2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第28课__三角函数的图象与性质（2）

____第28课__三角函数的图象与性质(2)____

1. 会利用“五点法”熟练画出y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图．

2. 能由y＝sinx的图象通过平移、伸缩等变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象．

3.  能用y＝sinx的图象与性质来研究y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质.

1. 阅读：必修4第34～39页．

2. 解悟：①函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sinx的图象有什么关系？②怎样画出y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图？③你能用y＝sinx的图象与性质来研究y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质吗？④你能领会必修4第35～37页的三个思考的意图吗？例1的作用是什么？

3. 践习：在教材空白处，完成必修4第39～40页练习第 2、3、5、7题.

　基础诊断　

1.  将函数y＝sinx图象上的所有点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数的解析式为__y＝sin__．

解析：将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把所得图象中各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝sin(－)的图象．

2.  要得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝sin3x的图象向__左__平移____个单位长度．

解析：因为函数y＝sin3x＋cos3x＝sin＝sin，所以将函数y＝sin3x的图象向左平移个单位长度可得函数y＝sin3x＋cos3x的图象．

3.  函数y＝sin图象的对称中心为，k∈Z__，对称轴为__x＝＋，k∈Z__．

解析：因为2x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝－，k∈Z，所以函数y＝sin的图象的对称中心为，k∈Z.因为2x＋＝kπ＋，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，

所以函数y＝sin的图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.

4.  函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为__2－__．

解析：因为0≤x≤9，所以－∈，所以2sin∈[－，2]，

所以函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－.

　范例导航　

考向❶  “五点法”与“变换法”作图

例1　某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据如下表：

　　(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数y＝f(x)的解析式；

(2) 说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．

解析：(1) 根据表中已有数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：

函数f(x)的表达式为f(x)＝5sin.

(2) 由(1)知f(x)＝5sin，写出y＝sinx的图象到y＝5sin的图象的变换过程．

变换过程中有两种：A. 先平移，后伸缩；B. 先伸缩，后平移．

A. 先平移，后伸缩

【注】 “五点法”作图看似简单，却蕴含着三角函数中的整体到个别，再由个别反射到整体的“运算”．

已知f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)的最小正周期为π，且f＝.

(1)  求ω和φ的值；

(2)  在坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；

(3)  若f(x)>，求x的取值范围．

解析：(1)  周期T＝＝π，所以ω＝2.

因为f＝cos＝cos

＝－sinφ＝.

又－<φ<0，所以φ＝－.

(2)  由(1)得f(x)＝cos，列表如下：

图象如图：

(3)  cos>，

所以2kπ－<2x－<2kπ＋，k∈Z，

所以2kπ＋<2x<2kπ＋，k∈Z，

所以kπ＋<x<kπ＋，k∈Z，

所以x的取值范围是{x|kπ＋<x<kπ＋，k∈Z}．

【变式题】

如图，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象，由图中条件，写出该函数的解析式．

【点评】 由三角函数图象确定解析式是前几年命题的一个热点，此类型题要充分挖掘给出图象的信息进行求解，首先根据图象可知A＝5，函数的周期T＝2＝3π，所以ω＝＝.

方法一(单调性法)：

因为由图象可知点(π，0)在单调递减的那段曲线上，

所以＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，

所以φ＝2kπ＋(k∈Z)．

因为|φ|<π，所以φ＝.

故所求函数的解析式为y＝5sin.

方法二(最值点法)：

将最高点坐标代入y＝5sinx＋φ得5sin＝5，

所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，

所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，取k＝0时得满足|φ|<π的φ＝，

故所求函数的解析式为y＝5sin.

方法三(零点法)：

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般由“五点法”作出，一个周期内至少两个零点．

根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知(π，0)是一个周期内的第二个零点，而是下一个周期的第一个零点，于是有＋φ＝π，解得φ＝，

故所求函数的解析式为y＝5sin.

方法四(平移法)：

由图象可知，起始点坐标是，

则将y＝5sin的图象沿x轴向左平移个单位长度，就得到本题图象，

故所求函数的解析式为y＝5sin，

即y＝5sin.

