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所属成套资源：2020高考数学理科一轮复习导学案
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2020高考数学理科大一轮复习导学案：第二章函数、导数及其应用2.1
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第二章 函数、导数及其应用
知识点一 函数与映射的概念
1．函数的定义
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
2．映射的定义
设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．
1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( B )
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析：对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数．
2．(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )
解析：A中函数定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0,2]．
知识点二 函数的三要素及表示方法
1．函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．
3．表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．函数f(x)＝＋的定义域为( C )
A．[0,2) B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：由题意得解得x≥0且x≠2.
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝12.
解析：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.
知识点三 分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
5．(2019·陕西质量检测)设x∈R，定义符号函数sgnx＝则函数f(x)＝|x|sgnx的图象大致是( C )
解析：由符号函数解析式和绝对值运算，可得f(x)＝x，故选C.
6．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为.
解析：因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f(x)＝
所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f()＝cos＝.
1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射．
直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
2．函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则．
3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题．
考向一 函数的概念
【例1】 (1)下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)给出下列命题：
①函数是其定义域到值域的映射；
②f(x)＝＋是一个函数；
③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；
④f(x)＝lgx2与g(x)＝2lgx是同一函数．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 (1)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
(2)由函数的定义知①正确．因为满足f(x)＝＋的x不存在，所以②不正确．又因为y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，所以③不正确．又因为f(x)与g(x)的定义域不同，所以④也不正确．
【答案】 (1)B (2)A
(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓.
(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数.
(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余.
有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确判断的序号是②③.
解析：对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1.
综上可知，正确的判断是②③.
考向二 函数的定义域
【例2】 (1)函数f(x)＝ln＋的定义域为( )
A．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
B．(－4,0)∪(0,1)
C．[－4,0)∪(0,1)
D．[－4,0)∪(0,1]
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 018]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[－1,2 017] B．[－1,1)∪(1,2 017]
C．[0,2 018] D．[－1,1)∪(1,2 018]
【解析】 (1)由解得－4≤x<0或0
本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0，2 018]”改为“函数f(x－1)的定义域为[0,2 018]”，则函数g(x)＝的定义域为[－2,1)∪(1,2_016]．
解析：由函数f(x－1)的定义域为[0,2 018]．
得函数y＝f(x)的定义域为[－1,2 017]，
令则－2≤x≤2 016且x≠1.
所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]．
(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.
(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a
(1)已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝的定义域为( B )
A．[，＋∞) B．[，2)
C．(，＋∞) D．[，2)
(2)若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( D )
A．(0，] B．(0，)
C．[0，] D．[0，)
(2)要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立．
①当m＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；
②当m≠0时，要使不等式恒成立，
需
即或
即解得0
考向三 函数的解析式
【例3】 (1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )
A．x＋1 B．2x－1
C．－x＋1 D．x＋1或－x－1
(2)已知f(2x－1)＝3－4x，则f(x)＝________.
(3)若函数f(x)对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝________.
【解析】 (1)f(x)是一次函数，设f(x)＝kx＋b，又f[f(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2.即k2x＋kb＋b＝x＋2，k2＝1，kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1.则f(x)＝x＋1.故选A.
(2)法1：(换元法)设t＝2x－1，则x＝，代入原函数得，f(t)＝3－4×＝1－2t，则f(x)＝1－2x.
法2：(配凑法)因为f(2x－1)＝3－4x＝1＋2(1－2x)＝1－2(2x－1)，所以f(x)＝1－2x.
(3)因为2f(x)－f(－x)＝3x＋1，所以2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，则3f(x)＝3x＋3，所以f(x)＝x＋1.
【答案】 (1)A (2)1－2x (3)x＋1
求函数解析式常用方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x(x＋1)．
(2)(2019·合肥模拟)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f＝＋1，则函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋(x≠0)．
解析：(1)∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，∴f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．故当－1≤x≤0时，f(x)＝－x(x＋1)．
(2)用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，
得3f＋5f(x)＝3x＋1，
∴
①×3－②×5得f(x)＝x－＋(x≠0)．
考向四 分段函数
方向1 求值问题
【例4】 (2019·石家庄市模拟)已知f(x)＝
(0
C．3 D．－3
【解析】 由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5 ①，
f(－1)＝a－1＋b＝3 ②，
联立①②，结合0
方向2 求参数的取值范围
【例5】 (2019·福建福州模拟)设函数f(x)＝则满足f(x2－2)>f(x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－∞，－)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(，＋∞)
【解析】 由题意，x>0时，f(x)递增，故f(x)>f(0)＝0，又x≤0时，x＝0，故若f(x2－2)>f(x)，则x2－2>x，且x2－2>0，解得x>2或x<－，故选C.
