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2020版物理新导学浙江选考大一轮精讲讲义：第二章相互作用第2讲
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第2讲 力的合成与分解
[考试标准]
知识内容
考试要求
说明
力的合成
c
1.不要求求解两个分力成任意角度时的合力．
2.不要求用相似三角形知识求分力．
3.不要求用求解斜三角形的知识求分力.
力的分解
c
一、力的合成
1．合力与分力
(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这一个力的分力．
(2)关系：合力与分力是等效替代关系．
2．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程．
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量．
自测1 关于几个力及其合力，下列说法不正确的是( )
A．合力的作用效果跟原来几个力共同作用产生的效果相同
B．合力与原来那几个力同时作用在物体上
C．合力的作用可以替代原来那几个力的作用
D．求几个力的合力遵守平行四边形定则
答案 B
二、力的分解
1．定义：求一个力的分力的过程．力的分解是力的合成的逆运算．
2．遵循的原则：
(1)平行四边形定则．
(2)三角形定则．
3．力的分解依据
(1)一个力可以分解为两个力，如果没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力．
(2)在实际问题中，要依据力的实际作用效果分解．
自测2 下列图中按力的作用效果分解正确的是( )
答案 A
三、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向的物理量，叠加时遵循平行四边形定则，如速度、力等．
2．标量：只有大小没有方向的物理量，求和时按代数法则相加，如路程、速率等．
自测3 下列各组物理量中全部是矢量的是( )
A．位移、速度、加速度、力
B．位移、时间、速度、路程
C．力、位移、速率、加速度
D．速度、加速度、力、路程
答案 A
命题点一 力的合成
1．两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2
2．重要结论
(1)两个分力大小一定时，夹角θ越大，合力越小．
(2)合力一定时，两等大分力的夹角越大，两分力越大．
(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力．
3．共点力合成的方法
(1)作图法．
(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力，是解题的常用方法．
例1 水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一光滑轻质滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图1所示，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10 m/s2)( )
图1
A．50 N B．50 N
C．100 N D．100 N
答案 C
解析 依据平行四边定则作图，由几何关系知∠CBD＝120°，∠CBE＝∠DBE，得∠CBE＝∠DBE＝60°，即△DBE是等边三角形，所以F合＝mg＝100 N，故C正确．
例2 (多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N．下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
答案 ABC
解析 两个2 N力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三个力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定A、B、C正确，D错误．
变式1 一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图2所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
图2
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求出合力大小
答案 B
解析 如图所示，假设图中的方格边长代表1 N，则沿x轴方向有Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝(6＋2＋4) N＝12 N，沿y轴方向有Fy＝F1y＋F2y＋F3y＝(3－3) N＝0，F合＝3F3，故选B.
变式2 如图3所示，小球A、B通过一条细绳跨过轻质定滑轮连接，它们都穿在一根竖直杆上．当两球平衡时，连接两球的细绳与水平方向的夹角分别为θ和2θ.假设装置中的各处摩擦均不计，则A、B球的质量之比为( )
图3
A．2cos θ∶1
B．1∶2cos θ
C．tan θ∶1
D．1∶2sin θ
答案 B
解析 分别对A、B两球受力分析，如图所示：
由力的合成和分解得：FTAsin θ＝mAg，FTBsin 2θ＝mBg，FTA＝FTB，故mA∶mB＝sin θ∶sin 2θ＝1∶2cos θ，故选B.
变式3 一个质点在三个共点力F1、F2、F3的作用下处于平衡状态，如图4所示，则它们的大小关系是( )
图4
A．F1>F2>F3
B．F1>F3>F2
C．F3>F1>F2
D．F2>F1>F3
答案 C
解析 因为质点在三个共点力F1、F2、F3的作用下处于平衡状态，所以将三力首尾相连组成一封闭三角形，如图所示：
根据数学知识三角形中大角对大边，即得出F3>F1>F2，所以A、B、D错误，C正确．
命题点二 力的分解的两种常用方法
1．力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；
(2)再根据两个实际分力的方向画出平行四边形；
(3)最后由平行四边形和数学知识求出两分力的大小．
2．正交分解法
(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．
(2)建立坐标轴的原则：以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)．
3．一般情况下，物体只受三个力时，力的效果分解法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系求解；物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定．
类型1 力的效果分解法
例3 如图5所示，在倾角为α的斜面上放一质量为m的小球，小球被竖直的木板挡住，重力加速度为g，则球对挡板的压力是( )
图5
A．mgcos α B．mgtan α
C. D．mg
答案 B
解析 如图所示，小球的重力mg的两个分力分别与FN1、FN2大小相等，方向相反，故FN1＝mgtan α，球对挡板的压力FN1′＝FN1＝mgtan α.
