2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第45课__直线与圆的位置关系

第45课　直线与圆的位置关系(2)

1. 能利用直线与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆的简单综合问题.

2. 掌握处理直线与圆的综合性问题的基本方法.

3. 领悟并基本掌握“等价转化”“数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简捷的运算途径.

1. 阅读：必修2第115～117页.

2.  解悟：①进一步熟悉直线方程与圆的方程及其相互关系；②过圆上一点作圆的切线，有几条？能否写出圆的切线方程？若是过圆外一点呢？③研究直线与圆的位置关系，一般有哪些方法？④定点、定值问题有哪些基本方法？

3. 践习：在教材空白处，完成必修2第128页复习题第12、14题，第129页复习题第26题.

　基础诊断　

1. 由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为　　.

解析：由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，当直线上的点到圆心的距离最小，即圆心到直线的距离最小时，切线长也最小.因为圆心到直线的距离为＝2，所以切线长最小为＝.

2. 过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为　1或　Ｗ.

解析：将圆的方程化为标准方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(1，1)，半径为r＝1.又因为弦长为，所以圆心到直线l的距离d＝＝.因为直线l的斜率存在，设为k，所以直线l：y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，所以＝，解得k＝1或k＝，故直线l的斜率为1或.

3. 已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcosθ＋ysinθ＝1，设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则实数k＝　4　Ｗ.

解析：因为圆O：x2＋y2＝5，所以圆心O(0，0)，半径r＝.因为圆心O到直线l的距离d＝＝1<，且r－d＝－1>1，所以圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k＝4.

4. 已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2，0)，B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是　(－∞，－)∪(，＋∞)　.

解析：由题意知过点A的圆的切线方程的斜率存在，则设切线方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，则圆心到切线的距离d＝＝1，解得k＝±，所以过点A的圆的切线方程为y＝±(x＋2).当x＝3时，y＝±，所以所求的a的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞).

　范例导航　

考向❶  直线与圆相交的弦的问题

例1　已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点.

(1) 当直线l经过圆心C时，求直线l的方程；

(2) 当弦AB被点P平分时，求直线l的方程；

(3) 当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长.

解析：(1) 因为圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1，0)，直线l经过两点P，C，

所以直线l的斜率为k＝＝2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.

(2) 当弦AB被点P平分时，l⊥PC，所以直线l的方程为y－2＝－(x－2)，即x＋2y－6＝0.

(3) 当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0，

则圆心C(1，0)到直线l的距离为.

又圆的半径为3，所以弦AB＝.

已知圆x2＋y2＝8内一点P(－1，2)，过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A，B两点.

(1) 若α＝，则AB＝　　；

(2) 若弦AB被点P平分时，则直线l的方程为　x－2y＋5＝0　Ｗ.

解析：(1) 因为α＝，所以kAB＝－1，所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，所以圆心O(0，0)到AB的距离d＝＝，则AB＝2＝.

解析：(2) 因为弦AB被点P平分，所以OP⊥AB.

又因为kOP＝－2，所以kAB＝，所以直线l：y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.

考向❷  定点、定值问题

例2　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD.

(1)  若AC＝4，求直线CD的方程；

(2)  求证：△OCD的外接圆恒过定点.(异于原点O)

解析：(1)  因为A(－3，4)，

所以OA＝＝5.

因为AC＝4，所以OC＝1，所以C.

由BD＝4，得D(5，0)，

所以直线CD的斜率为＝－，

所以直线CD的方程为y＝－(x－5)，

即x＋7y－5＝0.

(2)  设C(－3m，4m)(0<m≤1)，则OC＝5m，

则AC＝OA－OC＝5－5m.

因为AC＝BD，所以OD＝OB－BD＝5m＋4，

所以点D的坐标为(5m＋4，0).

又设△OCD的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则有

解得D＝－(5m＋4)，F＝0，E＝－10m－3，

所以△OCD的外接圆的方程为x2＋y2－(5m＋4)x－(10m＋3)y＝0，

整理得x2＋y2－4x－3y－5m(x＋2y)＝0.

令

得(舍)或

所以△OCD的外接圆恒过定点(2，－1).

 已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点.

(1) 求证：△OAB的面积为定值；

(2) 设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程.

解析：(1) 由题意知圆C的方程为(x－t)2＋＝t2＋，

化简得x2－2tx＋y2－y＝0.

当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t，0)；

当x＝0时，y＝0或，则B，

所以S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×＝4，

所以△OAB的面积为定值.

