2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第24讲倍角公式及简单的三角恒等变换

第24讲　倍角公式及简单的三角恒等变换

1．能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用．

2．能运用两角和与差的三角公式进行简单的三角恒等变换．

3．能根据三角函数式的结构特点选择公式变形，培养灵活选择和运用公式的能力．

知识梳理

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝　2sin α·cos α　；

cos 2α＝　cos2α－sin2α　＝1－　2sin2α　＝　2cos2α　－1；

tan 2α＝　　.

2．三角恒等变换

(1)三角函数求值

①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值．

②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．

(2)三角函数化简

三角函数化简的几种常用思路：

①角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角．

②函数名称的变换：观察、比较名称上的差异，采用切化弦或弦化切等手段，实现异名化同名．

③常数的变换：如

1＝sin2α＋cos2α＝tan，＝sin等．

④次数变换：常用方式是升次或降次；主要公式是二倍角余弦公式及其逆向使用．如

sin2α＝，cos2α＝等．

⑤结构变换：通过重组、移项，或变除为乘，或求差等实现结构的变换．

(3)三角恒等式的证明

证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变形，然后化繁为简、左右归一，或用变更命题的方法，使两端化异为同．

1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.

2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.

3．半角公式：sin2＝，

cos2＝；

tan2＝，

tan＝＝.

热身练习

1．(2018·湖北宜昌模拟)设θ为第二象限角，sin θ＝，则sin 2θ＝(D)

A.  B.

C．－  D．－

　 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－＝－，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝－.

2．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(B)

A.  B.

C．－  D．－

　 因为sin α＝，

所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.

3．已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos等于(B)

A.  B．－

C.  D．－

　 因为cos2＝＝＝，

又α∈(π，2π)，∈(，π)，所以cos＝－.

4.＝(C)

A.  B.

C．2  D.

　 原式＝＝·2＝2.

5．化简(sin2α＋tan α·tan＋cos2α)·的结果为(B)

A.　  B．tan α

C．sin α  D．cos α

　 原式＝(1＋tan αtan)·sin α

＝(1＋·)sin α＝＝tan α.

 三角函数的求值

(1)4cos 50°－tan 40°＝

A.  B.

C.  D．2－1

(2)(2018·临沂期中)若sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值为(　　)

A．－  B．－

C.  D.

(1)原式＝4sin 40°－

＝＝

＝

＝

＝＝.

(2)(方法一)因为sin(－α)＝，

所以cos(＋2α)＝cos[π－(－2α)]＝－cos(－2α)＝－1＋2sin2(－α)＝.

(方法二：换元法)

设－α＝θ，则sin θ＝，且α＝－θ，

cos(＋2α)＝cos[＋2(－θ)]＝cos(π－2θ)

＝－cos 2θ＝－(1－2sin2θ)

＝－[1－2×()2]＝.

(1)C　　(2)D

(1)“角”是三角函数的“灵魂”，三角变换中首先要考虑角的变换与统一，通过角的变换进行函数名称及函数式的结构变换．

(2)给角求值问题一般思路是通过变换凑出特殊角并设法创造将非特殊角消去(抵消或约分)的机会．

(3)给值求值问题的求解，其关键是明确变换的目标，根据目标灵活选择凑角和运用公式．

(4)给值求值问题，如灵活运用“换元法”，常能避免角的有关变换，能得到简便的求解方法．

1．(1)－的值为　4　.

(2)已知＝1，tan(β－α)＝－，则tan(β－2α)的值为　－1　.

(1)原式＝＝

＝

＝

＝＝＝4.

(2)因为＝1，所以＝2tan α＝1，

所以tan α＝，又tan(β－α)＝－，

所以tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝

＝＝－1.

 三角函数的化简

(2018·湖南长沙一模)化简：＝________.

＝＝

＝4sin θ.

4sin θ

化简时要有整体意识，合理变形，为公式应用创造条件，使结果的三角函数名称、角的个数尽可能少．

2．化简的结果为(C)

A．tan α  B．tan 2α

C．1  D．2

原式＝

＝

＝＝＝1.

 三角恒等式的证明

设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则

A．3α－β＝  B．2α－β＝

C．3α＋β＝  D．2α＋β＝

本题实质是条件等式的证明问题，由题设条件证明选择支中的某一个等式是成立的．由于目标不是十分明确，因此，可从条件入手进行推证．

(方法一)由tan α＝得＝，

即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，

所以sin(α－β)＝cos α＝sin(－α)．

因为α∈(0，)，β∈(0，)，

所以α－β∈(－，)，－α∈(0，)，

所以α－β＝－α，所以2α－β＝.

(方法二)tan α＝＝

＝＝＝tan(＋)，

因为β∈(0，)，所以＋∈(，)，

又因为α∈(0，)，且tan α＝tan(＋)，

所以α＝＋，即2α－β＝.

B

(1)证明角的恒等式(或已知值求角)这类问题的求解，其基本步骤为：

①根据题设条件求角的某一三角函数值；

②讨论角的范围；

③根据角的范围和函数值确定角的大小．

(2)讨论角的范围时，必要时需要根据已知三角函数值缩小角的范围．确定角的范围要结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，特别要注意一些隐含条件，尽量使角的范围最小，避免出现增根．

3．已知tan α＝，tan β＝，α，β为锐角，则α＋2β的值是(A)

A.  B.

C.或  D．π

tan(α＋β)＝＝＝，

tan(α＋2β)＝tan(α＋β＋β)

＝＝＝1，

而tan α＝＜1，tan β＝＜1，

所以0＜α＜，0＜β＜，所以0＜α＋2β＜，

所以α＋2β＝.

1．三角恒等变形是以同角三角函数的基本关系，诱导公式，和、差、倍角公式为基础的．一般可从变换角、变换函数和变换运算结构三方面着手．

(1)角度变换：利用“和差倍半”“互余互补”．既要注意角的和、差、倍、半的相对性，又要注意题目中所给各角之间的关系．

(2)函数变换：常采用“异名化同”“化弦”“化切”“常数‘1’的代换”等．

(3)结构变换：改变运算结构的主要方法有代数中的配方、拆项、消元，因式分解等及三角中的升幂、降次等．

2．三角函数式恒等变换的常用策略

(1)发现差异：观察角、函数名称运算结构间的差异，即进行“差异分析”．

(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系．

(3)合理转化：选择恰当公式，促使差异的转化．

3．几个重要的三角变换

(1)sin αcos α可凑倍角公式．

(2)1±sin α＝(sin±cos)2.

(3)1±cos α可用升幂公式；1±sin α也可化为1±cos(－α)后再用升幂公式．

(4)引入辅助角可化asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，这一公式应用广泛，应熟练掌握．