【答案】 C
方向3 分段函数的最值问题
【例6】 (2019·江西南昌一模)设函数f(x)＝若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2) B．[－1,0]
C．[1,2] D．[1，＋∞)
【解析】 函数f(x)＝若x>1，则f(x)＝x＋1>2，易知y＝2|x－a|在(a，＋∞)上递增，在(－∞，a)上递减，若a<1，则f(x)在x＝a处取得最小值，不符合题意；若a≥1，则要使f(x)在x＝1处取得最小值，只需2a－1≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2.综上可得a的取值范围是[1,2]．故选C.
【答案】 C
, (1)分段函数的求值问题的解题思路
①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
(3)分段函数的最值问题
依据不同范围的单调性或图象求解．
1．(方向1)(2019·福州高三模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝( A )
A．－ B．3
C．－或3 D．－或3
解析：当a>0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a>0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.故选A.
2．(方向2)设函数f(x)＝若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是( D )
A．(－∞，－] B．[－，＋∞)
C．[－，] D．(－∞，]
解析：令f(a)＝t，则f(t)≤3等价于
或解得t≥－3，
则f(a)≥－3等价于或
解得a≤，则实数a的取值范围是(－∞，]，
故选D.
3．(方向3)(2019·北京西城模拟)已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是.
解析：若c＝0，由二次函数的性质，
可得x2＋x∈，∈，
∴f(x)的值域为；
若f(x)值域为－，2，
∵x＝－2时，x2＋x＝2且x＝－时，
x2＋x＝－，要使f(x)的值域为，
则得≤c≤1，
实数c的取值范围是.
看穿取整函数
取整函数是指不超过实数x的最大整数，称为x的整数部分，记作[x]或INT(x)，例如[－2.3]＝－3，[3.2]＝3，该函数被广泛应用于数论、绘图和计算机领域．最近几年，取整函数的相关问题在高考中常常以信息题的形式出现，成为高考的一个热点，主要考查取整函数的定义以及其运算性质，今天我们就通过一些例题来研究一下取整函数，希望同学们掌握好这类问题常用的处理方法．
对于函数f(x)＝[x]，
当0≤x<1时，[x]＝0；
当1≤x<2时，[x]＝1；
当2≤x<3时，[x]＝2；
当3≤x<4时，[x]＝3；
……
所以函数f(x)＝[x]的图象如图所示：
典例1 设[x]表示不大于实数x的最大整数，则对任意的实数x，有( )
A．[－x]＝－[x] B．[x＋]＝[x]
C．[2x]＝2[x] D．[x]＋[x＋]＝[2x]
【解析】 取特殊值进行判断，当x＝1.1时，[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A错误；当x＝－1.1时，[x]＝－2，[x＋]＝[－0.6]＝－1，故B错误；当x＝1.9时，[2x]＝3,2[x]＝2，故C错误．由排除法，故选D.
【答案】 D
【点评】 本题主要考查新定义问题的探究方法，借助取整函数的定义，取特殊值进行判断．
典例2 已知x为实数，[x]表示不超过实数x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．周期函数
【解析】 当0≤x<1时，[x]＝0，f(x)＝x－[x]＝x－0＝x；
当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x－[x]＝x－1；
当2≤x<3时，[x]＝2，f(x)＝x－[x]＝x－2；
当3≤x<4时，[x]＝3，f(x)＝x－[x]＝x－3；
……
当－1≤x<0时，[x]＝－1，f(x)＝x－[x]＝x＋1；
当－2≤x<－1时，[x]＝－2，f(x)＝x－[x]＝x＋2；
……
所以可作出函数f(x)的图象如图所示．
由图象可知，f(x)在R上为周期函数，故选D.
