2020高考数学理科大一轮复习导学案：第二章函数、导数及其应用2.10


　

知识点一　　导数的概念
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
2．导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．

1．某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加速度是(　A　)
A．14 m/s2 B．4 m/s2
C．10 m/s2 D．－4 m/s2
解析：由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．
2．函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为3，在x＝2处的导数为4.
解析：函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝3，在x＝2处的导数为f′(2)＝2×2＝4.
3．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x.
解析：∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.当x＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.
知识点二　　导数的运算
1．几种常见函数的导数

2.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

4．函数y＝xcosx－sinx的导数为(　B　)
A．xsinx B．－xsinx
C．xcosx D．－xcosx
解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.
5．已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于(　B　)
A．e2 B．e
C. D．ln2
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.

1．求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axlna相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：′＝，(cosx)′＝sinx.
2．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.
3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
　
考向一　导数的运算
【例1】　求下列函数的导数．
(1)y＝x2sinx；
(2)y＝lnx＋；
(3)y＝；
(4)y＝xsincos.
【解】　(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′
＝2xsinx＋x2cosx.
(2)y′＝′＝(lnx)′＋′
＝－.
(3)y′＝′＝
＝－.
(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，
∴y′＝－sin4x－x·4cos4x
＝－sin4x－2xcos4x.


(1)对于复杂函数的求导，首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.
(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，不要与求导的乘法公式混淆.

(1)函数y＝的导数为y′＝.
(2)已知f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋a)，若f′(－1)＝2，则f′(1)＝26.
(3)函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)－lnx，则f′(2)的值是－.
解析：(1)∵y＝，
∴y′＝＝.
(2)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋a)＝(x2＋3x＋2)(x＋a)＝x3＋(a＋3)x2＋(3a＋2)x＋2a，所以f′(x)＝3x2＋2(a＋3)x＋3a＋2，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋2(a＋3)×(－1)＋3a＋2＝2，解得a＝3，所以f′(x)＝3x2＋12x＋11，所以f′(1)＝3×12＋12×1＋11＝26.
(3)∵f(x)＝x2＋3xf′(2)－lnx，∴f′(x)＝2x＋3f′(2)－，令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)－，
解得f′(2)＝－.
考向二　　导数的几何意义
方向1　已知切点求切线方程
【例2】　(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
【解析】　解法1：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)·(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.
解法2：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.
【答案】　D
方向2　求切点坐标
【例3】　设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．
【解析】　y＝ex的导数为y′＝ex，则曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1.y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，设P(m，n)，则曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
【答案】　(1,1)
方向3　未知切点的切线问题
【例4】　(1)(2019·西安八校联考)曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O为原点)是以∠A为顶角的等腰三角形，则切线l的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
(2)(2019·广州市调研测试)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为________．
【解析】　(1)解法1：因为y＝x3，所以y′＝3x2.设点B(x0，x)(x0≠0)，则kl＝3x，所以切线l的方程为y－x＝3x(x－x0)．取y＝0，则x＝x0，所以点A(x0,0)．易知线段OB的垂直平分线方程为y－＝－(x－)，根据线段OB的垂直平分线过点A(x0,0)可得－＝－(x0－)，解得x＝，所以kl＝3x＝，故切线l的倾斜角为60°.故选C.
解法2：因为y＝x3，所以y′＝3x2.设点B(x0，x)(x0≠0)，则kl＝3x，所以切线l的方程为y－x＝3x(x－x0)．取y＝0，则x＝x0，所以点A(x0,0)．由|OA|＝|AB|，得＝＋x，又x0≠0，所以x＝，所以kl＝3x＝，故切线l的倾斜角为60°.故选C.
(2)由y＝xlnx得，y′＝lnx＋1.设直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切于点P(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(lnx0＋1)(x－x0)，又直线y＝kx－2恒过点(0，－2)，所以点(0，－2)在切线上，把(0，－2)以及y0＝x0lnx0代入切线方程，得x0＝2，故P(2,2ln2)．把(2,2ln2)代入直线的方程y＝kx－2，得k＝1＋ln2.
【答案】　(1)C　(2)1＋ln2
　
1.与切线有关问题的处理策略
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0).
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.,(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
2.根据导数的几何意义求参数的值的思路
一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.

1．(方向1)已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝xln(－x)＋x＋2，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为(　B　)
A．y＝2x＋3 B．y＝2x－3
C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－3
解析：设x>0，则－x<0，∵f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝xln(－x)＋x＋2，∴f(x)＝－f(－x)＝－(－xlnx－x＋2)＝xlnx＋x－2.∴f(1)＝－1，f′(x)＝lnx＋2.∴f′(1)＝2，∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程是y＝2x－3.故选B.
2．(方向2)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　A　)
A．ln2 B．－ln2
C. D．－
解析：对f(x)＝ex＋a·e－x求导得f′(x)＝ex－ae－x，又f′(x)是奇函数，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故f′(x)＝ex－e－x.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝，得ex0＝2或ex0＝－(舍去)，得x0＝ln2.

3．(方向3)经过原点(0,0)作函数f(x)＝x3＋3x2的图象的切线，则切线方程为y＝0或9x＋4y＝0.
解析：当(0,0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为y＝0；当(0,0)不为切点时，设切点为P(x0，x＋3x)(x0≠0)，则切线方程为y－(x＋3x)＝(x－x0)(3x＋6x0)，因为切线过原点，所以x＋3x＝3x＋6x，所以x0＝－，此时切线方程为9x＋4y＝0.

　

典例　若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
【分析】　分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b的值．
【解析】　解法1：求得(lnx＋2)′＝，
[ln(x＋1)]′＝.
设曲线y＝lnx＋2上的切点为(x1，y1)，曲线y＝ln(x＋1)上的切点为(x2，y2)，则k＝＝，所以x2＋1＝x1.
又y1＝lnx1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝lnx1，
所以k＝＝2，
所以x1＝＝，y1＝ln＋2＝2－ln2，
所以b＝y1－kx1＝2－ln2－1＝1－ln2.
解法2：设直线y＝kx＋b与y＝lnx＋2的切点坐标为A(x1，lnx1＋2)，则在点A处的切线方程为y－(lnx1＋2)＝(x－x1)，即为y＝x＋lnx1＋1　①，设直线y＝kx＋b与y＝ln(x＋1)的切点坐标为B(x2，ln(x2＋1))，则在点B处的切线方程为y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，即为y＝x＋ln(x2＋1)－　②，由①②表示同一直线，则

解得x1＝，x2＝－，
则b＝ln＋1＝1－ln2.
【答案】　1－ln2

已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝8.
解析：法1：∵y＝x＋lnx，
∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.
∴曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由
消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法2：同法1得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．
∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由
解得