2020高考数学理科大一轮复习导学案：第二章函数、导数及其应用2.8


　

知识点一 函数的零点
1．定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　×　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　√　)
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x) 2．(必修1P92A组第5题改编)函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致范围是(　B　)
A．(1,2) B．(2,3)
C.和(3,4) D．(4，＋∞)
解析：易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－>0，得f(2)·f(3)<0.故选B.
3．(必修1P88例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　B　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
知识点二 二分法
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且_f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a，b]，验证_f(a)f(b)<0，给定精确度ε；
第二步，求区间(a，b)的中点x1；
第三步，计算f(x1)；
①若_f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若_f(a)f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若_f(x1)f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．
温馨提示：用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|a－b|<ε的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度ε下的近似值相同．这样所选的区间不同，但所得结果相同．

4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　A　)

5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200
f(1.587 5)＝0.133
f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003
f(1.556 2)＝－0.029
f(1.550 0)＝－0.060
　据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为1.56.
解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2，1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.

1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
2．函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件．
3．“对勾”函数模型f(x)＝x＋(a>0)在区间(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在区间(－，0)和(0，)上单调递减．
　
考向一 函数零点的判断与求解
方向1　判断函数零点所在区间
【例1】　(1)设x0是方程x＝的解，则x0所在的范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)

(2)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.

【答案】　(1)D　(2)B
方向2　判断函数零点的个数
【例2】　(1)f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)(2019·天津河东一模)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】　(1)解法1：由f(x)＝0得
或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
解法2：函数f(x)的图象如图所示，

由图象知函数f(x)共有2个零点．
(2)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝lnx(x>0)的图象，如图所示．

由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
【答案】　(1)B　(2)C

　
(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断.
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.

1．(方向1)(2019·河南十校联考)命题p：－ A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由题意得函数f(x)＝2x－＋a在(1,2)上单调递增，又函数f(x)在(1,2)上有零点，
∴f(1)f(2)＝(1＋a)＋a<0，
解得－ ∵，
∴p是q的必要不充分条件．故选C.
2．(方向2)(2019·南宁摸底联考)设函数f(x)＝lnx－2x＋6，则f(x)零点的个数为(　B　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：解法1：令f(x)＝0，则lnx＝2x－6，令g(x)＝lnx，h(x)＝2x－6(x>0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2，故选B.

解法2：函数f(x)＝lnx－2x＋6的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－2＝，令f′(x)＝0，得x＝，当00，当x>时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．因为f()＝－4－<0，f()＝5－ln2>0，f(e2)＝8－2e2<0，所以函数f(x)在(，)，(，e2)上各有一个零点，所以函数f(x)的零点个数为2，故选B.
考向二 函数零点的应用
方向1　二次函数的零点问题
【例3】　函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
【解析】　当f·f(3)<0时，函数在区间上有且仅有一个零点，即·(10－3a)<0，解得 【答案】　D
方向2　求参数的取值范围
【例4】　(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝
g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】　函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，

由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
【答案】　C
方向3　由函数零点探求函数的特征
【例5】　(2019·石家庄质量检测)已知M是函数f(x)＝e－8cos[π(－x)]在x∈(0，＋∞)上的所有零点之和，则M的值为(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
【解析】　

函数f(x)＝e－8cos[π(－x)]在(0，＋∞)上的所有零点之和，即e＝8sinπx在(0，＋∞)上的所有实数根之和，即e＝8sinπx在(0，＋∞)上的所有实数根之和．
令g(x)＝e，h(x)＝8sinπx，易知函数g(x)＝e的图象关于直线x＝对称，函数h(x)＝8sinπx的图象也关于直线x＝对称，作出两个函数的大致图象，如图所示．由图象知，两个函数的图象有4个交点，且4个交点的横坐标之和为6，故选B.
【答案】　B

　
已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法：
(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.

1．(方向1)已知函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则m的取值范围是(　D　)
A. B.
C. D.
解析：当m＝0时，函数f(x)＝－x－1有一个零点x＝－1，满足条件．当m≠0时，函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f(－2)·f(2)<0或②或③
解①得－ ②无解，解③得m＝.
综上可知－ 2．(方向2)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　D　)
A．[－1,1) B．[0,2]
C．[－2,2) D．[－1,2)
解析：由题意知g(x)＝因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x＝0在x>a时有一个解，由x＝2得a<2；由x2＋3x＋2＝0得x＝－1或x＝－2，则由x≤a得a≥－1.综上，a的取值范围为[－1,2)．故选D.
3．(方向3)(2019·惠州市调研考试)已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k的取值范围是(　D　)
A．(－∞，0) B．(0，)
C．(0，＋∞) D．(0,1)
解析：依题意，函数f(x)的图象上存在关于原点对称的点，如图，可作出函数y＝－ln(－x)(x<0)的图象关于原点对称的函数y＝lnx(x>0)的图象，使得它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可，当直线y＝kx－1与y＝lnx的图象相切时，设切点为(m，lnm)，又y＝lnx的导数为y′＝，则解得可得切线的斜率为1，结合图象可知k∈(0,1)时，函数y＝lnx的图象与直线y＝kx－1有2个交点，即函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对，故选D.


　

用换元法解决复合函数的零点问题
关于复合函数方程f(g(x))＝a的零点个数问题，可先换元解套t＝g(x)，则f(t)＝a，g(x)＝t，从而先由f(t)＝a确定t的解(或取值范围)，再由g(x)＝t并数形结合确定x的解的个数．
典例　已知函数f(x)＝若关于x的函数y＝f2(x)－bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　)
A．(2,8)　　　　　　　　　B．[2，)
C．(2，] D．(2,8]
【分析】　本题应先求方程t2－bt＋1＝0的根，设为t1，t2，再根据t1＝f(x)，t2＝f(x)的解的个数确定函数y＝f2(x)－bf(x)＋1的零点个数．已知函数y＝f2(x)－bf(x)＋1有8个不同的零点，先确定两个实数t的范围，再转化为一元二次方程t2－bt＋1＝0根的分布问题来解决．
【解析】　因为函数f(x)＝
作出f(x)的简图，如图所示．由图象可得，f(x)在(0,4]上任意取一个值，都有四个不同的x值与之对应．再结合题中函数y＝f2(x)－bf(x)＋1有8个不同的零点，可得关于t的方程t2－bt＋1＝0有两个不同的实数根t1，t2，且0 解得2
【答案】　C

归纳总结　本题结合图象可知，一元二次方程t2－bt＋1＝0的两个根00，另外t＝0时的函数值为正，t＝4时的函数值非负．当涉及二次方程根的分布问题时，一般结合图象从判别式、对称轴位置以及特殊点函数值的符号来讨论．

若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数是(　A　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由极值点定义可得，x1，x2为3x2＋2ax＋b＝0　①的两根，观察到方程①与3f 2(x)＋2af(x)＋b＝0结构完全相同，可得3f 2(x)＋2af(x)＋b＝0的两根为f1(x)＝x1，f2(x)＝x2，其中f(x1)＝x1.若x1x1＝f(x1)，所以y＝f1(x)的图象与y＝f(x)的图象有两个交点，而y＝f2(x)的图象与y＝f(x)的图象有一个交点，共计3个交点(如图(1)所示)；


若x1>x2，可判断出x1是极小值点，x2是极大值点，且f2(x)＝x2