2020版物理新导学浙江选考大一轮精讲讲义：第九章磁场第2讲

第2讲　磁场对运动电荷的作用
[考试标准]
知识内容
考试要求
说明
运动电荷在磁场中受到的力
c
1.不要求计算电荷运动方向与磁场方向不垂直情况下的洛伦兹力．
2.不要求推导洛伦兹力公式.
带电粒子在匀强磁场中的运动
d


一、运动电荷在磁场中受到的力
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法
左手定则：掌心——磁感线从掌心进入；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.
自测1　(多选)关于洛伦兹力方向的判定，以下说法正确的是(　　)
A．用左手定则判定洛伦兹力方向时，“四指指向”与电荷运动方向相同
B．用左手定则判定洛伦兹力方向时，“四指指向”与电荷定向运动形成的等效电流方向相同
C．正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向即是该处磁场方向
D．若将在磁场中的运动电荷＋q换为－q且速度方向反向，则洛伦兹力方向不变
答案　BD
自测2　下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是(　　)


答案　B
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．
2．粒子的运动性质：
(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．
(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式：
(1)由qvB＝m，得r＝.
(2)由v＝，得T＝.
自测3　甲、乙两个质量和电荷量都相同的带正电的粒子(重力及粒子之间的相互作用力不计)，分别以速度v甲和v乙垂直磁场方向射入匀强磁场中，且v甲＞v乙，则甲、乙两个粒子的运动轨迹正确的是(　　)


答案　A

命题点一　对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷．
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用．
(4)洛伦兹力一定不做功．
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
例1　如图1所示，一轨道由两等长的光滑斜面AB和BC组成，两斜面在B处用一光滑小圆弧相连接，BA、BC关于竖直线BD对称且BD右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，B处可认为处在磁场中，P是BC的中点，一带电小球从A点由静止释放后能沿轨道来回运动，C点为小球在BD右侧运动的最高点，则下列说法正确的是(　　)

图1
A．C点与A点不在同一水平线上
B．小球向右或向左滑过B点时，对轨道压力相等
C．小球向上或向下滑过P点时，其所受洛伦兹力相同
D．小球从A到B的时间是从C到P时间的倍
答案　D
解析　小球在运动过程中受重力、洛伦兹力和轨道支持力作用，因洛伦兹力不做功，支持力始终与小球运动方向垂直，也不做功，即只有重力做功，满足机械能守恒，因此C点与A点等高，在同一水平线上，选项A错误；小球向右或向左滑过B点时速度等大反向，即洛伦兹力等大反向，小球对轨道的压力不等，选项B错误；同理小球向上或向下滑过P点时，洛伦兹力也等大反向，选项C错误；因洛伦兹力始终垂直于斜面，小球在AB段和BC段(设两斜面与水平面的夹角均为θ)的加速度均由重力沿斜面的分力产生，大小为gsin θ，由x＝at2得小球从A到B的时间是从C到P时间的倍，选项D正确．
变式1　如图2所示是电子射线管示意图．接通电源后，电子射线由阴极沿x轴正方向射出，在荧光屏上会看到一条亮线．要使荧光屏上的亮线向下(z轴负方向)偏转，下列措施可采用的是(　　)

图2
A．加一磁场，磁场方向沿z轴负方向
B．加一磁场，磁场方向沿y轴正方向
C．加一磁场，磁场方向沿x轴正方向
D．加一磁场，磁场方向沿y轴负方向
答案　B
变式2　如图3所示，一个带负电的物体从粗糙斜面顶端滑到底端时，速度为v.若加上一个垂直纸面向外的磁场，则滑到底端时(　　)

图3
A．v变大 B．v变小
C．v不变 D．不能确定v的变化
答案　B
解析　由于带负电的物体沿斜面下滑时受到垂直斜面向下的洛伦兹力作用，故物体对斜面的正压力增大，斜面对物体的滑动摩擦力增大，物体克服摩擦力做功增大，所以物体滑到底端时v变小，B正确．
命题点二　带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路

模型1　直线边界磁场
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图4所示)

图4
图a中t＝＝
图b中t＝(1－)T＝(1－)＝
图c中t＝T＝
例2　(多选)如图5所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，速度相同的两带电粒子A、B从O点射入磁场中，速度与磁场边界的夹角为θ(θ＝60°)，已知A粒子带负电，B粒子带正电，且A、B粒子的质量之比为1∶4，带电荷量之比为1∶2，不计粒子重力，下列说法中正确的是(　　)

