2020高考数学理科大一轮复习导学案：第八章平面解析几何8.4


　

知识点一 直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
　　　　　方法
位置关系　　　
几何法
代数法
相交
d Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0

1．已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为(　D　)
A．± B．±
C．± D．±1
解析：将y＝mx代入x2＋y2－4x＋2＝0，得(1＋m2)x2－4x＋2＝0，因为直线与圆相切，所以Δ＝(－4)2－4(1＋m2)×2＝8(1－m2)＝0，解得m＝±1.
2．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝2.
解析：由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.
3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围为[－3,1]．
解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
知识点二 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).


4．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　B　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2 5．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为2.
解析：由得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2.

1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．
　
考向一 直线和圆的位置关系
【例1】　(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
(2)(2019·湖南湘中名校联考)已知m>0，n>0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是________．
【解析】　(1)法1：由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．
法2：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．
法3：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
(2)因为m>0，n>0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1，所以＝1，即|m＋n|＝.两边平方并整理得mn＝m＋n＋1.由基本不等式mn≤2
可得m＋n＋1≤2，
即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，
解得m＋n≥2＋2.
当且仅当m＝n时等号成立．
【答案】　(1)A　(2)[2＋2，＋∞)



　
判断直线与圆的位置关系一般有两种方法
(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．
(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系．
由于本例(1)的直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，故可先判断该点与圆的位置关系，如果点在圆内，则一定相交；否则再利用常规方法求解．



(1)圆x2＋y2－4y＋3＝0与直线kx－y＋1＝0的位置关系是(　B　)
A．相离 B．相交或相切
C．相交 D．相交、相切或相离
(2)已知k∈R，点P(a，b)是直线x＋y＝2k与圆x2＋y2＝k2－2k＋3的公共点，则ab的最大值为(　B　)
A．15 B．9
C．1 D．－
解析：(1)因为直线kx－y＋1＝0过定点(0,1)，且(0,1)满足方程x2＋y2－4y＋3＝0，即点(0,1)在圆上，故直线与圆的位置关系为相交或相切．
(2)由题意得，原点到直线x＋y＝2k的距离d＝≤，且k2－2k＋3>0，解得－3≤k<1，因为2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3，所以当k＝－3时，ab取得最大值9.故选B.
考向二 圆与圆的位置关系
【例2】　(1)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋16＝0，则圆C1和圆C2的位置关系是(　　)
A．相离 B．外切
C．相交 D．内切
(2)已知经过点P的两个圆C1，C2都与直线l1：y＝x，l2：y＝2x相切，则这两圆的圆心距C1C2等于________．
【解析】　(1)圆C2的方程化为(x＋3)2＋(y－4)2＝9，圆C1，C2的半径分别为r1＝2，r2＝3，则圆C1与C2的圆心距为＝5＝r1＋r2，所以圆C1和圆C2外切，故选B.
(2)设圆心C1(a，b)，C2(c，d)，则＝，所以a2＝b2.因为圆C1过点P，所以a＝b>0，同理c＝d>0.由＝，得9a2－25a＋＝0，同理9c2－25c＋＝0，即a，c为方程9x2－25x＋＝0的两个根，因此|C1C2|＝|a－c|＝＝.
【答案】　(1)B　(2)




(1)处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断，一般不采用代数法.
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.