变式4 如图6所示为斧头劈柴的剖面图，图中BC边为斧头背，AB、AC边为斧头的刃面，要使斧头容易劈开木柴，需要( )
图6
A．BC边短一些，AB边也短一些
B．BC边长一些，AB边短一些
C．BC边短一些，AB边长一些
D．BC边长一些，AB边也长一些
答案 C
解析 如图所示，设劈柴的力为F，按效果可分解为两个垂直于斜边的力F1和F2，由图可知，F1＝F2＝，要使斧头容易劈开木柴，则F1和F2应越大，即θ应越小，故要求BC边短一些，AB边长一些，故C正确．
变式5 (多选)生活中拉链在很多衣服上得到应用，图7是衣服上拉链的一部分，当我们把拉链拉开的时候，拉头与拉链接触处呈三角形，使很难直接分开的拉链很容易地拉开，关于其中的物理原理，以下说法正确的是( )
图7
A．拉开拉链的时候，三角形的物体增大了拉拉链的拉力
B．拉开拉链的时候，三角形的物体将拉力分解为两个较大的分力
C．拉开拉链的时候，三角形的物体将拉力分解为方向不同的两个分力
D．以上说法都不正确
答案 BC
解析 拉头与拉链的接触处呈三角形，拉力分解为两个分力，如图所示，分力的大小大于拉力，且两分力的方向不相同，故B、C正确，A、D错误．
变式6 如图8所示，楔形凹槽的截面是一个直角三角形ABC，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，在凹槽中放有一个光滑的金属球，当金属球静止时，其对凹槽AB边的压力为F1，对BC边的压力为F2，则的值为( )
图8
A. B. C. D.
答案 C
解析 金属球受到的重力产生两个作用效果，压AB面和压BC面，如图所示，将金属球所受的重力分解为垂直AB面的分力F1′和垂直BC面的分力F2′，又由题意知，F1＝F1′，F2＝F2′，故＝tan 30°＝，故C正确．
类型2 力的正交分解法
例4 如图9所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动．若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为( )
图9
A.－1 B．2－
C.－ D．1－
答案 B
解析 当用F1拉物块时，由匀速直线运动的受力特点知
F1cos 60°＝μFN1①
FN1＋F1sin 60°＝mg②
当用F2推物块时，由匀速直线运动的受力特点知
F2cos 30°＝μFN2③
mg＋F2sin 30°＝FN2④
又由题意知F1＝F2⑤
解①②③④⑤得μ＝2－.
变式7 如图10所示，放在固定斜面上的物体受到垂直于斜面向上的力F作用始终保持静止，当力F逐渐减小时，下列说法正确的是( )
图10
A．物体受到的摩擦力保持不变
B．物体受到的摩擦力逐渐增大
C．物体受到的合力减小
D．物体对斜面的压力逐渐减小
答案 A
解析 对物体受力分析，受重力、支持力、静摩擦力和力F，如图所示：
因为物体始终静止，处于平衡状态，合力一直为零，根据平衡条件，有：
①垂直斜面方向：
F＋FN＝Gcos θ
Gcos θ保持不变，所以F逐渐减小的过程中，FN逐渐增大，根据牛顿第三定律，物体对斜面的压力也增大．
②平行斜面方向：Ff＝Gsin θ
Gsin θ保持不变，故Ff保持不变，故A正确.