【答案】 D
已知f(x)＝[x[x]]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，若－≤x≤，则f(x)的值域为{0,1,2,3}．
解析：当x＝－时，[－]＝－2，[x[x]]＝[－×(－2)]＝3；
当－
当－1
当0
当1
所以f(x)的值域为{0,1,2,3}．
知识点一 函数与映射的概念
1．函数的定义
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
2．映射的定义
设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．
1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( B )
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析：对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数．
2．(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )
解析：A中函数定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0,2]．
知识点二 函数的三要素及表示方法
1．函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．
3．表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．函数f(x)＝＋的定义域为( C )
A．[0,2) B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：由题意得解得x≥0且x≠2.
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝12.
解析：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.
知识点三 分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
5．(2019·陕西质量检测)设x∈R，定义符号函数sgnx＝则函数f(x)＝|x|sgnx的图象大致是( C )
解析：由符号函数解析式和绝对值运算，可得f(x)＝x，故选C.
6．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为.
解析：因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f(x)＝
所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f()＝cos＝.
1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射．
直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
2．函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则．
3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题．
考向一 函数的概念
【例1】 (1)下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)给出下列命题：
①函数是其定义域到值域的映射；
②f(x)＝＋是一个函数；
③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；
④f(x)＝lgx2与g(x)＝2lgx是同一函数．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 (1)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
(2)由函数的定义知①正确．因为满足f(x)＝＋的x不存在，所以②不正确．又因为y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，所以③不正确．又因为f(x)与g(x)的定义域不同，所以④也不正确．
【答案】 (1)B (2)A
(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓.
(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数.
(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余.
有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确判断的序号是②③.
解析：对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1.
综上可知，正确的判断是②③.
考向二 函数的定义域
【例2】 (1)函数f(x)＝ln＋的定义域为( )
A．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
B．(－4,0)∪(0,1)
C．[－4,0)∪(0,1)
D．[－4,0)∪(0,1]
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 018]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[－1,2 017] B．[－1,1)∪(1,2 017]
C．[0,2 018] D．[－1,1)∪(1,2 018]
【解析】 (1)由解得－4≤x<0或0
本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0，2 018]”改为“函数f(x－1)的定义域为[0,2 018]”，则函数g(x)＝的定义域为[－2,1)∪(1,2_016]．
解析：由函数f(x－1)的定义域为[0,2 018]．
得函数y＝f(x)的定义域为[－1,2 017]，
令则－2≤x≤2 016且x≠1.
所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]．
(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.
(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a
(1)已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝的定义域为( B )
A．[，＋∞) B．[，2)
C．(，＋∞) D．[，2)
(2)若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( D )
A．(0，] B．(0，)
C．[0，] D．[0，)
(2)要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立．
①当m＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；
②当m≠0时，要使不等式恒成立，
需
即或
即解得0
考向三 函数的解析式
【例3】 (1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )
A．x＋1 B．2x－1
C．－x＋1 D．x＋1或－x－1
(2)已知f(2x－1)＝3－4x，则f(x)＝________.
(3)若函数f(x)对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝________.
【解析】 (1)f(x)是一次函数，设f(x)＝kx＋b，又f[f(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2.即k2x＋kb＋b＝x＋2，k2＝1，kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1.则f(x)＝x＋1.故选A.
(2)法1：(换元法)设t＝2x－1，则x＝，代入原函数得，f(t)＝3－4×＝1－2t，则f(x)＝1－2x.
法2：(配凑法)因为f(2x－1)＝3－4x＝1＋2(1－2x)＝1－2(2x－1)，所以f(x)＝1－2x.
(3)因为2f(x)－f(－x)＝3x＋1，所以2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，则3f(x)＝3x＋3，所以f(x)＝x＋1.
【答案】 (1)A (2)1－2x (3)x＋1
求函数解析式常用方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x(x＋1)．
(2)(2019·合肥模拟)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f＝＋1，则函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋(x≠0)．
解析：(1)∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，∴f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．故当－1≤x≤0时，f(x)＝－x(x＋1)．
(2)用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，
得3f＋5f(x)＝3x＋1，
∴
①×3－②×5得f(x)＝x－＋(x≠0)．
考向四 分段函数
方向1 求值问题
【例4】 (2019·石家庄市模拟)已知f(x)＝
(0
C．3 D．－3
【解析】 由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5 ①，
f(－1)＝a－1＋b＝3 ②，
联立①②，结合0
方向2 求参数的取值范围
【例5】 (2019·福建福州模拟)设函数f(x)＝则满足f(x2－2)>f(x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－∞，－)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(，＋∞)
【解析】 由题意，x>0时，f(x)递增，故f(x)>f(0)＝0，又x≤0时，x＝0，故若f(x2－2)>f(x)，则x2－2>x，且x2－2>0，解得x>2或x<－，故选C.
