2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第36课__二元一次不等式组与简单的线性规划问题

____第36课__二元一次不等式组与简单的线性规划问题____

1. 会在平面直角坐标系中表示二元一次不等式或二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平面区域确定所对应的二元一次不等式或二元一次不等式组．

2. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题的思想．

3. 能够将非线性目标函数转化为：斜率、距离等问题解决.

1. 阅读：必修5第81～89页．

2. 解悟：①二元一次不等式组所对应的点(x，y)表示的区域如何确定？②领会在坐标平面内表示二元一次不等式或二元一次不等式组所对应的区域；③思考：如何判断不等式Ax＋By＋C>0(A，B不同时为0)表示的平面区域？

3.  践习：在教材空白处，完成必修5第86页练习第5题，第94页习题第7、8题.

　基础诊断　

1. 若点P(m，3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在直线2x＋y＝2的下方，则m＝__－3__．

解析：因为点P(m，3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，所以d＝＝4，解得m＝7或m＝－3.当m＝7时，2×7＋3<2不成立；当m＝－3时，2×(－3)＋3＝－3<2成立，所以P(－3，3)在直线2x＋y＝2的下方，故 m＝－3.

2. 已知点Q(5，4)，若动点P(x，y)满足约束条件则PQ的最小值为__5__．

解析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，其区域为以A，B(1，1)，C(0，2)为顶点的三角形以及其内部，通过观察，可知当点P落在点B处时PQ取得最小值，其最小值为＝5.

3. △ABC的三顶点为A(2，4)，B(－1，2)，C(1，0)，则△ABC的内部可用二元一次不等式组表示为____

解析：直线AB方程为 y＝x＋，直线AC方程为y＝4x－4，直线BC的方程为y＝－x＋1，故△ABC内部可用二元一次不等式组表示为

4. 已知实数x、y满足则目标函数z＝x－2y的最小值是__－9__．

解析：作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)，当直线y＝－过点A(3，6)时，截距最大，此时z最小，z最小值为x－2y＝3－2×6＝－9.

　范例导航　

考向  用二元一次不等式组表示的平面区域解决问题

例　画出不等式组表示的平面区域A，在此条件下解决下列问题：

(1) 求A的面积；

(2) 设B＝{(x－y，x＋y)|(x，y)∈A}，求B的面积；

(3) 求z＝3x＋y的最值；

(4) 求z＝x2＋(y＋1)2的最小值；

(5) 求z＝的值域；

(6) 求z＝ax＋y(a>1)的最大值．

解析：如图，画出可行域A为△CDE及其内部．

(1) 点C到直线ED的距离h＝，DE＝11，故A的面积为S△CDE＝·DE·h＝×11×＝. 

(2) 设m＝x－y，n＝x＋y，则x＝，y＝，代入原不等式组得即画出对应的平面区域可知，B的面积为×11×11＝.

(3) 当直线3x＋y＝z经过点E时，

z取得最大值，即z＝3×3＋8＝17.

当直线3x＋y＝z经过点C时，

z取得最小值，即z＝3×＋＝－5. 

故z的最大、最小值分别为17，－5. 

(4) 因为z＝x2＋(y＋1)2＝()2，所以z的最小值为点(0，－1)与A中的点的距离最小值的平方，过点(0，－1)作CD的垂线段，其长为＝，

所以z＝x2＋(y＋1)2的最小值为. 

(5) 因为z＝＝，所以z为点(－1，－1)与A中的点连线的斜率，其中有斜率不存在，即垂直于x轴的连线，由＝－，＝－，可知z的取值范围为(－∞，－]∪[－，＋∞). 　

(6) 因为a>1，所以当直线ax＋y＝z经过点E时，

z取得最大值，即zmax＝3a＋8.

1.  已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为__2或－1__．

解析：作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)，由z＝y－ax得y＝ax＋z.若a＝0，此时y＝z，则目标函数只在A处取得最大值，不满足条件；若a>0，目标函数y＝ax＋z的斜率a>0，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y＝ax＋z与直线2x－y＋2＝0平行，此时a＝2；若a<0，目标函数y＝ax＋z的斜率a<0，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y＝ax＋z与直线x＋y－2＝0平行，此时a＝－1.综上，a＝－1或a＝2.

2.  已知x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，求＋的最小值．

解析：由z＝ax＋by(a>0，b>0)得y＝－x＋，作出可行域如图．因为a>0，b>0，所以直线y＝－x＋的斜率为负，且截距最大时，z也最大，所以当直线y＝－x＋经过点A时，z最大．又因为点A(4，6)，所以6＝－＋，即2a＋3b＝6.因为＋＝(2a＋3b)·＝＋＋≥＋2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋最小为.

　自测反馈　

1. 不等式组所表示的平面区域的面积为____．

解析：作出不等式组所表示的平面区域为如图所示的三角形ABC，由题意可得A，B(2，0)，C(1，0)，所以S△ABC＝×1×＝.

2. 已知实数x，y满足不等式则的取值范围是____．

解析：作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，z＝表示可行域内的点(x，y)与点(0，0)连线的斜率，由图可知，的最大值为2，最小值为，所以∈.又因为＝＋≥2，当且仅当＝1时取等号；当＝时，＝＋取得最大值，所以的取值范围为.

3. 设x，y满足约束条件目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为35，则a＋b的最小值为__8__．

解析：作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，由图易知目标函数在(2，3)处取得最大值35，即35＝2ab＋3，所以ab＝16，所以a＋b≥2＝8，当且仅当a＝b＝4时等号成立，所以a＋b最小值为8.

4. 若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝__－2__．

解析：作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x＋z，由图象可知直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小．由解得即A(－2，－2)．因为点A在直线y＝k上，所以k＝－2.

1. 作二元一次不等式(组)表示的区域时，要关注边界是否可取．

2. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定最优解．

3. 你还有哪些体悟，写下来：