2020高考数学理科大一轮复习导学案：第二章函数、导数及其应用2.5
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知识点一 指数与指数幂的运算
1．根式
(1)根式的概念：
(2)两个重要公式：
①()n＝a(n>1，且n∈N＋)．
②＝
2．有理指数幂
(1)分数指数幂的含义：
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算法则：
设a>0，b>0，对任意有理数α，β，有以下运算法则
aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα.
上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂也适用．
1．判断正误
(1)()4＝－2.( × )
(2)＝a.( × )
2．(必修1P59A组第1题改编)化简(x<0，y<0)得( D )
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
解析：因为x<0，y<0，所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8) ·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.
3．若x＋x－1＝3，则x2－x－2＝±3.
解析：由(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝9，得x2＋x－2＝7.又(x－x－1)2＝x2－2＋x－2＝5，所以x－x－1＝±，所以x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±3.
知识点二 指数函数的图象与性质
4．函数y＝的定义域为[0，＋∞)．
解析：要使函数有意义，需1－x≥0，即x≤1，
∴x≥0，即定义域为[0，＋∞)．
5．(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点A，则f(－1)＝.
解析：依题意可知a2＝，解得a＝，
所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.
6．(必修1P58第2题改编)函数的定义域是(0，＋∞)．
解析：要使该函数有意义，
解得x>0，所以定义域为(0，＋∞)．
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．
考向一 指数与指数幂的运算
【例1】 化简、求值：
幂的运算的一般规律及要求
(1)分数指数幂与根式根据a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)可以相互转化．
(2)分数指数幂中的指数不能随便约分，例如要将a写成a必须认真考查a的取值才能决定，如(－1)＝＝1，而(－1)＝无意义．
(3)在进行幂的运算时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行运算．
(4)结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，且a<b，求：
(1)；
解：因为a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，且a<b，
所以a＝，b＝9，
(1)＝＝a＋b
＝＋9＝.
考向二 指数的图象及应用
【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
【解析】 (1)解法1：因为f(x)的定义域关于原点对称且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除A选项；
由f(2)＝>1，排除C、D选项．故选B.
解法2：当x<0时，因为ex－e－x<0，
所以此时f(x)＝<0，
故排除A、D；又f(1)＝e－>2，
故排除C，选B.
(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，
结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，
∴0<2a<1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
∴f(c)<1，∴0<c<1.
∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故选D.
【答案】 (1)B (2)D
函数图象的识辨方法
(1)由函数的定义域判断图象的左右位置，由函数的值域判断图象的上下位置；
(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势；
(3)由函数的奇偶性判断图象的对称性；
(4)由函数的周期性识辨图象；
(5)由函数图象上的特征点排除不符合要求的图象．
(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( D )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0
D．0<a<1，b<0
(2)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式：
①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.
(2)如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.
考向三 指数函数的性质及应用
方向1 指数函数的单调性
【例3】 (1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．c<a<b B．a<b<c
C．b<a<c D．c<b<a
(2)已知函数f(x)＝().
①若a＝－1，求f(x)的单调区间；
②若f(x)有最大值3，求a的值．
【解析】 (1)因为－<－<0，所以>>0＝1，即a>b>1，且<0＝1，所以c<1，综上，c<b<a.
(2)①当a＝－1时，f(x)＝()，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝()t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．
②令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝()h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
【答案】 (1)D (2)见解析
方向2 指数函数性质的综合应用
【例4】 (1)函数f(x)＝a＋(a，b∈R)是奇函数，且图象经过点，则函数f(x)的值域为( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－3,3) D．(－4,4)
(2)若不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)函数f(x)为奇函数，则f(0)＝a＋＝0①，函数图象过点，则f(ln3)＝a＋＝②.
结合①②可得a＝1，b＝－2，则f(x)＝1－.因为ex>0，所以ex＋1>1，所以0<<2，所以－1<1－<1，即函数f(x)的值域为(－1,1)．
(2)从已知不等式中分离出实数a，得a>－.∵函数y＝x和y＝x在R上都是减函数，∴当x∈(－∞，1]时，x≥，x≥，∴x＋x≥＋＝，从而得－≤－.故实数a的取值范围为a>－.
【答案】 (1)A (2)
1.比较指数式大小的问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1，0等中间量进行比较.
2.解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解.要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.
3.对于指数函数性质的综合应用，应首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解，关键是指数型函数的单调性要抓住“同增异减”.
1．(方向1)(2019·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( B )
A．1.72.5>1.73
B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2
D．1.70.3<0.93.1
解析：A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73.
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2.
∴0.6－1>0.62.
C中，∵0.8－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2.
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.
D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1.
2．(方向2)(2019·绍兴模拟)设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( B )
A．{x|x<－2或x>4}
B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6}
D．{x|x<－2或x>2}
解析：∵f(x)为偶函数，
当x<0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
∴f(x)＝
若f(x－2)>0，
则有或
解得x>4或x<0.
3．(方向2)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( B )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.
