别为x1、x2,则有

x1=v1t-a1t2,x2=v2t-a2t2,x1=x2+L

联立解得t1=2 s,t2=6 s

即在甲车减速时,相遇两次,第一次相遇的时刻为

t1=2 s

(2)当t2=6 s时,甲车的速度为v1'=v1-a1t2=4 m/s,乙车的速度为v2'=v2-a2t2=6 m/s,甲车的速度小于乙车的速度,但乙车做减速运动,设再经Δt甲追上乙,有:

v1'Δt=v2'Δt-a2(Δt)2

解得Δt=4 s

此时乙仍在做减速运动,此解成立。

综合以上分析可知,甲、乙两车共相遇3次

(3)第一次速度相等的时刻为t3,

v1-a1t3=v2-a2t3,解得t3=4 s

甲车匀速运动的速度为4 m/s,第二次速度相等的时刻为t4,有v1'=v2-a2t4,解得t4=8 s