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2020高考数学理科大一轮复习导学案:第八章平面解析几何8.2
展开知识点一 两条直线平行与垂直的判定
1.两条直线平行
对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.特别地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为平行.
2.两条直线垂直
如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1⊥l2⇔
k1·k2=-1.
1.直线ax+2y-1=0与直线2x-3y-1=0垂直,则a的值为( D )
A.-3 B.-
C.2 D.3
解析:由2a+2×(-3)=0,得a=3.
2.已知直线(k-3)x+(4-k)y+1=0与2(k-3)x-2y+3=0平行,那么k的值为( C )
A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2
解析:法1:把k=1代入已知两条直线,得-2x+3y+1=0与-4x-2y+3=0,此时两条直线的斜率不相等,所以两条直线不平行,所以k≠1,排除A,B,D.法2:因已知两条直线平行,所以k=3或解得k=3或k=5.
知识点二 两条直线的交点
设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的交点坐标就是方程组
的解,
(1)若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;
(2)若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行,反之,亦成立.
3.直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为.
解析:由得代入y=ax-2得a=.
4.点(a,b)关于直线x+y+1=0的对称点是(-b-1,-a-1).
解析:设对称点的坐标为(x0,y0),
则
即
解之得
即对称点坐标为(-b-1,-a-1).
知识点三 两种距离
1.点到直线的距离
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.
2.两条平行线间的距离
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=.
5.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是.
解析:先将2x+2y+1=0化为x+y+=0,则两平行线间的距离为d==.
6.已知点A(3,2)和B(-1,4)到直线ax+y+1=0的距离相等,则a的值为或-4.
解析:由平面几何知识得AB平行于直线ax+y+1=0或AB中点在直线ax+y+1=0上,所以a=或-4.
1.两直线平行或重合的充要条件
直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0平行或重合的充要条件是A1B2-A2B1=0.
2.两直线垂直的充要条件
直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0.
3.过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
4.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.
考向一 两条直线的平行与垂直
【例1】 (1)已知两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a等于( )
A.-1 B.2
C.0或-2 D.-1或2
(2)已知两直线方程分别为l1:x+y=1,l2:ax+2y=0,若l1⊥l2,则a=________.
【解析】 (1)若a=0,两直线方程分别为-x+2y+1=0和x=-3,此时两直线相交,不平行,所以a≠0;
当a≠0时,两直线平行,则有=≠,
解得a=-1或2.
(2)因为l1⊥l2,所以k1k2=-1.
即(-1)·=-1,解得a=-2.
【答案】 (1)D (2)-2
1当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
(1)若直线l1:(a-1)x+y-1=0和直线l2:3x+ay+2=0垂直,则实数a的值为( D )
A. B.
C. D.
(2)已知a,b为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0平行,则2a+3b的最小值为25.
解析:(1)由已知得3(a-1)+a=0,解得a=.
(2)由两直线平行可得,a(b-3)=2b,即2b+3a=ab,+=1.又a,b为正数,所以2a+3b=(2a+3b)·=13++≥13+2=25,当且仅当a=b=5时取等号,故2a+3b的最小值为25.
考向二 两条直线的交点
【例2】 (1)经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为________________.
(2)已知直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点________.
【解析】 (1)解法1:由方程组
得即P(0,2).因为l⊥l3,
所以直线l的斜率k=-,
所以直线l的方程为y-2=-x,
即4x+3y-6=0.
解法2:因为直线l过直线l1和l2的交点,所以可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.因为l与l3垂直,所以3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,所以λ=11,所以直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.
(2)直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,由解得x=2,y=-2,所以直线l恒过定点(2,-2).
【答案】 (1)4x+3y-6=0 (2)(2,-2)
(1)求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
(2)过定点问题
把直线方程整理成m(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0的形式,由可求定点坐标.
(1)经过两直线2x+y+4=0和x-2y-3=0的交点P(-1,-2),且斜率是直线x-2y+5=0的斜率的2倍的直线l的方程为x-y-1=0.
(2)不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过一个定点,则这个定点的坐标是(2,3).
解析:(1)由题意得,两直线的交点P(-1,-2),直线l的斜率k=1,所以直线l的方程为y+2=x+1,即x-y-1=0.
(2)直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,即k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,根据k的任意性可得解得∴不论k取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都经过定点(2,3).
考向三 距离问题
【例3】 (1)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为______________________.
【解析】 (1)因为=≠,所以两直线平行,将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,
即=,
所以|PQ|的最小值为.
(2)设所求直线的方程为y-4=k(x-3),即kx-y-3k+4=0,
由已知及点到直线的距离公式可得
=,
解得k=2或k=-,
即所求直线的方程为2x+3y-18=0或2x-y-2=0.
【答案】 (1)C (2)2x+3y-18=0或2x-y-2=0
1点Px0,y0到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;
2利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x,y的系数化为对应相等.
(1)若直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
(2)若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( A )
A.3 B.2
C.3 D.4
解析:(1)方法1:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知
=,
即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-.∴直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.
方法2:当AB∥l时,有k=kAB=-,
直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.
当l过AB的中点时,AB的中点为(-1,4).
∴直线l的方程为x=-1.
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
(2)依题意知,线段AB的中点M在到直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距离都相等的直线(设为l)上,则M到原点的距离的最小值为原点到直线l的距离.设点M所在直线l的方程为x+y+m=0.根据平行线间的距离公式得=,即|m+7|=|m+5|,得m=-6,即l:x+y-6=0.根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为=3.
考向四 对称问题
【例4】 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;
(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;
(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.
【解】 (1)设A′(x,y),由已知条件得
解得∴A′(-,).
(2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.设对称点M′(a,b),
则得M′(,).
设直线m与直线l的交点为N,则由得N(4,3).又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x-46y+102=0.
(3)解法1:在l:2x-3y+1=0上任取两点,如M(1,1),N(4,3),则M,N关于点A(-1,-2)的对称点M′,N′均在直线l′上,易得M′(-3,-5),N′(-6,-7).再由两点式可得l′的方程为2x-3y-9=0.
解法2:∵l∥l′,∴设l′的方程为2x-3y+C=0(C≠1).
∵点A(-1,-2)到两直线l,l′的距离相等,∴由点到直线的距离公式,得=,
解得C=-9.∴l′的方程为2x-3y-9=0.
解法3:设P(x,y)为l′上任意一点,
则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y),∵点P′在直线l上,
∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.
对称问题的解法
以光线反射为代表的很多实际问题,都可以转化为对称问题,关于对称问题,一般常见的有:
(1)点关于点的对称问题.利用中点坐标公式易得,如(a,b)关于(m,n)的对称点为(2m-a,2n-b);
(2)点关于线的对称点.点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况,如斜率不存在时较简单);
(3)线关于线的对称线.一般要在线上取点,可在所求直线上任取一点,也可在已知直线上取特殊点对称;
(4)特别地,当对称轴的斜率为±1时,可类比关于y=x的对称问题采用代入法,如(1,3)关于y=x+1的对称点为(3-1,1+1),即(2,2).
(1)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为x+4y-4=0.
(2)如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( C )
A.3 B.6
C.2 D.2
解析:(1)设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.
(2)直线AB的方程为x+y=4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线经过的路程为|CD|==2.