图5
A．A、B粒子的轨道半径之比为2∶1
B．A、B粒子回到边界时，速度大小、方向都相同
C．A、B粒子回到边界时的位置离O点的距离之比为2∶1
D．A、B粒子在磁场中运动的时间相同
答案　BD
解析　由洛伦兹力提供向心力，有qBv＝m，故r＝，所以＝×＝，所以选项A错误；据左手定则，A、B粒子的电性相反，偏转方向相反，由于洛伦兹力不做功，所以速度大小不变，根据粒子做圆周运动的对称性，A、B粒子回到边界时的速度方向都是与边界成60°角斜向右下，所以B选项正确；由几何关系能求得粒子回到边界时到出发点的距离d＝2rsin θ，所以＝＝，选项C错误；由运动学公式，粒子运动的时间分别为tA＝，tB＝，所以＝·＝×＝，所以选项D正确．
模型2　平行边界磁场
平行边界存在临界条件(如图6所示)

图6
图a中t1＝，t2＝＝
图b中t＝
图c中t＝(1－)T＝(1－)＝
图d中t＝T＝
例3　(2015·浙江9月选考样题·23)某科研小组设计了一个粒子探测装置．如图7甲所示，一个截面半径为R的圆筒(筒长大于2R)水平固定放置，筒内分布着垂直于轴线的水平方向匀强磁场，磁感应强度大小为B.图乙为圆筒的入射截面，图丙为竖直方向过筒轴的切面．质量为m，电荷量为q的正离子以不同的初速度垂直于入射截面射入筒内．圆筒内壁布满探测器，可记录粒子到达筒壁的位置．筒壁上的P点和Q点与入射面的距离分别为R和2R.(离子碰到探测器即被吸收，忽略离子间的相互作用)

图7
(1)离子从O点垂直射入，偏转后到达P点，求该离子的入射速度v0的大小；
(2)离子从OC线上垂直射入，求位于Q点处的探测器接收到的离子的入射速度范围；
(3)若离子以第(2)问求得范围内的速度垂直入射，从入射截面的特定区域入射的离子偏转后仍能到达距入射面为2R的筒壁位置，画出此入射区域的形状并求其面积．
答案　(1)　(2)≤v≤　(3)见解析图　－
解析　(1)离子运动的半径为R
qBv0＝m，v0＝
(2)如图，离子以v1从C点入射时，才能到达Q点，偏转半径为R1＝2R

qBv1＝m
v1＝
从O点入射时，设半径为R2，根据题意得
(R2－R)2＋(2R)2＝R22，解得R2＝R
qBv2＝m
v2＝
所以≤v≤
(3)当离子以的速度在偏离竖直线CO入射时，入射点与正下方筒壁的距离仍然为R.
所以特定入射区域为图中阴影部分

由几何关系得∠AO1B＝120°，
O1A＝O1B＝O1O2＝R
＝×πR2＝
＝R·＝R2，
S总＝2()＝－.
模型3　圆形边界磁场
沿径向射入圆形边界匀强磁场必沿径向射出，运动具有对称性(如图8所示)

图8
r＝
t＝T＝
θ＋α＝90°
例4　空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直横截面．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°.不计重力，该磁场的磁感应强度大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　若磁场方向垂直于横截面向外(未画出)，带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系知r＝R.根据洛伦兹力提供向心力得：qv0B＝m，解得B＝.若磁场方向垂直于横截面向里可得到同样的结果，选项A正确．

模型4　三角形边界磁场
例5　如图9所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B需满足(　　)

图9
A．B> B．B<
C．B> D．B<
答案　B
解析　若粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝＝a.由qvB＝得r＝，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径应满足r>r0，解得B<，选项B正确．

命题点三　带电粒子在磁场中运动的多解和临界极值问题
1．多解的几种情况
(1)带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同而形成多解．
(2)磁场方向不确定形成多解：带电粒子垂直进入方向不确定的匀强磁场时，其偏转方向不同而形成多解．
(3)运动的往复性形成多解：带电粒子在交变的磁场中运动时，运动往往具有周期性而形成多解．
(4)临界条件不唯一形成多解：带电粒子在有界磁场中运动时，因轨道半径不同而形成多解．
2．临界极值问题
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则该带电粒子(不计重力)在有界磁场中运动的时间越长．
(3)一带电粒子(不计重力)在有界磁场中运动，当其速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长．
例6　如图10所示，在x<0与x>0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1>B2.一个带负电荷的粒子(不计重力)从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射入，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？

图10
答案　＝(n＝1,2,3，…)
解析　粒子在整个运动过程中的速度大小恒为v，交替地在xOy平面内磁感应强度为B1与B2的磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周．设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为r1和r2，由qvB＝得r1＝①
r2＝②
现分析粒子运动的轨迹如图所示，在xOy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2r1的A点，接着沿半径为r2的半圆D1运动至y轴上的O1点，OO1的距离d＝2(r2－r1)③

