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    2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案:第36课__二元一次不等式组与简单的线性规划问题
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    2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案:第36课__二元一次不等式组与简单的线性规划问题

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    ____36__二元一次不等式组与简单的线性规划问题____

    1. 会在平面直角坐标系中表示二元一次不等式或二元一次不等式组对应的区域,能由给定的平面区域确定所对应的二元一次不等式或二元一次不等式组.

    2. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决,并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题的思想.

    3. 能够将非线性目标函数转化为:斜率、距离等问题解决.

    1. 阅读:必修58189页.

    2. 解悟:二元一次不等式组所对应的点(xy)表示的区域如何确定?领会在坐标平面内表示二元一次不等式或二元一次不等式组所对应的区域;思考:如何判断不等式AxByC>0(AB不同时为0)表示的平面区域?

    3.  践习:在教材空白处,完成必修586页练习第5题,第94页习题第78.

     基础诊断 

    1. 若点P(m3)到直线4x3y10的距离为4,且点P在直线2xy2的下方,则m__3__

    解析:因为点P(m3)到直线4x3y10的距离为4,所以d4,解得m7m=-3.m7时,2×73<2不成立;当m=-3时,2×(3)3=-3<2成立,所以P(33)在直线2xy2的下方,故 m=-3.

    2. 已知点Q(54),若动点P(xy)满足约束条件PQ的最小值为__5__

    解析:根据题中所给的约束条件,画出相应的可行域,其区域为以AB(11)C(02)为顶点的三角形以及其内部,通过观察,可知当点P落在点B处时PQ取得最小值,其最小值为5.

    3. ABC的三顶点为A(24)B(12)C(10),则ABC的内部可用二元一次不等式组表示为____

    解析:直线AB方程为 yx,直线AC方程为y4x4,直线BC的方程为y=-x1,故ABC内部可用二元一次不等式组表示为

    4. 已知实数xy满足则目标函数zx2y的最小值是__9__

    解析:作出不等式组对应的平面区域如图(影部分),当直线y过点A(36)时,截距最大,此时z最小,z最小值为x2y32×6=-9.

     范例导航 

    考向  用二元一次不等式组表示的平面区域解决问题

    例 画出不等式组表示的平面区域A,在此条件下解决下列问题:

    (1) A的面积;

    (2) B{(xyxy)|(xy)A},求B的面积;

    (3) z3xy的最值;

    (4) zx2(y1)2的最小值;

    (5) z的值域;

    (6) zaxy(a>1)的最大值.

    解析:如图,画出可行域ACDE及其内部.

    (1) C到直线ED的距离hDE11,故A的面积为SCDE·DE·h×11×. 

    (2) mxynxy,则xy,代入原不等式组得画出对应的平面区域可知,B的面积为×11×11.

    (3) 当直线3xyz经过点E时,

    z取得最大值,即z3×3817.

    当直线3xyz经过点C时,

    z取得最小值,即z3×=-5. 

    z的最大、最小值分别为17,-5. 

    (4) 因为zx2(y1)2()2,所以z的最小值为点(0,-1)A中的点的距离最小值的平方,过点(0,-1)CD的垂线段,其长为

    所以zx2(y1)2的最小值为. 

    (5) 因为z,所以z为点(1,-1)A中的点连线的斜率,其中有斜率不存在,即垂直于x轴的连线,由=-=-,可知z的取值范围为(,-][,+).  

    (6) 因为a>1,所以当直线axyz经过点E时,

    z取得最大值,即zmax3a8.

     

    1.  已知xy满足约束条件zyax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为__2或-1__

    解析:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC),由zyaxyaxz.a0,此时yz,则目标函数只在A处取得最大值,不满足条件;若a>0,目标函数yaxz的斜率a>0,要使zyax取得最大值的最优解不唯一,则直线yaxz与直线2xy20平行,此时a2;若a<0,目标函数yaxz的斜率a<0,要使zyax取得最大值的最优解不唯一,则直线yaxz与直线xy20平行,此时a=-1.综上,a=-1a2.

    2.  已知xy满足约束条件若目标函数zaxby(a>0b>0)的最大值为12,求的最小值.

    解析:由zaxby(a>0b>0)y=-x,作出可行域如图.因为a>0b>0,所以直线y=-x的斜率为负,且截距最大时,z也最大,所以当直线y=-x经过点A时,z最大.又因为点A(46),所以6=-,即2a3b6.因为(2a3b)·2,当且仅当ab时取等号,所以最小为.

     自测反馈 

    1. 不等式组所表示的平面区域的面积为____

    解析:作出不等式组所表示的平面区域为如图所示的三角形ABC,由题意可得AB(20)C(10),所以SABC×1×.

    2. 已知实数xy满足不等式的取值范围是____

    解析:作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)z表示可行域内的点(xy)与点(00)连线的斜率,由图可知,的最大值为2,最小值为,所以.又因为2,当且仅当1时取等号;当时,取得最大值,所以的取值范围为.

    3. xy满足约束条件目标函数zabxy(a>0b>0)的最大值为35,则ab的最小值为__8__

    解析:作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分),由图易知目标函数在(23)处取得最大值35,即352ab3,所以ab16,所以ab28,当且仅当ab4时等号成立,所以ab最小值为8.

    4. 若变量xy满足约束条件z2xy的最小值为-6k__2__

    解析:作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分),由z2xyy=-2xz,平移直线y=-2xz,由图象可知直线y=-2xz经过点A时,直线y=-2xz的截距最小,此时z最小.由解得A(2,-2).因为点A在直线yk上,所以k=-2.

     

    1. 作二元一次不等式()表示的区域时,要关注边界是否可取.

    2. 确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值线,从而确定最优解.

    3. 你还有哪些体悟,写下来:

                                        

                                        


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