2020高考数学理科大一轮复习导学案：第十章概率10.9

知识点一　　　　离散型随机变量的均值

1．一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

3．(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；

(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.

1．已知离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望E(X)＝(　A　)

A.  B．2

C.  D．3

解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝.故选A.

2．(选修2—3P68A组T5)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：

若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是乙．

解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E(Y)<E(X)．∴乙技术好．

知识点二　　　离散型随机变量的方差

1．设离散型随机变量X的分布列为

　　则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．

2．D(aX＋b)＝a2D(X)．

3．若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．

4．若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．

3．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝(　B　)

A．0.7  B．0.6

C．0.4  D．0.3

解析：由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)<P(X＝6)，得Cp4(1－p)6<Cp6(1－p)4，即(1－p)2<p2，所以p>0.5，所以p＝0.6.

4．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝.

解析：由题意设P(ξ＝1)＝p，ξ的分布列如下

由E(ξ)＝1，可得p＝，所以D(ξ)＝12×＋02×＋12×＝.

1．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量的集中与离散程度．

2．注意以下几个结论：

(1)均值E(X)＝ipi，

(2)方差D(X)＝(xi－E(X))2pi

＝E(X2)－E2(X)．

(3)若X服从两点分布，

则D(X)max＝，此时p＝.

(4)若a，b为常数，X是随机变量，则E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．

考向一　　　　离散型随机变量的均值与方差

【例1】　(1)(2018·浙江卷)设0<p<1，随机变量ξ的分布列是

则当p在(0,1)内增大时，(　　)

A．D(ξ)减小  B．D(ξ)增大

C．D(ξ)先减小后增大  D．D(ξ)先增大后减小

(2)(2019·河南南阳一模)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50,100)内，且销售量x的分布频率

f(x)＝

①求a的值并估计销售量的平均数；

②若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望(将频率视为概率)．

【解析】　(1)由题可得E(ξ)＝＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋＝－(p－)2＋，所以当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D.

(2)①由题知解得5≤n≤9，n可取5,6,7,8,9，代入f(x)＝

中，

得＋＋＋＋＝1，解得a＝0.15.

销售量在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)内的频率分别是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3，销售量的平均数为55×0.1＋65×0.1＋75×0.2＋85×0.3＋95×0.3＝81.

②销售量在[70,80)，[80,90)，[90,100)内的频率之比为233，所以各组抽取的天数分别为2,3,3.

X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝＝＝，

P(X＝3)＝＝＝，

P(X＝2)＝1－－＝.

X的分布列为

数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

【答案】　(1)D　(2)见解析

1求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.

2由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程组，解方程组即可求出参数值.

(2019·海南二模)某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：

现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站．甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，.

(1)求甲、乙两人付费相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

解：(1)由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1－－＝，

乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1－－＝，

设“甲、乙两人付费相同”为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝，

所以甲、乙两人付费相同的概率是.

(2)由题意可知X的所有可能取值为6,9,12,15,18.

P(X＝6)＝×＝，

P(X＝9)＝×＋×＝，

P(X＝12)＝×＋×＋×＝，

P(X＝15)＝×＋×＝，

P(X＝18)＝×＝.

因此X的分布列如下：

所以X的数学期望E(X)＝6×＋9×＋12×＋15×＋18×＝.

考向二　　　　二项分布的均值与方差

【例2】　某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨)．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．

(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；

(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数，求X的分布列和数学期望．

【解】　(1)记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A，

则P(A)＝＋＝＝.

(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为.

X的所有可能取值为0,1,2,3，易知X～B(3，)，

P(X＝k)＝C()k()3－k，k＝0,1,2,3，

则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.

∴随机变量X的分布列为

数学期望E(X)＝3×＝1.

二项分布的期望与方差

(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．

(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．

(2019·武汉调研测试)甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成绩(单位：分)记录如下：

甲　86　77　92　72　78　84

乙　78　82　88　82　95　90

(1)用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由(不用计算)．

(2)若将频率视为概率，对运动员甲在今后3次测试中的成绩进行预测，记这3次测试的成绩高于85分的次数为X，求X的分布列和数学期望E(X)及方差D(X)．

解：(1)茎叶图如图：

由图可知乙的平均水平比甲高，故选派乙参赛更好．

(2)由题意得，甲运动员每次测试的成绩高于85分的概率是，3次测试的成绩高于85分的次数X服从二项分布，X所有可能的取值为0,1,2,3，

P(X＝0)＝C×()0×()3＝，

P(X＝1)＝C×()1×()2＝，

P(X＝2)＝C×()2×()1＝，

P(X＝3)＝C×()3×()0＝，

X的分布列为

E(X)＝3×＝1，D(X)＝3××＝.

考向三　　　　均值与方差在实际中的应用

【例3】　(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【解】　(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2(1－p)18.

因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)．

令f′(p)＝0，得p＝0.1.

当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；

当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.

所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.

(2)由(1)知，p＝0.1.

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，

依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.

所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.

②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．

随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；

项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．

解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元．则X1的分布列为

∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)．

若按“项目二”投资，设获利X2万元，

则X2的分布列为：

∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)．

D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，

D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.

所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，

这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．

综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．