(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为(　C　)
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
(2)圆C1：x2＋y2－4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦长为(　A　)
A．2 B.
C．3 D．4
解析：(1)由题知C1(m，－2)，C2(－1，m)，圆C1的半径r1＝3，圆C2的半径r2＝2.因为两圆外切，所以两圆心间的距离d＝＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.
(2)两圆联立解得x－y＝0.圆C1可写成(x－2)2＋y2＝3，故C1(2,0)，半径为，圆心(2,0)到直线x－y＝0的距离为d＝＝，故公共弦长为2＝2.
考向三 直线、圆的综合问题
方向1　弦长问题
【例3】　(2019·陕西西安模拟考试)直线y－1＝k(x－3)被圆(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最短弦长等于(　　)
A. B．2
C．2 D.
【解析】　圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的圆心C(2,2)，半径为2，直线y－1＝k(x－3)，∴此直线恒过定点(3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C(2,2)与定点P(3,1)的连线垂直于弦，弦心距为＝，∴所截得的最短弦长2＝2，故选C.
【答案】　C
方向2　切线问题
【例4】　在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上．若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，则切线的方程为________．
【解析】　联立解得
所以圆心C(3,2)．
设切线方程为y＝kx＋3，可得圆心到切线的距离d＝r，
即＝1，
解得k＝0或k＝－.
故所求的切线方程为y＝3或y＝－x＋3.
【答案】　y＝3或y＝－x＋3
方向3　两圆相交问题
【例5】　(2019·湖北四地七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)
A．3 B．4
C．2 D．8
【解析】　连接O1A、O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以O1O＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.

在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝，∴在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2×＝2，∴AB＝2AC＝4.故选B.
【答案】　B



　
直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
(3)处理圆与圆的问题多用几何法．



1．(方向1)(2019·安徽合肥一模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　B　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立得方程组
解得或
∴|AB|＝2，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，∴圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，易知圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵d2＋2＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B.
2．(方向2)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　D　)
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
解析：点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d＝＝1，化简得24k2＋50k＋24＝0，解得k＝－或－.
3．(方向3)(2019·广东佛山顺德调研)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是(　A　)
A．{1，－1,3，－3} B．{5，－5,3，－3}
C．{1，－1} D．{3，－3}
解析：两圆的圆心距d＝r1＋r2＝3或d＝|r1－r2|＝1，∴|a|＝1或|a|＝3，∴a＝±1或a＝±3，故选A.

　
高考中与圆交汇问题赏析
由于圆是基本图形，在高考试题中，常与集合、向量、函数、不等式、圆锥曲线等知识综合在一起，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系等，难度不大，但综合性较强，需要有扎实的基本功才能顺利完成．
典例　(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【解题思路】　(1)先写出直线l的方程，并设出两个交点的坐标，再将直线方程与抛物线方程联立，并利用根与系数的关系与抛物线的定义建立关于斜率k的方程，解方程即可求解；(2)先由(1)求得AB的中点坐标，并求出AB的垂直平分线，然后设出圆心坐标，并根据圆心在线段AB的垂直平分线上与勾股定理建立方程组，解方程组可得圆心坐标，进而可得圆的方程．
【解】　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)
＝.
由题设知＝8，
解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
阅卷说明　本例是课本“抛物线”一节例4的延伸题，原题是“斜率为1的直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB长．”本例与课本题相比，背景相同，把“AB的长为8”变为条件为“|AB|＝8”，把“斜率为1的直线”变为“求直线l的方程”，并添加了“过AB且与C的准线相切”．可见高考题是源于课本又高于课本．


(2019·广州市调研测试)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点K(－1,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点(A，B两点在x轴上方)，点A关于x轴的对称点为D，且FA⊥FB，求△ABD的外接圆的方程．
解：(1)抛物线的准线方程为x＝－，所以点E(2，t)到焦点F的距离为2＋＝3，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设直线l的方程为x＝my－1(m>0)．
将x＝my－1代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0，
由Δ＝(－4m)2－16>0，解得m>1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(x1，－y1)，y1＋y2＝4m，y1y2＝4，
所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2－2m(y1＋y2)＋4＝8－4m2，
因为FA⊥FB，所以·＝0，
即8－4m2＝0，结合m>0，解得m＝.
所以直线l的方程为x－y＋1＝0.
设AB的中点坐标为(x0，y0)，
则y0＝＝2m＝2，x0＝my0－1＝3，
所以线段AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)．
因为线段AD的垂直平分线方程为y＝0，
所以△ABD的外接圆圆心坐标为(5,0)．
因为圆心(5,0)到直线l的距离d＝2，
且|AB|＝＝4，
所以圆的半径r＝＝2.
所以△ABD的外接圆的方程为(x－5)2＋y2＝24.