2020高考数学文科大一轮复习导学案：第六章不等式、推理与证明6.4

知识点一　　基本不等式

1．基本不等式≤

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3．几个重要的不等式

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．

ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)．

1．判断正误

(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　×　)

(2)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件．(　√　)

(3)若a≠0，则a2＋的最小值为2.(　√　)

知识点二　　利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

1．如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)

2．如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)

2．(必修5P100习题3.4A组第1(2)题改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　C　)

A．80   B．77

C．81   D．82

解析：xy≤2＝2＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立．故选C.

3．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　C　)

A．最大值为0   B．最小值为0

C．最大值为－4   D．最小值为－4

解析：f(x)≤－2－2＝－4，当且仅当x＝－1时，f(x)max＝－4.

4．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为.

解析：由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即b＝1时等号成立．

利用基本不等式求最值应注意的问题

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

考向一　　利用基本不等式求最值

【例1】　(1)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．

(2)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．

【解析】　(1)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.

(2)＝

＝·＝5＋2≥5＋4＝9.

当且仅当a＝b＝时，取等号．

【答案】　(1)1　(2)9

若将本例(2)中的条件不变，设问改为：则＋的最小值为4.

解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，

所以＋＝＋＝2＋＋

≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，

当且仅当a＝b＝时等号成立．

　　条件最值的求解通常有两种方法

一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；

二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

(1)设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是(　D　)

A．40   B．10

C．4   D．2

(2)(2019·南昌摸底调研)已知函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，则正数m的值为4.

解析：(1)因为x＋4y＝40，且x>0，y>0，

所以x＋4y≥2＝4.(当且仅当x＝4y时取“＝”)所以4≤40.所以xy≤100.

所以lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.

所以lgx＋lgy的最大值为2.

(2)∵x>2，m>0，∴y＝x－2＋＋2

≥2＋2＝2＋2，

当x＝2＋时取等号，又函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，∴2＋2＝6，解得m＝4.

考向二　　基本不等式的实际应用

【例2】　运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

【解】　(1)设所用时间为t＝(h)，y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．

所以，这次行车总费用y关于x的表达式是

y＝＋x，x∈[50,100]

.

(2)y＝＋x≥26，

当且仅当＝x，

即x＝18时等号成立．

故当x＝18千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．

　　应用基本不等式解决实际问题的基本步骤

(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(2)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(3)还原为实际问题，写出答案．

某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30.

解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为f(x)＝×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x的值是30.

考向三　　基本不等式与函数的综合应用

【例3】　(1)对函数f(x)，如果存在x0≠0使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)  B．(1，＋∞)

C．(e，＋∞)  D．[1，＋∞)

(2)(2019·洛阳模拟)设函数f(x)＝－sin2x的最小值为m，且与m对应的x的最小正值为n，则m＋n＝________.

【解析】　(1)由题意得，函数存在奇对称点，即函数图象上存在两点关于原点对称，可设两点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，即y1＝ex1－a，y2＝ex2－a.因为关于原点对称，所以x1＋x2＝0，ex1－a＝－ex2＋a，则2a＝ex1＋ex2≥2＝2＝2，因为x1≠0，且x2≠0，所以a>1，故选B.

(2)f(x)＝＋＝＋－，因为cos2x＋2>0，所以f(x)≥2×－＝0，当且仅当＝，即cos2x＝－时等号成立，所以x的最小正值为n＝，所以m＋n＝.

【答案】　(1)B　(2)

求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.

(1)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　C　)

A.   B.

C．1   D．2

(2)已知直线mx＋ny－2＝0经过函数g(x)＝logax＋1(a>0且a≠1)的定点，其中mn>0，则＋的最小值为2.

解析：(1)由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；

②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，

当且仅当x＝－时取等号，

所以解得a＝1，故选C.

(2)因为函数g(x)＝logax＋1(a>0且a≠1)的定点为(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，所以m＋n－2＝0，即＋＝1，所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝2，

当且仅当＝，即m2＝n2时取等号，

所以＋的最小值为2.

合理配凑　妙解基本不等式

利用基本不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点，应用该公式时需要满足“一正、二定、三相等”，在运用基本不等式时，常常遇到不能直接套用公式的情况，这时需要对题中的关系式进行适当的配凑变形，使问题快速解决．本文对运用基本不等式时的配凑方法适当概括，以帮助考生理清解题思路，妙用基本不等式．

1．妙用常值“1”，变形求解

典例1　已知x∈(0，)，求函数f(x)＝＋的最小值．

【解】　因为＝，且2x＋(1－2x)＝1，所以f(x)＝＋＝[2x＋(1－2x)]·(＋)＝4＋9＋＋，又x∈(0，)，所以1－2x∈(0,1)，所以f(x)≥13＋2＝25，

当且仅当＝时等号成立，又x∈(0，)，所以x＝时，等号成立．

故函数f(x)＝＋的最小值为25.

【点评】　当两个式子之和为定值(无论是否为1)，均可灵活运用“1”进行变形，进而迅速、准确求解．

2．合理拆项分组，拼凑定积

典例2　设a>b>0，则a＋＋的最小值为(　　)

A．2　　　　　　　　　　 B．3

C．4   D．3＋2

【解析】　a＋＋＝(a－b)＋＋b＋≥2＋2＝4，当且仅当

即时等号成立．故选C.

【答案】　C

【点评】　本题解答的关键是将变量a拆解为a－b＋b，以及拆项后的恰当组合，同时在利用基本不等式解题时要注意基本不等式适用的条件，即“一正、二定、三相等”；切记要注意等号成立的条件．

3．消元法，多元变单元

典例3　已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为________．

【解析】　∵2logab＋3logba＝2logab＋＝7，

∴2(logab)2－7logab＋3＝0，

∴(2logab－1)(logab－3)＝0，

∴logab＝或logab＝3.又a>b>1，

∴logab＝＝loga，b2＝a.

∴a＋＝a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a－1＝，即a＝2时取等号．故a＋的最小值为3.

【答案】　3

【点评】　本题利用对数的运算得到a，b的关系，利用该关系进行消元，转化为单变量的关系式，进而构造基本不等式求得最值．