1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
答案 C
解析 合力不一定大于分力，故B错误；三个共点力的合力的最小值能否为零，取决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内，由于三个力大小未知，所以三个力的合力的最小值不一定为零，故A错误；当三个力的大小分别为3a、6a、8a时，其中任何一个力都在其余两个力的合力范围内，故C正确；当三个力的大小分别为3a、6a、2a时，不满足上述情况，故D错误．
2.如图1所示，一件质量为M的衣服挂在等腰三角形的衣架上，衣架通过轻绳OA悬挂在天花板下．衣架质量为m，衣架顶角θ＝120°，此时衣架底边水平．不计衣服与衣架摩擦，重力加速度为g，则竖直轻绳OA受到的拉力FT和衣架左侧对衣服的作用力F的大小分别为( )
图1
A．FT＝(M＋m)g，F＝Mg
B．FT＝(M＋m)g，F＝Mg
C．FT＝Mg，F＝Mg
D．FT＝Mg，F＝Mg
答案 A
解析 以衣服和衣架为整体受力分析可知，整体受总重力和轻绳OA的拉力作用，根据平衡条件得：FT′＝(M＋m)g，根据牛顿第三定律可知，OA受到的拉力FT＝FT′＝(M＋m)g；以衣服为研究对象，其受力分析图如图所示：
根据几何关系得F与竖直方向的夹角为30°，由平衡条件得：2Fcos 30°＝Mg，解得：F＝Mg.
3．减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全．当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是( )
答案 B
解析 减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A、C错误；按照力的作用效果分解，将F分解为水平方向和竖直方向，水平方向的分力产生的效果减慢汽车的速度，竖直方向的分力产生使车轮向上运动的作用效果，故B正确，D错误．
4．如图2所示，用绳子把吊床的两端拴在两棵树上等高的位置，休闲的人可以坐在吊床上(如图甲)，也可以躺在吊床上(如图乙)．设当同一个休闲的人静止在吊床上时，吊床两端系绳的拉力为F1、吊床对该人的作用力为F2，则下列说法中正确的是( )
图2
A．坐着比躺着时F1大
B．躺着比坐着时F1大
C．坐着比躺着时F2大
D．躺着比坐着时F2大
答案 B
解析 坐在吊床上时绳与竖直方向夹角θ小，由2F1cos θ＝G，则躺着时拉力F1大，吊床对人的作用力与人的重力等大反向，故两次F2相同．
5.如图3所示，两个质量均为m1的小球套在竖直放置的光滑支架上，支架的夹角为120°，用轻绳将两球与质量为m2的小球连接，绳与杆构成一个菱形，则m1∶m2为( )
图3
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶ D.∶2
答案 A
解析 根据平行四边形定则将下面小球的重力按效果进行分解，如图所示，由几何知识得FT1＝FT2＝m2g，对支架上的小球受力分析，由平衡条件可知，在沿杆的方向上有m1gsin 30°＝FTsin 30°，可得FT＝m1g，故m1∶m2＝1∶1，选项A正确．
6．如图4所示，一个重为G的吊椅用轻绳AO、BO固定，绳AO、BO相互垂直，α>β，且两绳中的拉力分别为FA、FB，物体受到的重力为G，则( )
图4
A．FA一定大于G
B．FA一定大于FB
C．FA一定小于FB
D．FA与FB大小之和一定等于G
答案 B
7.(多选)将力F分解为两个力，已知其中一个分力F1的方向与F的夹角为θ(如图5所示)，则( )
图5
A．只要知道另一个分力的方向就可得到确定的另一个分力
B．只要知道F1的大小，就可得到确定的两个分力
C．如果知道另一个分力的大小，一定可以得到唯一确定的两个分力
D．另一个分力的最小值是Fsin θ
答案 ABD
解析 已知合力F和两分力的方向，两分力有唯一的确定值，已知分力F1的大小和方向时，力的分解也是唯一确定的，A、B正确；当Fsin θ
图6
