2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第67课平面的基本性质及线线、线面的位置关系

第67课　平面的基本性质及线线、线面之间的位置关系

1. 了解4个公理及公理3的3个推论，等角定理，异面直线的判定定理.

2. 理解空间点、线、面的位置关系，会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；引导学生理解反证法，通过“反设”与“归谬”，进而得到正确的结论.

1. 阅读：必修2第21～30页.

2. 解悟：①4个公理及公理3的3个推论，等角定理的3种语言；②空间两直线的几种位置关系；③异面直线的判定定理.

3. 践习：在教材空白处，完成第25页练习第7、8题；第30页练习第6、7题.

　基础诊断　

1. 已知点A、B，直线l，平面α、β，给出下列命题：①若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若l⊄α，A∈l，则A∉α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C三点不共线，则α与β重合；⑤梯形是平面图形；⑥四边形的两条对角线必相交于一点.其中正确的命题是　①②④⑤　.(填序号)

解析：①由公理1可知，①正确；②因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理AB⊂β，所以α∩β＝AB，故②正确；③l⊄α分两种情况，l与α相交或l∥α，当l与α相交，A为交点时，A∈α，故③错误；④由于A，B，C三点不共线，所以A，B，C三点只能确定一个平面，所以α与β重合，故④正确；⑤因为梯形的上、下底平行，经过两条平行直线，有且只有一个平面，所以梯形是平面图形，故⑤正确；⑥空间四边形的两条对角线异面，不相交，故⑥错误，故填①②④⑤.

2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过点P，Q，R的截面图形是　六边形　.

解析：如图，作RG∥PQ交C1D1于点G，连结QP并延长与CB的延长线交于点M，连结MR交BB1于点E，连结PE.延长PQ交CD的延长线于点N，连结NG交DD1于点F，连结QF，所以截面为六边形PQFGRE.

3. 两两平行的三条直线可确定　1或3　个平面.

解析：若三条平行直线共面时，可确定1个平面；若三条直线，两两平行且不共面时，可确定3个平面，如三棱柱的三条侧棱，故可确定1或3个平面.

4. 如图所示，已知在长方体ABCDEFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是　45°　，AE和BG所成角的大小是　60°　.

解析：BC与EG所成的角即为EG与FG所成的角，即∠EGF.因为tan∠EGF＝＝＝1，所以∠EGF＝45°，

故BC和EG所成角的大小为45°.

AE与BG所成的角即为BF与BG所成的角，即∠GBF.

因为tan∠GBF＝＝＝，

所以∠GBF＝60°，故AE和BG所成角的大小为60°.

　范例导航　

　　例1　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：

(1) E，C，D1，F四点共面；

(2) CE，D1F，DA三线共点.

解析：(1) 连结EF，CD1，A1B.

因为E，F分别是AB，AA1的中点，

所以EF∥BA1.

又A1B∥D1C，所以EF∥CD1，

所以E，C，D1，F四点共面.

(2) 因为EF∥CD1，EF<CD1，

所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

所以P∈DA，

所以CE，D1F，DA三线共点.

如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线.

解析：因为E∈AB，H∈AD，

所以E∈平面ABD，H∈平面ABD，

所以EH⊂平面ABD.

因为EH∩FG＝O，

所以O∈平面ABD.

同理O∈平面BCD，

又平面ABD∩平面BCD＝BD，

所以O∈BD，即B，D，O三点共线.

【注】 证明点共线的关键是将这些点放到两个平面的交线上.

考向❷  异面直线的判断，求异面直线所成的角

例2　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.

(1) AM和CN是否是异面直线？请说明理由；

(2) D1B和CC1是否是异面直线？请说明理由；

(3) 求异面直线AM与D1C1所成角的余弦值.

解析：(1) 不是异面直线.理由如下：

连结MN，A1C1，AC，如图.

因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，

所以MN∥A1C1.

因为A1A∥C1C，AA1＝CC1，

所以四边形A1ACC1为平行四边形，

所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，

所以A，M，N，C四点在同一平面内，

故AM和CN不是异面直线.

(2) 是异面直线.理由如下：

因为几何体ABCDA1B1C1D1是正方体，

所以点B，C，C1，D1不共面.

假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使得D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，

所以点D1，B，C，C1∈α，与几何体ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾，

所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.

(3) 因为AB∥DC，D1C1∥DC，所以AB∥D1C1，

所以∠MAB即为异面直线AM与D1C1所成的角.

因为∠A1MA＝∠MAB，

所以在Rt△A1AM中，cos∠A1MA＝＝，

所以异面直线AM与D1C1所成角的余弦值为.

【注】 求异面直线所成的角，一般要利用平移先找(作)出所求的角，再放到某一个三角形中求解.

如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.

解析：如图，取AC的中点F，连结EF，BF.

在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，

所以EF∥CD，

所以∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.

在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，

所以BE＝.

在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，

所以EF＝.

在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，

所以BF＝.

在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，

所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.

　自测反馈　

1. 若直线a，b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a，b的位置关系为　相交或异面　.

解析：若a，b两条直线开始于同一个顶点时，则相交；若a，b两条直线不是开始于同一个顶点时异面，所以a，b的位置关系为相交或异面.

2. 下列命题中正确的是　②③④⑥　.(填序号)

①空间两两相交的三条直线确定一个平面；

②和同一直线都相交的三条平行直线在同一平面内；

③若空间四个点不在同一平面内，则必无三点共线；

④若一条直线和空间两平行直线中的一条垂直，则必和另一条垂直；

⑤若a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，a，b无交点，则a，b是异面直线；

⑥若平面α和β有两个公共点，则有无数个公共点在同一条直线上.

解析：①空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面，故①错误；②设直线l和三条平行线a，b，c.因为a∥b，所以直线a，b确定一个平面α，同理直线b，c确定一个平面β.又因为l⊂α，l⊂β，所以α与β重合，所以a，b，c，l在同一平面内，故②正确；③由直线与直线外一点确定一个平面知，空间四点若不在同一平面内，则其中任意三点不在同一条直线上，故③正确；④一条直线与两条平行线中的一条垂直，说明两条直线所成角为90°，由空间直线与直线所成角的定义可知，它和另一条直线所成角为90°，也就是垂直，故④正确；⑤若a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥b，所以a与b共面，故⑤错误；⑥若平面α和β有两个公共点，则平面α与β相交于一条直线，所以有无数个公共点在同一直线上，故⑥正确，故填②③④⑥.

3. 已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：

①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；

②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；

③若a∥b，则必有a∥c；

④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.

其中正确命题的个数是　2　.

解析：命题①③正确，命题②④错误，其中命题②中a与b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面α，β有可能不垂直.

1. 几个公理各有作用，如：公理1可判断线在平面内或点在平面内；公理2可判断两个平面是否相交和点是否在直线上；公理3是确定平面的依据.

2. 判定两条直线是否异面时，常常需依托某一平面.求两条异面直线所成角的关键是通过平行关系，转化为两相交直线所成的角，但要注意其取值范围是(0°，90°].

3. 你还有哪些体悟，请写下来：