2020高考数学理科大一轮复习导学案：第十章概率10.6
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知识点一 几何概型
1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
2．几何概型的特点
(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
1．判断正误
(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( √ )
(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )
(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．( × )
解析：(1)正确．根据几何概型的概念可知正确．
(2)正确．几何概型中的测度可为长度、面积、体积、角度等．
(3)错误．与面积有关的几何概型的概率只与几何图形的面积有关，而与几何图形的形状无关．
(4)错误．几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个．
知识点二 几何概型的概率公式
P(A)＝.
2．(2019·安徽质量检测)某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15～8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是( D )
A. B.
C. D.
解析：该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB，且AB＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB，且CB＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率P＝＝，故选D.
3．(2019·重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( D )
A. B.
C．1－ D．1－
解析：
如图，直角三角形的斜边长为＝17，设其内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3，∴内切圆的面积为πr2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－＝1－.选D.
4．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P与点O的距离大于1的概率为1－.
解析：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与点O的距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V1＝×π×13＝.
事件“点P与点O的距离大于1的概率”对应的区域体积为23－.根据几何概型概率公式，得点P与点O的距离大于1的概率P＝＝1－.
1．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关．
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
考向一 与长度、角度有关的几何概型
【例1】 (1)(2018·贵阳市监测考试)某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间大于等于7分钟的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以点A为圆心，1为半径作弧，交线段AB于点E，在上任取一点P，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．
【解析】 (1)由几何概型的概率计算公式可知所求概率P＝＝，故选D.
(2)如图，连接AC，交圆弧DE于点P，则tan∠CAB＝＝，∴∠CAB＝30°，∵射线AP与线段BC有公共点的条件是射线AP在∠CAB内，∴所求概率为＝.
【答案】 (1)D (2)
1如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解.解题的关键是构建事件的区域长度.
2当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.
(1)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是.
(2)如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，它的长度小于或等于半径长的概率为.
解析：(1)由6＋x－x2≥0解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，故所求概率为＝.
(2)当AA′的长度等于半径的长度时，∠AOA′＝，由圆的对称性及几何概型得所求概率P＝＝.
考向二 与面积有关的几何概型
方向1 与平面几何有关的几何概型
【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
【解析】 解法1：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝bc，区域Ⅱ的面积S2＝π×()2＋π×()2－[－bc]＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A.
解法2：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝2，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－[－2]＝2，区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.
【答案】 A
方向2 与线性规划有关的几何概型
【例3】 两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】
因涉及两人见面时间，故考虑到是几何概型，建立坐标系列出满足条件的式子，计算出最终的概率．因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组成，以5：30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系．
设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为Ω＝{(x，y)|0≤x≤30,0≤y≤30}，画成图为一正方形，见面的充要条件为|x－y|≤15，即事件A可以见面所对应的区域是图中的阴影部分，故由几何概型概率公式知所求概率为面积之比，即P(A)＝＝.故选D.
【答案】 D
方向3 与随机模拟有关的几何概型
【例4】 从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设由构成的正方形的面积为S，x＋y<1构成的图形的面积为S′，所以＝＝，所以π＝.故选C.
【答案】 C
求解与面积有关的几何概型的关键点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．
1．(方向1)(2019·湖南郴州质量检测)如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( C )
A. B.
C．1－ D．1－
解析：如题图，设黑色小圆的半径为r，则黑色大圆的半径为2r，由题意可知，8r＝8，即r＝1.
∴图中黑色区域的面积为：S1＝8×8－π×42＋4×π×12＋π×22＝64－8π，又正方形的面积S＝64.
∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率P＝＝＝1－.故选C.
2．(方向2)设点(a，b)在不等式组表示的平面区域内，则函数f(x)＝ax2－2bx＋3在区间上是增函数的概率为( A )
A. B.
C. D.
解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．
若函数f(x)＝ax2－2bx＋3在区间上是增函数，则即可得满足条件的平面区域为△OBC.由得即C，，则S△OBC＝×4×＝，又S△OAB＝×4×4＝8，故所求概率P＝＝＝，故选A.
3．(方向3)(2019·河南濮阳一模)如图所示的长方形的长为2、宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为m粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( B )
A. B. C. D.
解析：长方形的面积为2，图中飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约为，故图中飞鸟图案的面积约为.故选B.
考向三 体积型几何概型
【例5】 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】 由题图可知VFAMCD＝×SAMCD×DF＝a3，VADFBCE＝a3，所以它飞入几何体FAMCD内的概率为＝.
【答案】 D
与体积有关的几何概型求法的关键点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为( C )
A. B.
C. D.
解析：由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为3的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r为三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的体对角线，即2r＝＝2，所以球的体积为，所以点落在四面体内的概率为＝.