A．m1必大于m2
B．m1必大于
C．m1可能等于m2
D．m1可能大于m2
答案 A
解析 由2m1gcos＝m2g知，2m1g＞m2g，m1＞，故A错误，B、C、D正确．
9．(2019届东阳中学期末)如图7甲所示是我国一项传统的体育活动“空竹”，将“空竹”搁置于两轻杆间的细线上，然后用两手提拉两杆，“空竹”就会在线上来回滚动，非常具有趣味性和锻炼性．现假设某老人正在玩“空竹”，如图乙所示，开始时两手在同一高度，且始终保持两手间水平距离不变，如不考虑细线与“空竹”间的摩擦，则下列说法正确的是( )
图7
A．将右侧轻杆提高，待“空竹”静止时右侧细线的拉力大于左侧细线的拉力
B．将右侧轻杆提高，待“空竹”静止时细线的拉力大于开始时细线的拉力
C．不管将哪侧轻杆提高，待“空竹”静止时其左右两侧细线与竖直方向的夹角都相等
D．如果将两手的水平距离增大，待“空竹”静止时细线的张力将减小
答案 C
解析 同一条细线上拉力大小处处相等，不管将哪侧轻杆提高，待“空竹”静止时右侧细线的拉力大小等于左侧细线的拉力，其合力在角平分线上，故左右两侧细线与竖直方向的夹角相等，故A错误，C正确；设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的张力大小为F，“空竹”的质量为m，由平衡条件知mg＝2Fcos θ，保持两手间水平距离不变，则θ不变，F不变，若两手的水平距离增大，则θ增大，F增大，故B、D错误．
10.如图8所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g.若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为( )
图8
A. B.
C.mgtan α D.
答案 A
解析 石块受到的重力产生两个作用效果，即压紧两侧接触面，把mg沿垂直于两侧面的方向分解为F1、F2，如图所示．由几何关系可知，F1＝F2＝，则侧面受石块压力大小等于，根据物体间的相互作用力大小相等，石块侧面所受弹力大小等于.
11.如图9所示，质量为mB＝24 kg的木板B放在水平地面上，质量为mA＝22 kg的木箱A放在木板B上．一根轻绳一端拴在木箱上，另一端拴在天花板上，轻绳与水平方向的夹角为θ＝37°.已知木箱A与木板B之间的动摩擦因数μ1＝0.5.现用水平向右、大小为200 N的力F将木板B从木箱A下面匀速抽出(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2)，则木板B与地面之间的动摩擦因数μ2的大小为( )
图9
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
答案 A
解析 对A受力分析如图甲所示，由力的平衡条件得
FTcos θ＝Ff1①
FN1＋FTsin θ＝mAg②
Ff1＝μ1FN1③
由①②③得：FT＝100 N
对A、B整体受力分析如图乙所示，由平衡条件得
FTcos θ＋Ff2＝F④
FN2＋FTsin θ＝(mA＋mB)g⑤
Ff2＝μ2FN2⑥
由④⑤⑥得：μ2＝0.3，故A正确．
12．(多选)如图10所示，轻质光滑滑轮两侧用细绳连着两个物体A与B，物体B放在水平地面上，A、B均静止．已知A和B的质量分别为mA、mB，绳与水平方向的夹角为θ，则( )
图10
A．物体B受到的摩擦力可能为零
B．物体B受到的摩擦力为mAgcos θ
C．物体B对地面的压力可能为零
D．物体B对地面的压力为mBg－mAgsin θ
答案 BD
解析 对B受力分析如图所示，
则水平方向上Ff＝FTcos θ，
又FT＝mAg，所以Ff＝mAgcos θ，A错误，B正确；
竖直方向上FNB＋FTsin θ＝mBg，
所以FNB＝mBg－FTsin θ＝mBg－mAgsin θ，C错误，D正确．
13．如图11为一位于墙角的光滑斜面，其倾角为θ＝45°，劲度系数为k的轻质弹簧一端系在质量为m的小球上，另一端固定在墙上，弹簧水平放置(弹簧处于弹性限度内)，小球在斜面上静止，则弹簧的形变量为( )
