2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第6讲　函数的单调性

第6讲　函数的单调性

1．理解函数的单调性及其几何意义．

2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．

3．能够熟练地应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．

知识梳理

1．函数的单调性的定义

给定区间D上的函数f(x)，若对于　任意的x1，x2　∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)　＜　f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数．对于　任意的x1，x2　∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)　＞　f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数．

2．函数的单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在某个区间D上是　增函数　或是　减函数　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的　单调区间　.如果函数是增函数，则称区间D为　增区间　，如果函数是减函数，则称区间D为　减区间　.

3．单调函数的图象特征

增函数的图象是　上升　的(如图1)，减函数的图象是　下降　的(如图2)．

图1

　　　图2

1．单调性定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那么

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0>0f(x)在[a，b]上是　增函数　；

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0<0f(x)在[a，b]上是　减函数　.

2．判断单调性的常用结论

(1)若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)为　增(减)　函数．

(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为　减(增)　函数．

(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为　增函数　；若f(x)，g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为　减函数　.

(4)已知函数y＝f(x)，给定区间D，若对D内任意的x，f′(x)>0，则函数在区间D上单调　递增　；若对D内任意的x，f′(x)<0，则函数在区间D上单调　递减　.

热身练习

1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”的是(D)

A．f(x)＝  B．f(x)＝(x－1)2

C．f(x)＝－ex  D．f(x)＝ln(x＋1)

　 根据单调性的定义，满足条件的函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，分别作出选项A，B，C，D的图象(如下图)，根据图象特征进行判断．

由图象可知，应选D.

2．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(D)

A．y＝  B．y＝cos x

C．y＝ln(x＋1)  D．y＝2－x

　 选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1,1)上为增函数；选项B中，y＝cos x在(－1,1)上先增后减；选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D中，y＝2－x＝()x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1，1)上为减函数．

3．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为(D)

A．[1,2]  B．(1,2)

C．(－∞，1)∪(2，＋∞)  D．(－∞，1]∪[2，＋∞)

　 因为二次函数的单调性以对称轴为分界线，故顶点的横坐标不能落在区间(1,2)内，所以a≥2或a≤1.

4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(B)

A.  B.

C．2  D．4

　 因为y＝ax与y＝loga(x＋1)的单调性相同，

所以f(x)＝ax＋loga(x＋1)是单调函数，其最大值和最小值分别在端点处取得，

所以最值之和为f(0)＋f(1)＝a0＋loga1＋a＋loga2＝a.

所以loga2＋1＝0，所以a＝.

5．(2018·杭州期中)函数f(x)＝log(4－x2)的单调递增区间为　[0,2)　.

　 函数的定义域是(－2,2)．

u＝4－x2的递减区间为[0,2)，

又因为<1，根据复合函数的单调性可知，

函数f(x)的递增区间为[0,2)．

 单调性的判定与证明

证明函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，)上是减函数．

因为没有要求一定要用定义进行证明，因此，除定义证明外，还可考虑用导数进行证明．

(方法一)设0<x1<x2<，则

f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)

＝(x1－x2)＋(－)

＝(x1－x2)()．

因为0<x1<x2<，所以x1－x2<0,0<x1x2<a，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)＝x＋在(0，)上是减函数．

(方法二)因为0<x<，所以f′(x)＝1－＝<0，

所以f(x)在(0，)上是减函数．

(1)单调性的判定与证明的常用方法：

①定义法：基本步骤为：一设，二作差，三比较，四下结论．

②导数法：若f(x)在某个区间内可导，当f′(x)＞0时，f(x)为增函数；当f′(x)＜0时，f(x)为减函数．

(2)函数y＝x＋(a>0)是一种常用函数，俗称“双勾函数”，其图象如下图所示．

由图象，你能写出它的单调区间吗？能得出它的哪些性质？

1．   证明函数f(x)＝x＋(a>0)在(，＋∞)上是增函数．　　

(方法一)设<x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)

＝(x1－x2)＋(－)

＝(x1－x2)()．

因为<x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>a，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

所以函数f(x)＝x＋在(，＋∞)上是增函数．

(方法二)因为x>，所以f′(x)＝1－＝>0，

所以f(x)在(，＋∞)上是增函数．

 复合函数的单调性

(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8) 的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2)  B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)  D．(4，＋∞)

由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.

设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．

要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间．

因为函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，

所以函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．

D

复合函数y＝f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：

①将复合函数分解成两个简单的函数，y＝f(u)与u＝g(x)；

②确定函数的定义域；

③分别确定分解成的两个函数的单调性；

④其单调性规律：

　　复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”．

2．(2018·马山县期中)函数y＝log(x2－3x＋2)的单调递增区间为　(－∞，1)　，单调递减区间为　(2，＋∞)　.

令u＝x2－3x＋2＝(x－)2－在[，＋∞)上递增，在(－∞，)上递减，

又因为x2－3x＋2>0，所以x>2或x<1.

故u＝x2－3x＋2在(2，＋∞)上递增，在(－∞，1)上递减．

又因为y＝logu为减函数，

所以函数y＝log(x2－3x＋2)在(2，＋∞)上递减，在(－∞，1)上递增．

 函数单调性的应用

(1)已知f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c>a>b  B．c>b>a

C．a>c>b  D．b>a>c

(2)(2018·昭通月考)已知函数f(x)是定义域(－3,3)上的增函数，如果f(3－m)<f(m2－3)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(2，)  B．(－，)

C．(－，－2)  D．(－，－2)∪(2，)

(1)由条件知f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)在(1，＋∞)上是减函数，

因为a＝f(－)＝f()，且2<<3，

所以b>a>c.

(2)依题意解得2<m<.

(1)D　(2)A

(1)单调性是函数的重要性质，它的应用非常广泛，主要表现在两个方面：

①根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系，如比较大小、求函数的最值等；

②根据函数值的大小关系得到自变量的大小关系，如解有关函数不等式等．

(2)解函数不等式的一般步骤：

第一步，(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；

第二步，(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；

第三步，(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号，转化为一般的不等式或不等式组；

第四步，(求解)解不等式或不等式组确定解集．

3．(1)已知f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(B)

A．f(x1)<0，f(x2)<0  B．f(x1)<0，f(x2)>0

C．f(x1)>0，f(x2)<0  D．f(x1)>0，f(x2)>0

(2)已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(D)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C．(－1,2)

D．(－2,1)

(1)因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0，

当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，

即f(x1)<0，f(x2)>0.

(2)因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，

所以函数图象是一条连续不断的曲线．

因为当x≤0时，f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，

且当x1<0，x2>0时，f(x1)<f(x2)，

所以f(x)是定义在R上的增函数．

因此不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，

即x2＋x－2<0，解得－2<x<1，故选D.

1．对于单调性的定义的理解，要注意以下四点：

(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念．一个函数在不同的区间上可以有不同的单调区间．

(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质．因此，定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替．

(3)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且f(x1)＜f(x2)x1＜x2(或x1＞x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“互逆互推”，即有x1＜x2f(x1)＜f(x2)(或f(x1)＞f(x2))．

(4)若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，而不能写成并集．如f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)都是减函数，单调区间不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)，事实上，f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数．

2．证明函数的单调性，一般从定义入手，也可以从导数入手；判断函数的单调性或者求函数的单调区间一般可以：①从定义入手；②从导数入手；③从图象入手；④从熟悉的函数入手；⑤从复合函数的单调性规律入手．