2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第40课__直线的方程

___第40课__直线的方程____

1. 了解确定直线位置的几何要求(两个点或一点和方向)．

2. 掌握直线方程的五种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围，能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程．

3. 熟悉直线方程各形式的特征，理解各形式之间的关系，会由已知直线方程求相关的特征量.

1. 阅读：必修2第80～86页，温习直线方程的五种形式．

2. 解悟：①直线方程的各种形式需要怎样的条件？各有怎样的适用范围？②直线方程各种形式之间有怎样的区别与联系？③教材第82页的探究内容所蕴含的意义是什么？

3. 践习：在教材空白处，完成必修2第83页练习第3题；第85页练习第2、4题；第87页练习第4、5题.

　基础诊断　

1. 已知点A(－4，6)，B(－2，4)，则直线AB的一般式方程为__x＋y－2＝0__．

解析：易知直线斜率存在．设直线AB：y＝kx＋b，将点A(－4，6)，B(－2，4)代入，得解得所以直线AB：y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.

2. 过点(1，2)且倾斜角的正弦值为的直线方程是

__y＝x＋或y＝－x＋__．

解析：由题意知sinα＝，因为α∈[0，π)，所以tanα＝或－，即直线的斜率为或－.当斜率为时，直线方程为y＝x＋；当斜率为－时，直线方程为y＝－x＋.

3. 过点(3，－4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是__y＝－x或x＋y＋1＝0__．

解析：当直线过原点(0，0)时，因为直线过点(3，－4)，所以直线方程为y＝－x；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，将点(3，－4)代入，得a＝－1，所以直线方程为x＋y＋1＝0.

4. 给出下列命题：①经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；②经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b；③不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示；④经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示，其中正确命题的个数为__1__．

解析：①过点P0(x0，y0)且垂直于x轴的直线不能用方程y－y0＝k(x－x0)表示，故①错；②经过点A(0，b)且垂直于x轴的直线不能用方程y＝kx＋b表示，故②错；③垂直于两坐标轴的直线不能用方程＋＝1表示，故③错；④经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示，故④正确．

　范例导航　

考向❶  求直线方程

　例1　已知直线l过点A(5，2)．

(1) 若直线l的斜率为2，求直线l的方程；

(2) 若直线l经过点B(3，－2)，求直线l的方程．

解析：(1) 因为直线l过点A(5，2)，斜率为2，由点斜式方程得y－2＝2(x－5)，故所求直线l的方程为2x－y－8＝0.

(2) 因为直线l过点A(5，2)，点B(3，－2)，由两点式方程得＝，故所求直线l的方程为2x－y－8＝0.

若直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线的方程为__4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0__．

解析：由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1.又直线过点(－3，4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9，故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

考向❷  含有参数的直线方程

例2　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0 (k∈R)．

(1)  求证：直线l过定点；

(2)  若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围．

解析：(1)  直线l的方程化简为k(x＋2)＋(1－y)＝0，

令解得

所以无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．

(2) 当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.

设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，若直线l在x轴上的截距是－3，则m＝__－__；若直线l的斜率是－1，则m＝__－2__．

解析：因为直线l在x轴上的截距为－3，令y＝0，得解得m＝－.若直线l的斜率为－1，则解得m＝－2.

考向❸  直线方程的简单运用

例3　已知直线l过点P(2，1)，分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，若O为坐标原点，求△OAB面积的最小值及此时直线l的方程．

解析：方法一：因为直线l过点P(2，1)，若斜率不存在，则直线与y轴无交点，所以直线的斜率存在. 若k＝0，则直线与x轴无交点，所以k≠0.又直线与x，y轴的正半轴交于A，B两点，所以k<0.

设直线方程为y－1＝k(x－2)，分别令y＝0，x＝0得A，B(0，1－2k)，

则S△OAB＝·OA·OB＝(1－2k)

＝－2k－＋2≥2＋2＝4，

当且仅当－2k＝，即k＝－时，等号成立，即△OAB面积的最小值为4.

此时，直线l的方程为x＋2y－4＝0.

方法二：设 A，B两点的坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，由直线的截距式方程得直线l 的方程为＋＝1.

因为直线l过点P(2，1)，所以＋＝1.

因为2≤1，所以ab≥8，

当且仅当＝，即a＝4，b＝2时取等号，

所以S△OAB＝ab≥4.

此时，直线l的方程为x＋2y－4＝0.

如图，互相垂直的两条道路l1，l2相交于点O，点P与l1，l2的距离分别为2千米、3千米，过点P建一条直线道路AB，与l1，l2分别交于A，B两点．

(1)  当∠BAO＝45°时，试求OA的长；

(2)  若使△AOB的面积最小，试求OA，OB的长．

解析：以l1为x轴，l2为y轴，建立平面直角坐标系，则O(0，0)，P(3，2)．

(1)  由∠BAO＝45°知，OA＝OB，可设A(c，0)，

B(0，c)(c＞0)，

直线l的方程为＋＝1.

因为直线l过点P(3，2)，

所以＋＝1，则c＝5，即OA＝5千米．

(2)  设A(a，0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，

则直线l的方程为＋＝1.

因为直线l过点P(3，2)，

所以＋＝1，b＝>0，则a＞3，

从而S△ABO＝ab＝a·＝.

令a－3＝t，t＞0，则a2＝(t＋3)2＝t2＋6t＋9，

故有S△ABO＝＝t＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当t＝3时，等号成立，

此时a＝6，b＝4，所以OA＝6千米，OB＝4千米．

　自测反馈　

1. 若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标分别满足3x1－5y1＋6＝0和3x2－5y2＋6＝0，则经过这两点的直线的方程为__3x－5y＋6＝0__．

解析：因为两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标分别满足3x1－5y1＋6＝0和3x2－5y2＋6＝0，两点确定一条直线，所以经过这两点的直线方程为3x－5y＋6＝0.

2. 直线过点(5，10)，且原点到直线的距离为5，直线方程为__x＝5或3x－4y＋25＝0__．

解析：当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝5，满足原点到直线的距离为5；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y－5k＋10＝0.由点到直线的距离公式可得＝5，解得k＝，所以直线的方程为3x－4y＋25＝0.综上，直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

3. 若直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y－2m＝0在x轴上的截距是3，则实数m的值是__－6__．

解析：令y＝0，所以(m＋2)x＝2m，将x＝3代入，得m＝－6.

4. 已知直线l过点(3，4)，且在第一象限和两坐标轴围成的三角形的面积是24，则直线l的截距式方程是__＋＝1__．

解析：由题意，可设直线l的截距式方程为＋＝1，则有解得所以直线l的截距式方程为

1. 确定一条直线需要两个独立的条件，一是方向(斜率或倾斜角)；二是位置(一个定点)．

2. 求直线的方程主要有两种方法：①直接法，根据已知条件，选择适当的形式，直接写出直线的方程；②待定系数法，先设出直线方程，根据已知条件求出待定的系数，再代入，求出直线方程．

3. 你还有哪些体悟，写下来：