2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第85课综合法与分析法

第85课综合法与分析法　　

了解三种证明方法：分析法、综合法和反证法的思考过程和特点，会用分析法、综合法和反证法证明一些简单的数学命题.

1.  阅读：文科：选修12第46～51页；理科：选修22第82～87页.

2.  解悟：①分析法、综合法的思考过程和特点分别是什么？这两种证明方法有什么不同之处？②反证法证明的一般步骤是什么？试举例说明.

3.  践习：文科完成教材选修12第48页练习第1、4题；理科完成教材选修22第84页练习第1、4题.

　基础诊断　

1. 用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是　a，b都不能被5整除　.

2. 求证：＋<＋.

解析：要证＋<＋，即证(＋)2<(＋)2，

即证3＋6＋2<4＋5＋2，即证<，即证18<20，这个显然成立，

所以原不等式成立.

3. 设a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：a＋b与a－b不平行.

解析：假设a＋b与a－b平行，则a＋b＝λ，λ∈R，λ≠0，

所以a＋b＝0.因为a，b不平行，

所以该方程组无解，故假设不成立，

所以原命题成立.

　范例导航　

考向❶   用综合法与分析法证明命题

例1　若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c.

　　解析：方法一：要证lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc，

只需证lg>lg.

因为a，b，c>0，

所以只需证··>abc，由基本不等式得≥，≥，≥，把三个式子左边、右边分别相乘，得

··≥abc.

又a，b，c不全相等，

所以··>abc成立，

所以原不等式lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc成立.

方法二：因为a，b，c是不全相等的正数，由基本不等式得≥，≥，≥，

把三个式子左边、右边分别相乘，得

··≥abc.

又a，b，c不全相等，

所以··>abc>0，

两边同时取对数，得lg>lg，

所以lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.

已知a>0，求证：－≥a＋－2.

解析：要证－≥a＋－2，只需要证＋2≥a＋＋.

因为a>0，故只需要证≥，　

即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，

从而只需要证2≥，

只需要证4≥2，

即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.

考向❷   用反证法证明命题

例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.

解析：(1) 当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，

则a1＝1.

又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，

两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.

(2)  反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N*)，则2·＝＋，

所以2·2r－q＝2r－p＋1.①

因为p<q<r，所以r－q，r－p∈N*，

所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，

所以假设不成立，原命题得证.

设数列{an}是公比为q的等比数列.

(1)  推导{an}的前n项和公式；

(2)  设q≠1，求证：数列{an＋1}不是等比数列.

解析：(1)  设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an.

因为数列{an}是公比为q的等比数列，所以当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1.

当q≠1时，

Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，　①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，　②

①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn，

所以Sn＝.

综上所述，Sn＝

(2)  假设数列{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，

(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，即a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.

因为a1≠0，所以2qk＝qk－1＋qk＋1.

因为q≠0，所以q2－2q＋1＝0，

所以q＝1，这与已知矛盾，

所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列.

　自测反馈　

1. 已知a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：，，不可能成等差数列.

解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.假设，，成等差数列，则＝＋，所以b(a＋c)＝2ac，所以(a＋c)2＝4ac，所以(a－c)2＝0，所以a＝c，所以d＝0，这与题设d≠0矛盾，  所以，，不可能成等差数列.

2. 求证：＝.

解析：方法一：由题意知，x的终边不在y轴上.

要证＝，

只需证cos2x＝(1－sinx)(1＋sinx)＝1－sin2x，

只需证sin2x＋cos2x＝1，这个式子显然成立，故原式成立.

方法二：由题意知，x的终边不在y轴上.

因为sin2x＋cos2x＝1，

所以cos2x＝1－sin2x＝(1＋sinx)(1－sinx).①

因为x的终边不在y轴上，

所以cosx≠0，1－sinx≠0，

将①式左、右两端同时除以cosx(1－sinx)，

得＝.

3. △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.

解析：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，

即证＋＝，

即证＋＝3，

即证＋＝1，需证c2＋a2＝ac＋b2.

因为△ABC的内角A，B，C成等差数列，

所以2B＝A＋C.

又A＋B＋C＝π，所以B＝.由余弦定理，得

b2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac，

所以c2＋a2＝ac＋b2成立，

所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立.

1. 综合法一般从条件出发，“由因导果”； 分析法一般紧抓证题目标，“执果索因”.

2. 反证法就是一种常用的间接证明方法.反证法的实质在于：若肯定命题的假设而否定其结论，则会导致矛盾，从而命题成立.

3. 你还有哪些体悟，写下来：

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