(2) 因为OM＝ON，CM＝CN，

所以OC垂直平分MN.

因为kMN＝－2，所以kOC＝，

所以kOC＝＝＝，所以t＝±2.

当t＝2时，圆心C(2，1)，半径r＝OC＝，

此时点C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，

所以圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点；

当t＝－2时，圆心C(－2，－1)，半径r＝OC＝，

此时点C到直线y＝－2x＋4的距离d＝＝>，

所以圆C与直线y＝－2x＋4不相交，所以t＝－2不符题意.

综上，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

考向❸  隐圆问题

例3　如图，已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5，0)，直线l：3x－4y＝0.

(1)  求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；

(2)  在直线OA上(O为坐标原点)，是否存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任意一点P，都有为一常数.若存在，求出所有满足条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：(1)  由题意可设所求直线方程为4x＋3y－b＝0.　

因为直线与圆相切，

所以＝3，得b＝±15，

所以所求直线方程为4x＋3y＋15＝0或4x＋3y－15＝0.

(2)  方法一：假设存在这样的点B(t，0).

当点P为圆C与x轴的左交点(－3，0)时，

＝；

当点P为圆C与x轴的右交点(3，0)时，

＝.　

依题意，＝，解得t＝－5(舍去)或t＝－.

下面证明点B对于圆C上任意一点P，都有为一常数.

设P(x，y)，则y2＝9－x2，

所以＝＝＝＝，

所以＝为常数.

方法二：假设存在这样的点B(t，0)，使得为常数λ，则PB2＝λ2PA2，设P(x，y)，所以(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将y2＝9－x2代入，得

x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)，

即2(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0对x∈[－3，3]恒成立，所以解得或(舍去)，

故存在点B对于圆C上任意一点P，都有＝.

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.

(1)  若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)  若圆C上存在点M，使得MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

解析：(1)  由题意知，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.

设过点A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.

由题意得＝1，解得k＝0或k＝－，

故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

(2)  因为圆心在直线y＝2x－4上，所以设圆心C(a，2a－4)，

所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.

设点M(x，y)，因为MA＝2MO，

所以＝2，

化简得x2＋y2＋2y－3＝0，

即x2＋(y＋1)2＝4，

所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上.

由题意得点M(x，y)也在圆C上，

所以圆C与圆D有公共点，

则2－1≤CD≤2＋1，即1≤≤3.

整理，得－8≤5a2－12a≤0.

由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；

由5a2－12a≤0，得0≤a≤，

所以点C的横坐标a的取值范围为.

　自测反馈　

1. 过点(2，3)且与圆(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程为　x＝2或4x＋3y－17＝0　Ｗ.

解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x＝2，满足题意；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，由圆心(3，0)到切线的距离等于半径得＝1，所以k＝－，切线方程为4x＋3y－17＝0.综上，所求切线方程为x＝2或4x＋3y－17＝0.

2. 若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则实数k＝　1　.

解析：由题意得圆C：(x－1)2＋y2＝4，因为直线l过点M(0，1)，且被圆C截得的弦最短，所以直线l与直线CM垂直，又kCM＝－1，所以k＝1.

3.  在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是　－1　.

解析：圆(x－1)2＋(y－a)2＝16的圆心坐标为C(1，a)，半径r＝4，直线ax＋y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离为2，所以d＝＝2，解得a＝－1.

4. 在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上.若·≤20，则点P横坐标的取值范围是　[－5，1]　.

解析：设点P坐标为(x，y)，则＝(－12－x，－y)，＝(－x，6－y)，则·＝x2＋y2＋12x－6y≤20.又因为x2＋y2＝50，所以·－20＝x2＋y2＋12x－6y－20＝50＋12x－6y－20≤0，即2x－y＋5≤0，则点P表示的轨迹在直线2x－y＋5＝0的上方.又因为点P在圆x2＋y2＝50上，由图易知，点P的横坐标的取值范围是[xC，xD].由题意得xC＝－5，联立消去y得x2＋4x－5＝0，解得x1＝－5，x2＝1，即xD＝1，所以点P的横坐标的取值范围是[－5，1].

1. 研究直线与圆的问题时，一般采用两种方法：一是利用几何特征转化为代数问题求解；二是利用方程组求解，前者是常用方法.

2. 题中所给某些条件中往往隐含着重要的几何关系或几何性质，要注意挖掘和运用.

3. 你还有哪些体悟，写下来：