此后，粒子每经历一次“回旋”(即从y轴上某点以速度v沿x轴负方向出发经过半径为r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方的y轴上某点)，粒子的纵坐标就减小d.设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点，若满足
nd＝2r1(n＝1,2,3，…)④
则粒子就能沿半圆Cn＋1经过原点．
由③④式解得＝(n＝1,2,3，…)⑤
联立①②⑤式可得B1、B2的比值应满足的条件：
＝(n＝1,2,3，…)
变式3　如图11所示，条形区域AA′，BB′中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B的大小为0.3 T，AA′、BB′为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，宽度d＝1 m．一束带正电的某种粒子从AA′上的O点以大小不同的速度沿着与AA′成60°角方向射入磁场，当粒子的速度小于某一值v0时，粒子在磁场区域内的运动时间恒为t0＝4×10－8 s；当粒子速度为v1时，刚好垂直边界BB′射出磁场．取π＝3，不计粒子所受重力．求：

图11
(1)粒子的比荷；
(2)速度v0和v1的大小．
答案　(1)×108 C/kg　(2)×108 m/s　2×108 m/s
解析　(1)当粒子的速度小于某一值v0时，无论粒子速度多大，在磁场中运动的时间都相同，粒子不能从BB′边离开磁场区域，只能从AA′边离开，轨迹如图所示(图中只画了一个粒子的轨迹)．

粒子在磁场区域内做圆周运动的圆心角均为φ1＝240°，运动时间t0＝T.
由qvB＝m，T＝得：T＝，
解得＝×108 C/kg.
(2)当粒子速度为v0时，粒子在磁场内的运动轨迹刚好与BB′边界相切，此时有R0＋R0sin 30°＝d.
又qv0B＝，
得v0＝×108 m/s，
当粒子速度为v1时，刚好垂直边界BB′射出磁场区域，此时轨迹所对应的圆心角φ2＝30°，有R1sin 30°＝d.
又qv1B＝.
得v1＝2×108 m/s.


1．带电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是(　　)
A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同
B．如果把＋q改为－q，且速度反向、大小不变，则其所受洛伦兹力的大小、方向均不变
C．洛伦兹力方向一定与电荷运动方向垂直，磁场方向也一定与电荷运动方向垂直
D．粒子在只受洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变
答案　B

2.如图1是科学史上一张著名的实验照片，显示一个带电粒子在云室中穿过某种金属板运动的径迹．云室放置在匀强磁场中，磁场方向垂直照片向里．云室中横放的金属板对粒子的运动起阻碍作用．分析此运动轨迹可知粒子(　　)

图1
A．带正电，由下往上运动 B．带正电，由上往下运动
C．带负电，由上往下运动 D．带负电，由下往上运动
答案　A
解析　由题图可以看出，上方的轨迹半径小，说明粒子的速度小，所以粒子是从下方往上方运动；再根据左手定则，可以判定粒子带正电．
3．速率相同的电子垂直磁场方向进入四个不同的磁场，其轨迹照片如图所示，则磁场最强的是(　　)

答案　D
解析　由qvB＝可得B＝.磁场最强的对应轨迹半径最小，选项D正确．
4.(2018·诸暨中学段考)如图2所示，a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示．一带正电粒子从正方形中心O点沿垂直纸面向内运动，它所受洛伦兹力的方向(　　)

图2
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右
答案　A
解析　磁场为4根长直导线在O点产生的合磁场，根据右手螺旋定则，a在O点产生的磁场方向水平向左，b在O点产生的磁场方向竖直向上，c在O点产生的磁场方向水平向左，d在O点产生的磁场方向竖直向下，所以合磁场方向水平向左．根据左手定则，此带正电粒子在合磁场中所受洛伦兹力方向向上．
5．如图3所示，一个带正电q的带电体处于垂直于纸面向里的匀强磁场B中，带电体的质量为m，为了使它对水平的绝缘面恰好没有正压力，则应该(　　)

图3
A．将磁感应强度B的值增大
B．使磁场以速率v＝向上运动
C．使磁场以速率v＝向右运动
D．使磁场以速率v＝向左运动
答案　D
解析　由于带电体对水平绝缘面恰好没有正压力，则带电体受重力与洛伦兹力的作用，两者等大反向，再由左手定则判断可知此带电体必相对磁场向右运动，由平衡条件有Bqv＝mg，v＝，故D正确．
6．如图4所示，匀强磁场中有一个电荷量为q的正离子，自a点沿半圆轨道运动，当它运动到b点时，突然吸收了附近若干电子，接着沿另一半圆轨道运动到c点，已知a、b、c在同一直线上，且ac＝ab，电子的电荷量为e，电子质量可忽略不计，则该正离子吸收的电子个数为(　　)

图4
A. B. C. D.
答案　D
解析　正离子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r＝，正离子吸收电子后半径发生变化，r′＝＝，所以q′＝，Δq＝q，n＝＝，D正确．
7．两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图5.若不计粒子的重力，则下列说法正确的是(　　)