【反思】 以上各种方法各有所长，方法三可以推广为关键点法，用此法解题要深刻理解五点作图法的本质，即五点之间的对应关系要明确. 进行三角函数图象变换若把函数y＝Asin(ωx＋φ)的形式平移变换、伸缩变换的次序不同，则平移单位就不同，需要特别注意．

【总结】 已知三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，欲求其解析式，必须搞清A，ω，φ与图象的哪些因素有关，在利用图象与x轴的交点时，要考虑这个点是在增区间上还是在减区间上，否则很容易出错．数形结合的思想方法必须时刻牢记在心，并随时加以运用．

考向❷  根据图象和性质确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

　　例2　设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图象如图所示．

(1)  求函数y＝f(x)的解析式；

(2)  当x∈时，求f(x)的取值范围．

解析：(1)  由图象知A＝2.

又＝－＝，ω>0，所以T＝2π＝，得ω＝1，所以f(x)＝2sin(x＋φ)．将点代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．

又－<φ<，所以φ＝，

所以f(x)＝2sin.

(2)  当x∈[－，]时，x＋∈[－，]，

所以sin∈，

即f(x)∈[－，2]．

已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为.

(1) 求f的值；

(2) 将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间．

解析：(1) 由题可得，f(x)＝2sin.

因为f(x)为偶函数，

所以φ－＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z.

因为0<φ<π，所以φ＝.由题意得＝2×，解得ω＝2.

故f(x)＝2cos2x，f＝2cos＝.

(2)  将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得f的图象，所以g(x)＝f＝2cos[2(－)]＝2cos，

当2kπ≤－≤2kπ＋π，k∈Z，即4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z时，函数g(x)单调递减．

故函数g(x)的单调减区间为[4kπ＋，4kπ＋](k∈Z).

考向❸  函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质的综合应用

例3　已知函数f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R.

(1) 求函数f(x)的最小正周期；

(2)  若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；

(3)  当x∈时，不等式<3恒成立，求实数m的取值范围．

解析：(1) 函数可化为f(x)＝－cos－cos2x＝sin2x－cos2x＝2sin.

故函数f(x)的最小正周期为π.

(2) h(x)＝f(x＋t)＝2sin.

令2×＋2t－＝kπ，k∈Z，得t＝＋，k∈Z.

又t∈(0，π)，故t＝或.

(3) 当x∈时，2x－∈[，]，

所以f(x)∈[1，2]．

|f(x)－m|<3，即f(x)－3<m<f(x)＋3，

所以2－3<m<1＋3，即－1<m<4.

故实数m的取值范围为(－1，4)．

【注】 本题主要是考察三角变换，以及y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、对称性及最值，涉及恒成立问题的解决．

　自测反馈　

1. 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且它的图象过点，则φ的值为__－__．

解析：由题意得，＝π，则ω＝2.又因为图象过点，所以2sin＝－，sin＝－，因为|φ|<，所以φ＝－.

2. 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示. 若A，B两点之间的距离AB＝5，则ω的值为____.

解析：设AB之间的水平距离为d，则由题意可得d2＋[2－(－2)]2＝52，解得d＝3，故函数的周期为T＝＝6，解得ω＝.

3. 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且函数f>f(π)，则函数f(x)的单调减区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

解析：若f(x)≤|f|对x∈R恒成立，则f为函数的最大值或最小值，即2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ＋，k∈Z.又因为f>f(π)，即－sinφ>sinφ，sinφ<0，令k＝－1，此时φ＝－，满足条件sinφ<0，令2x－∈[2kπ－，2kπ－](k∈Z)，解得x∈[kπ－，kπ＋](k∈Z)，所以函数f(x)的单调减区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

4. 已知函数y＝cosx与函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)图象有一个横坐标为的交点，则φ的值为____.

解析：由题意得，sin＝cos＝.因为0≤φ<π，所以≤＋φ<，所以＋φ＝，解得φ＝.

1. 三种题型：①已知三角函数的图象，求函数的解析式；②已知三角函数的解析式，求函数的性质(周期、对称性、单调性、最值)；③三角函数的变换(注意变换的顺序)．

2. 两种思想：化归思想，数形结合思想．

3. 你还有哪些体悟，写下来：