【答案】 C
方向3 分段函数的最值问题
【例6】 (2019·江西南昌一模)设函数f(x)＝若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2) B．[－1,0]
C．[1,2] D．[1，＋∞)
【解析】 函数f(x)＝若x>1，则f(x)＝x＋1>2，易知y＝2|x－a|在(a，＋∞)上递增，在(－∞，a)上递减，若a<1，则f(x)在x＝a处取得最小值，不符合题意；若a≥1，则要使f(x)在x＝1处取得最小值，只需2a－1≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2.综上可得a的取值范围是[1,2]．故选C.
【答案】 C
, (1)分段函数的求值问题的解题思路
①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
(3)分段函数的最值问题
依据不同范围的单调性或图象求解．
1．(方向1)(2019·福州高三模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝( A )
A．－ B．3
C．－或3 D．－或3
解析：当a>0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a>0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.故选A.
2．(方向2)设函数f(x)＝若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是( D )
A．(－∞，－] B．[－，＋∞)
C．[－，] D．(－∞，]
解析：令f(a)＝t，则f(t)≤3等价于
或解得t≥－3，
则f(a)≥－3等价于或
解得a≤，则实数a的取值范围是(－∞，]，
故选D.
3．(方向3)(2019·北京西城模拟)已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是.
解析：若c＝0，由二次函数的性质，
可得x2＋x∈，∈，
∴f(x)的值域为；
若f(x)值域为－，2，
∵x＝－2时，x2＋x＝2且x＝－时，
x2＋x＝－，要使f(x)的值域为，
则得≤c≤1，
实数c的取值范围是.
看穿取整函数
取整函数是指不超过实数x的最大整数，称为x的整数部分，记作[x]或INT(x)，例如[－2.3]＝－3，[3.2]＝3，该函数被广泛应用于数论、绘图和计算机领域．最近几年，取整函数的相关问题在高考中常常以信息题的形式出现，成为高考的一个热点，主要考查取整函数的定义以及其运算性质，今天我们就通过一些例题来研究一下取整函数，希望同学们掌握好这类问题常用的处理方法．
对于函数f(x)＝[x]，
当0≤x<1时，[x]＝0；
当1≤x<2时，[x]＝1；
当2≤x<3时，[x]＝2；
当3≤x<4时，[x]＝3；
……
所以函数f(x)＝[x]的图象如图所示：
典例1 设[x]表示不大于实数x的最大整数，则对任意的实数x，有( )
A．[－x]＝－[x] B．[x＋]＝[x]
C．[2x]＝2[x] D．[x]＋[x＋]＝[2x]
【解析】 取特殊值进行判断，当x＝1.1时，[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A错误；当x＝－1.1时，[x]＝－2，[x＋]＝[－0.6]＝－1，故B错误；当x＝1.9时，[2x]＝3,2[x]＝2，故C错误．由排除法，故选D.
【答案】 D
【点评】 本题主要考查新定义问题的探究方法，借助取整函数的定义，取特殊值进行判断．
典例2 已知x为实数，[x]表示不超过实数x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．周期函数
【解析】 当0≤x<1时，[x]＝0，f(x)＝x－[x]＝x－0＝x；
当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x－[x]＝x－1；
当2≤x<3时，[x]＝2，f(x)＝x－[x]＝x－2；
当3≤x<4时，[x]＝3，f(x)＝x－[x]＝x－3；
……
当－1≤x<0时，[x]＝－1，f(x)＝x－[x]＝x＋1；
当－2≤x<－1时，[x]＝－2，f(x)＝x－[x]＝x＋2；
……
所以可作出函数f(x)的图象如图所示．
由图象可知，f(x)在R上为周期函数，故选D.
【答案】 D
已知f(x)＝[x[x]]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，若－≤x≤，则f(x)的值域为{0,1,2,3}．
解析：当x＝－时，[－]＝－2，[x[x]]＝[－×(－2)]＝3；
当－
当－1
当0
当1
所以f(x)的值域为{0,1,2,3}．
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