图5
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C．b粒子动能较大
D．b粒子在磁场中运动时间较长
答案　C
解析　粒子向右运动，根据左手定则，b向上偏转，应当带正电；a向下偏转，应当带负电，故A错误；洛伦兹力提供向心力，即：qvB＝，得：r＝，故半径较大的b粒子速度大，动能也大，故C正确；F洛＝qvB，故速度大的b粒子所受洛伦兹力较大，故B错误；磁场中质量相同，带电荷量相等的粒子，偏转角大的运动时间长；a粒子的偏转角大，因此a粒子在磁场中运动的时间较长，故D错误．
8.如图6所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场．一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力．则(　　)

图6
A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2
C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1
D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
答案　A
解析　带正电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，运动轨迹如图所示，由几何关系得，rc＝2rb，θb＝120°，θc＝60°，由qvB＝m得，v＝，则vb∶vc＝rb∶rc＝1∶2, 又由T＝，t＝T和θb＝2θc得tb∶tc＝2∶1，故选项A正确，B、C、D错误．


9．如图7所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为(　　)

图7
A．B>
B．B<
C．B>
D．B<
答案　D
解析　由题意，如图所示，电子正好经过C点，此时圆周运动的半径R＝＝ a，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a，由带电粒子在磁场中运动的公式知r＝，故a<，即B<，故选D.

10.如图8所示的狭长区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，区域的左、右两边界均沿竖直方向，磁场左、右两边界之间的距离为L，磁感应强度的大小为B.某种质量为m、电荷量为q的带正电粒子从左边界上的P点以水平向右的初速度进入磁场区域，该粒子从磁场的右边界飞出，飞出时速度方向与右边界的夹角为30°，重力的影响忽略不计．

图8
(1)求该粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径；
(2)求该粒子的运动速率；
(3)求该粒子在磁场中运动的时间．
答案　(1)L　(2)　(3)
解析　(1)粒子飞出时速度方向与右边界夹角为30°，则在磁场中偏转角为60°，
根据几何关系，粒子做圆周运动的半径
R＝＝L.
(2)由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m
所以v＝＝.
(3)由qvB＝，T＝得，圆周运动周期T＝
所以粒子在磁场中运动的时间t＝＝.
11．在以坐标原点为中心、边长为L的正方形EFGH区域内，存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图9所示．在A处有一个粒子源，可以连续不断的沿－x方向射入速度不同的带电粒子，且都能从磁场的上边界射出．已知粒子的质量为m，电荷量大小为q，重力不计，不考虑粒子间的相互作用．

图9
(1)试判断粒子的电性；
(2)求从F点射出的粒子在磁场中运动的时间；
(3)若粒子以速度v＝射入磁场，求粒子由EF边射出时的位置坐标．
答案　(1)粒子带负电　(2)　(3)(－L，)
解析　(1)由左手定则可知粒子带负电．
(2)粒子由F点射出时，运动方向水平向右，其在磁场中运动轨迹为半圆，则运动时间为：t＝＝
(3)由牛顿第二定律qvB＝m
解得r＝＝L
则粒子从C点射出，运动轨迹如图所示

由几何关系得OA＝O′F＝AF＝，CF＝L
则粒子从EF边射出时的位置坐标为(－L，)
12．(2017·浙江11月选考·23)如图10所示，x轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，坐标原点有一正离子源，单位时间在xOy平面内发射n0个速率均为v的离子，分布在y轴两侧各为θ的范围内．在x轴上放置长度为L的离子收集板，其右端点距坐标原点的距离为2L，当磁感应强度为B0时，沿y轴正方向入射的离子，恰好打在收集板的右端点．整个装置处于真空中，不计重力，不考虑离子间的碰撞，忽略离子间相互作用．

图10
(1)求离子的比荷；
(2)若发射的离子被收集板全部收集，求θ的最大值；
(3)假设离子到达x轴时沿x轴均匀分布，当θ＝37°，磁感应强度在B0≤B≤3B0的区间取不同值时，求单位时间内收集板收集到的离子数n与磁感应强度B之间的关系．(不计离子在磁场中运动的时间)
答案　(1)　(2)60°　(3)见解析
解析　(1)磁场强度为B0时，沿着y轴正方向射入的离子，正好打在收集板右端，则离子轨迹如图甲：

可知R＝L，又qvB0＝m，
联立可得：＝
(2)如图乙所示，以最大值θm入射时，

乙
根据几何关系，有：2Rcos θm＝L，
故θm＝60°
(3)B≥B0，全部收集到离子时的最小半径为R1，如图丙

丙
有2R1cos 37°＝L，得B1＝＝1.6B0
当B0≤B≤1.6B0时，n1＝n0
B>1.6B0，恰好收集不到离子时的半径为R2，
有R2＝0.5L，得B2＝2B0
因此当1.6B0 则n2＝n0＝n0(5－)，
当2B0