2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第22讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

第22讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基本关系式．

2．能运用诱导公式及同角三角函数关系进行有关化简和求值．

知识梳理

1．同角三角函数的基本关系式

平方关系：　sin2α＋cos2α＝1　；

商数关系：　tan α＝　.

2．诱导公式

公式一：(其中k∈Z)

sin(2kπ＋α)＝　sin α　，cos(2kπ＋α)＝　cos α　，

tan(2kπ＋α)＝　tan α　.

公式二：

sin(－α)＝　－sin α　，cos(－α)＝　cos α　，

tan(－α)＝　－tan α　.

公式三：

sin(π－α)＝　sin α　，cos(π－α)＝　－cos α　，

tan(π－α)＝　－tan α　.

公式四：

sin(π＋α)＝　－sin α　，cos(π＋α)＝　－cos α　，

tan(π＋α)＝　tan α　.

公式五：

sin(－α)＝　cos α　，cos(－α)＝　sin α　.

公式六：

sin(＋α)＝　cos α　，cos(＋α)＝　－sin α　.

1．同角关系的常用变形：

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α＝1±sin 2α.

(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.

(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.

2．诱导公式的记忆

(1)2kπ＋α (k∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

(2)±α，±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

可采用口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行记忆．

热身练习

1．已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝(A)

A．－2  B．2

C.  D．－

　 因为cos α＝－＝－，

所以tan α＝＝－2.

2．α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝(D)

A.   B．－

C.  D．－

　 (方法一)因为tan α＝－，所以＝－，

所以cos α＝－sin α，

代入sin2α＋cos2α＝1得sin α＝±，

又α是第四象限角，所以sin α＝－.

(方法二)因为tan α＝－，且α是第四象限角，

所以可设y＝－5，x＝12，所以r＝＝13，

所以sin α＝＝－.

3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(A)

A．－  B．－

C.  D.

　 因为sin α－cos α＝，

所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，

所以sin 2α＝－.

4．若sin(π＋α)＝－，则cos(π－α)＝(A)

A．－  B．－

C.  D.

　 因为sin(π＋α)＝－sin α＝－，

所以cos(－α)＝－sin α＝－.

5．(2016·四川卷)sin 750°＝　　.

　 sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝.

 诱导公式的应用

(1)已知角α终边上一点P(－4,3)，则

的值为 　　　　.

(2)cos(－π)的值为____________．

(1)原式＝＝tan α.

根据三角函数的定义得tan α＝－.

故原式的值为－.

(2)cos(－π)＝cos＝cos(2×2π＋)

＝cos＝cos(2π－)＝cos＝.

　　 (1)－　　(2)

　　 (1)应用诱导公式时，需要准确记忆诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”是关键．

(2)求任意角的三角函数时，一般用诱导公式将其变换为锐角的三角函数进行求解．其一般步骤是“去负——脱周——化锐”．

1．(1)(2018·深圳一模)已知sin(－x)＝，则sin(－x)＋sin2(－＋x)的值为(A)

A.   B.

C．－  D．－

(2)sin(－π)的值为　－　.

(1)(方法一：采用角的配凑)

原式＝sin[3π＋(－x)]＋sin2[－－(－x)]

＝－sin(－x)＋cos2(－x)

＝－sin(－x)＋1－sin2(－x)

＝－＋1－＝.

(方法二：采用换元法)

设－x＝θ，则sin θ＝，x＝－θ，

所以原式＝sin(3π＋θ)＋sin2(－－θ)

＝－sin θ＋cos2θ＝－sin θ＋1－sin2θ

＝－＋1－＝.

(2)sin(－π)＝－sinπ＝－sin(2π＋π)

＝－sinπ＝－sin(π－)＝－sin＝－.

 同角三角关系的应用

已知tan α＝，则：

(1)＝________；

(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝________.

(1)＝＝＝－.

(2)　sin2α＋sin αcos α＋2

＝3sin2α＋sin αcos α＋2cos2α

＝

＝＝＝.

(1)－　(2)

(1)齐次式(或可化为齐次式)常转化为正切进行处理．

(2)注意“1”的运用，如1＝sin2α＋cos2α或1＝(sin2α＋cos2α)2等．

2．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－，则cos 2θ＝(D)

A．－  B．－

C.  D.

因为cos 2θ＝＝，

又因为tan θ＝－，所以cos 2θ＝＝.

 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用　

　已知sin α＋cos α＝(<α<π)．求下列各式的值：

(1)sin α－cos α；

(2)sin3(－α)＋cos3(＋α)．

因为sin α＋cos α＝，①

将①两边平方，得1＋2sin αcos α＝，

故2sin αcos α＝－，

又<α<π，所以sin α>0，cos α<0.

(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－(－)＝，

所以sin α－cos α＝.

(2)sin3(－α)＋cos3(＋α)＝cos3α－sin3α

＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos αsin α＋sin2α)

＝－×(1－)＝－.

(1)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可“知一求二”，即已知其中一个式子的值，可求出另外两个式子的值．

(2)注意符号的选取，如由sin α＋cos α求sin α－cos α时，到底取“＋”还是取“－”要根据α的取值范围确定．

3．已知sin(π－α)＋sin(＋α)＝，α∈(0，π)，求tan α的值．

条件可化为sin α＋cos α＝，①

平方得sin αcos α＝－，

所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.

因为α∈(0，π)，sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，

所以sin α－cos α＝，②

联立①②得sin α＝，cos α＝－，

所以tan α＝－.

1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的判断，求任意角的三角函数值的问题，都可通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，其步骤是“去负——脱周——化锐”，从而求出值来．

2．掌握一些特殊角的三角函数值，要做到“见角知值，见值知角”，如：

3.同角关系的主要应用

(1)已知一个角的某个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．要特别注意符号的选取．

(2)关于sin α，cos α的齐次式可化为正切处理．

(3)对于sin αcos α，sin α＋cos α，sin α－cos α，借助方程思想可知一求二．