2020高考数学理科大一轮复习导学案：第二章函数、导数及其应用2.2

知识点一   函数的单调性

1．单调函数的定义

2.单调性、单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　√　)

(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)

(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　×　)

(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　)

解析：(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)<f(1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．

(3)应对任意的x1<x2，f(x1)<f(x2)成立才可以．

(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间可以是R.

2．(必修1P39B组T3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　A　)

A．y＝－x   B．y＝x2－x

C．y＝lnx－x   D．y＝ex

解析：对于A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝ex在(0，＋∞)上是增函数．

知识点二  函数的最值

3．函数f(x)＝的值域为(－∞，2)．

解析：当x≥1时，f(x)＝logx是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；x<1时，f(x)＝2x是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2)．综上，f(x)的值域是(－∞，2)．

4．(必修1P31例4改编)函数f(x)＝在[2,6]上的最大值和最小值分别是4，.

解析：函数f(x)＝＝＝2＋在[2,6]上单调递减，所以f(x)min＝f(6)＝＝.f(x)max＝f(2)＝＝4.

1．“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”意义不同，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．

2．单调性的两种等价形式

(1)设任意x1，x2∈[a，b]且x1<x2，那么>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

3．函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

考向一  确定函数的单调性(区间)

【例1】　(1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．y＝   B．y＝(x－1)2

C．y＝2－x   D．y＝log0.5(x＋1)

(2)讨论函数f(x)＝(a>0)在(－1,1)上的单调性．

【解析】　(1)A项，y＝为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上单调递增；B项，y＝(x－1)2在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；C项，y＝2－x＝x为R上的减函数；D项，y＝log0.5(x＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A.

(2)法1：(定义法)

设－1<x1<x2<1，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝＝.

∵－1<x1<x2<1，

∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.

又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，

故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．

法2：(导数法)

f′(x)＝

＝＝＝－.

∵a>0，x∈(－1,1)，∴f′(x)<0.

∴f(x)在(－1,1)上是减函数．

【答案】　(1)A　(2)见解析

确定函数单调性的方法：1定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；2复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；3图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.

(1)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　A　)

A．[1,2]   B．[－1,0]

C．(0,2]   D．[2，＋∞)

解析：由题意得，f(x)＝

当x≥2时，[2，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间；

当x<2时，(－∞，1]是函数f(x)的单调递增区间，[1,2]是函数f(x)的单调递减区间．

(2)判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．

解：函数f(x)在(0，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．证明如下：

任取x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)

＝－＝(x1－x2)＋

＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).

当>x1>x2>0时，x1－x2>0,1－<0，则有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，)上单调递减；

当x1>x2≥时，x1－x2>0,1－>0，则有f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)＝x＋(a>0)在[，＋∞)上单调递增．

综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．

考向二  函数的最值

【例2】　(1)函数y＝x＋的最小值为________．

(2)函数y＝的值域为________．

(3)函数f(x)＝的最大值为________．

【解析】　(1)法1：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，

∴原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.

配方得y＝2＋，

又∵t≥0，∴y≥＋＝1.

故函数y＝x＋的最小值为1.

法2：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在其定义域[1，＋∞)内为增函数，所以当x＝1时y取最小值，即ymin＝1.

(2)y＝＝

＝2＋＝2＋.

∵2＋≥，

∴2<2＋≤2＋＝.

故函数的值域为.

(3)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.

【答案】　(1)1　(2)　(3)2

求函数最值(值域)的五种常用方法

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

(1)若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(　B　)

A．－3   B．－2

C．－1   D．1

(2)函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝6.

(3)函数y＝－x(x≥0)的最大值为.

解析：

(1)函数f(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1的图象如图所示．由图象知在[3，＋∞)上f(x)min＝f(3)＝32－2×3＋m＝1，得m＝－2.

(2)由题易知f(x)在[a，b]上为减函数，

所以即所以

所以a＋b＝6.

(3)令t＝，则t≥0，x＝t2

所以y＝t－t2＝－2＋，

当t＝，即x＝时，ymax＝.

考向三  函数单调性的应用

方向1　比较函数值的大小

【例3】　已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝－4－x，设a＝f(log30.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(－31.1)，则(　　)

A．c>a>b   B．a>b>c

C．c>b>a   D．b>a>c

【解析】　因为函数f(x)为偶函数，所以a＝f(log30.2)＝f(－log30.2)，c＝f(－31.1)＝f(31.1)．因为log3<log30.2<log3，所以－2<log30.2<－1，所以1<－log30.2<2，所以31.1>3>－log30.2>1>3－0.2.因为y＝在(0，＋∞)上为增函数，y＝－4－x在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(31.1)>f(－log30.2)>f(3－0.2)，所以c>a>b.

【答案】　A

方向2　解不等式

【例4】　(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝

则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]   B．(0，＋∞)

C．(－1,0)   D．(－∞，0)

【解析】　当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x＋1)<f(2x)，则需或所以x<0，故选D.

【答案】　D

方向3　求参数的取值范围

【例5】　已知函数f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　由对数函数的定义可得a>0，且a≠1.

又函数f(x)在R上单调，而二次函数y＝ax2－x－的图象开口向上，所以函数f(x)在R上单调递减，

故有即所以a∈.

【答案】　B

1比较大小. 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

2解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.

3利用单调性求参数.

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.

1．(方向2)(2019·河北石家庄一模)已知奇函数f(x)在x>0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为(　A　)

A．{x|0<x<1或x>2}

B．{x|x<0或x>2}

C．{x|x<0或x>3}

D．{x|x<－1或x>1}

解析：∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，则－1<x<0或x>1时，f(x)>0；x<－1或0<x<1时，f(x)<0.∴不等式f(x－1)>0即－1<x－1<0或x－1>1，解得0<x<1或x>2，故选A.

2．(方向1)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有>0，记a＝，b＝，c＝，则(　B　)

A．a<b<c   B．b<a<c

C．c<a<b   D．c<b<a

解析：∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有>0，∴函数是(0，＋∞)上的增函数，∵1<30.2<2,0<0.32<1，log25>2，∴0.32<30.2<log25，∴c>a>b.故选B.

3．(方向3)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于1.

解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∵函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)的图象以直线x＝a为对称轴，∴a＝1，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增．∵f(x)在[m，＋∞)上单调递增，∴m≥1，则m的最小值为1.