2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第81课几何概型

第81课　几 何 概 型　　

1. 了解几何概型的基本概念、特点和意义，了解测度的简单含义.

2. 了解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的问题.

1. 阅读：必修3第106～111页.

2. 解悟：①读懂几何概型的定义；②归纳出古典概型的特征；③重解课本例题，体会方法.

3. 践习：在教材空白处，完成本节习题.

　基础诊断　

1. 两根相距为8m的木杆上系一根绳子，拉直并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3m的概率为　　.

解析：灯可以挂在绳子上的任何地方，且可能性是一样的，故选用几何概型.先找出等于3m的临界点，再寻求大于3m的长度，故所求概率为.

2. 小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家看书，那么小明周末在家看书的概率是　　.

解析：圆的面积设为π，则点到圆心的距离大于的面积为π－＝，点到圆心的距离小于的面积为.由几何概型得小明周末在家看书的概率为P＝1－＝.

3. 在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为　　.

解析：设在△ABC中，AB边上的高为h，则S＝AB·h，S△PBC＝PB·h，要使△PBC的面积大于，即PB大于，由几何概型知△PBC的面积大于的概率为P＝1－＝.

4. 在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为　　.

解析：由题意可得正方体的体积为a3，与点A距离小于等于a的轨迹是一个八分之一的球，体积为V＝×πa3＝.由几何概型知识点P到点A的距离小于等于a的概率为P＝＝.

　范例导航　

考向❶   与长度、角度有关的几何概型

例1　某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是多少？

解析：如图所示，画出时间轴.

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P＝＝.

如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为　　.

解析：因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域M为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.

【注】 求解与长度、角度有关的几何概型的方法

求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解. 要特别注意“长度型”与“角度型”的不同. 解题的关键是随机对象的不同决定了构建事件的区域(长度或角度)不同.

考向❷    与面积有关的几何概型

例2　如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是多少？

解析：不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.

由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.

由不等式组确定的平面区域记为Ω1，由不等式组确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为　　Ｗ.

解析：如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，易知点C，故由几何概型的概率公式，得所求概率P＝＝＝＝.

【注】 求解与面积有关的几何概型的注意点

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.

考向❸    与体积有关的几何概型

例3　如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为　　.

解析：过点M作平面α∥平面ABCD，则两平面间的距离是四棱锥MABCD的高，显然点M在平面α上任意位置时，四棱锥MABCD的体积都相等. 若此时四棱锥MABCD的体积等于，只要M在截面以下即可小于，当VMABCD＝时，即×1×1×h＝，解得h＝，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P＝＝.

在一杯10升的清水中，有一条小鱼，现任意取出1升清水，则小鱼被取到的概率是　　.

【注】 求解与体积有关的几何概型的注意点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.

　自测反馈　

1. 在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为　　.

解析：设任取两点所表示的数分别为x，y，

则0≤x≤1，且0≤y≤1.由题意知|x－y|<，作出平面区域，可得P＝＝.

2. 在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，则∠MAC<30°的概率是　　.

解析：因为点M在直角边BC上是等可能出现的，所以“测度”是长度. 设直角边长为a，则所求概率为＝.

3. 已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC<VSABC的概率是　　.

解析：设三棱锥PABC的高为h，则S△ABC·h<×S△ABC·3，即h<，所以当点P在大三棱锥的中截面以下时，满足题意，故P＝1－＝1－＝.

4. 在满足不等式组的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A为“y0<2x0”，那么事件A发生的概率是　　.

解析：作出不等式组表示的平面区域即△ABC，其面积为4，且事件A为“y0<2x0”表示的区域为△AOC，其面积为3，所以事件A发生的概率是.

1. 有些几何概型可用长度作为测度，比如，把时刻抽象为点，则时间就是长度；转动瞬时角抽象为点，则转过角度就抽象为长度等等；有些问题直接与面积有关，也有一些实际问题，当涉及两个变量时，要利用平面直角坐标系来讨论，这也要采用面积为测度；有些问题需用体积、质量等作为测度.

2. 背景相似的问题，当等可能的视角不同时，其概率往往不同，应注意分析测度的差异.

3. 你还有那些体悟，写下来：