2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第61课等差数列

第61课　等 差 数 列

1. 等差数列的概念(B级要求).

2. 等差数列的通项公式与前n项和公式(C级要求).

3. 等差数列与一次函数、二次函数的关系(A级要求).

1. 阅读：必修5第35～48页.

2. 解悟：①理解等差数列、等差中项的定义及符号语言；②写出等差数列的常用性质；③体会课本中推出等差数列的通项公式和求和公式的方法.

3. 践习：在教材空白处，完成第47、48页习题第4、5、6、7题.

　基础诊断　

1. 记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则数列{an}的公差为　4　.

解析：设数列{an}的公差为d，由题意得a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝24，S6＝6a1＋d＝48，联立由①×3－②得(21－15)·d＝24，所以d＝4.

2. 已知等差数列{an}的前9项和为27，a10＝8，则a100＝　98　.

解析：由等差数列性质知S9＝＝＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，所以公差d＝＝1，所以a100＝a10＋90d＝98.

3. 在等差数列{an}中，已知S8＝24，S16＝32，那么S24＝　24　.

解析：因为数列{an}是等差数列，所以S8，S16－S8，S24－S16成等差数列.因为S8＝24，S16－S8＝8，所以S24－S16＝－8，所以S24＝－8＋32＝24.

4. 已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，则这五个数的积为　－　.

解析：设第三个数为a，公差为d，则这五个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由题意得

解得所以这五个数分别为－，，1，，或，，1，，－，故它们的积为－.

　范例导航　

考向❶  等差数列基本量的计算

例1　设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＋a5＝1，S15＝75，Tn为数列的前n项和.

(1) 求Sn；

(2) 求Tn及Tn的最小值.

解析：(1) 设数列{an}的公差为d，

依题意得

解得

所以Sn＝na1＋d＝－2n＋＝.

(2) 由(1)知Sn＝，所以＝.

设bn＝＝，

则bn＋1－bn＝－＝，

所以数列{bn}是公差为，首项为b1＝＝a1＝－2的等差数列.

又Tn为数列的前n项和，

所以Tn＝－2n＋×＝.

因为函数y＝的图象开口向上，对称轴为直线x＝，

所以当n＝4或n＝5时，(Tn)min＝＝－5.

设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝4，S9－S6＝27，则S10＝　65　.

解析：设数列{an}的公差为d.因为Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝4，S9－S6＝27，所以解得所以S10＝10×2＋×1＝65.

【注】 等差数列计算问题的通性通法：

(1) 等差数列计算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.

(2) 等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知道其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题的思路.

考向❷  等差数列的判定与证明

　　例2　已知在数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*).求证：数列{bn}是等差数列.

解析：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，

所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.

又b1＝＝－，

所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列.

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.

(1) 设bn＝an＋1－an，证明：数列{bn}是等差数列；

(2) 求数列{an}的通项公式.

解析：(1) 由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.

又b1＝a2－a1＝1，

所以数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列.

(2) 由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，

即an＋1－an＝2n－1，

所以 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)，

所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.

又a1＝1，所以an＝n2－2n＋2.

【注】 等差数列的四个判定方法：

(1) 定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.

(2) 等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列.

(3) 通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列.

(4) 前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.

考向❸  等差数列性质的应

　　例3　(1) 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝　10　；

解析：(1) 因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，所以a5＝5，故a2＋a8＝2a5＝10.

(2) 已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝　21　Ｗ.

解析：因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.

(1) 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝　3　；

解析：因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.

(2) 在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018的值为　－2 018　.

解析：由题意知数列为等差数列，其公差为1，所以＝＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1，所以S2 018＝－2 018.

【注】 等差数列的性质：

(1) 项的性质：在等差数列{an}中，由am－an＝(m－n)d得＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)与点(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.

(2) 和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.

　自测反馈　

1. 已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是　20　.

解析：设等差数列{an}的公差为d，则由题设可得解得则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.

2. 在等差数列{an}中，已知S30＝20，S90＝80，则S60＝　　.　

解析：设S60＝x，则S30，S60－S30，S90－S60成等差数列，所以20＋(80－x)＝2(x－20)，解得x＝.

3. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，那么数列{|an|}的前6项和T6＝　18　.

解析：由Sn＝n2－6n，得{an}是等差数列，且an＝2n－7.当n≤3时，an<0；当n≥4时，an>0，所以T6＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋a6＝S6－2S3＝18.

4. 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，则当n为　12或13　时，Sn取得最大值，最大值为　130　.

解析：因为a1＝20，S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，所以d＝－.

方法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，得a13＝0，所以当n≤12时，an>0；当n≥14时，an<0.所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值，

且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.

方法二：Sn＝20n＋×＝－n2＋n＝－＋.

因为n∈N*，所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.

1. 等差数列的通项公式与前n项和公式中的五个基本量：a1，d，n，an，Sn，知三求二.

2. 等差数列是一种特殊的数列，求解数列的问题时要注意方程思想及等差数列性质的应用.

3. 你还有那些体悟，写下来：