图11
A. B.
C. D.
答案 A
解析 分析小球受力如图所示，F与mg的合力与FN等大反向，由θ＝45°可知，F＝mg，又F＝kx，故弹簧的压缩量为x＝，A正确．
14.如图12所示，一质量为m的沙袋用不可伸长的轻绳悬挂在支架上，一练功队员用垂直于绳的力将沙袋缓慢拉起使绳与竖直方向的夹角为θ＝30°，且绳绷紧，则练功队员对沙袋施加的作用力大小为( )
图12
A. B.mg
C.mg D.mg
答案 A
解析 建立如图所示直角坐标系，对沙袋进行受力分析．
由平衡条件有：
Fcos 30°－FTsin 30°＝0，
FTcos 30°＋Fsin 30°－mg＝0，
联立可解得：F＝，故A正确．
15.如图13所示，B和C两个小球所受重力均为G，用轻绳悬挂而分别静止于图示位置上，试求：
图13
(1)AB和CD两根细绳的拉力大小；
(2)绳BC与竖直方向的夹角θ.
答案 (1)G G (2)60°
解析 (1)对B、C两球整体受力分析，正交分解得FABcos 30°＋FCDcos 60°＝2G，FABsin 30°＝FCDsin 60°
联立解得：FAB＝G，FCD＝G
(2)对C球受力分析，正交分解得
FBCcos θ＋FCDcos 60°＝G
FBCsin θ＝FCDsin 60°，
联立解得：θ＝60°.
[考试标准]
知识内容
考试要求
说明
力的合成
c
1.不要求求解两个分力成任意角度时的合力．
2.不要求用相似三角形知识求分力．
3.不要求用求解斜三角形的知识求分力.
力的分解
c
一、力的合成
1．合力与分力
(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这一个力的分力．
(2)关系：合力与分力是等效替代关系．
2．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程．
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量．
自测1 关于几个力及其合力，下列说法不正确的是( )
A．合力的作用效果跟原来几个力共同作用产生的效果相同
B．合力与原来那几个力同时作用在物体上
C．合力的作用可以替代原来那几个力的作用
D．求几个力的合力遵守平行四边形定则
答案 B
二、力的分解
1．定义：求一个力的分力的过程．力的分解是力的合成的逆运算．
2．遵循的原则：
(1)平行四边形定则．
(2)三角形定则．
3．力的分解依据
(1)一个力可以分解为两个力，如果没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力．
(2)在实际问题中，要依据力的实际作用效果分解．
自测2 下列图中按力的作用效果分解正确的是( )
答案 A
三、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向的物理量，叠加时遵循平行四边形定则，如速度、力等．
2．标量：只有大小没有方向的物理量，求和时按代数法则相加，如路程、速率等．
自测3 下列各组物理量中全部是矢量的是( )
A．位移、速度、加速度、力
B．位移、时间、速度、路程
C．力、位移、速率、加速度
D．速度、加速度、力、路程
答案 A
命题点一 力的合成
1．两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2
2．重要结论
(1)两个分力大小一定时，夹角θ越大，合力越小．
(2)合力一定时，两等大分力的夹角越大，两分力越大．
(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力．
3．共点力合成的方法
(1)作图法．
(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力，是解题的常用方法．
例1 水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一光滑轻质滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图1所示，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10 m/s2)( )
图1
A．50 N B．50 N
C．100 N D．100 N
答案 C
解析 依据平行四边定则作图，由几何关系知∠CBD＝120°，∠CBE＝∠DBE，得∠CBE＝∠DBE＝60°，即△DBE是等边三角形，所以F合＝mg＝100 N，故C正确．
例2 (多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N．下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
答案 ABC
解析 两个2 N力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三个力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定A、B、C正确，D错误．
变式1 一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图2所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
图2
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求出合力大小
答案 B
解析 如图所示，假设图中的方格边长代表1 N，则沿x轴方向有Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝(6＋2＋4) N＝12 N，沿y轴方向有Fy＝F1y＋F2y＋F3y＝(3－3) N＝0，F合＝3F3，故选B.
变式2 如图3所示，小球A、B通过一条细绳跨过轻质定滑轮连接，它们都穿在一根竖直杆上．当两球平衡时，连接两球的细绳与水平方向的夹角分别为θ和2θ.假设装置中的各处摩擦均不计，则A、B球的质量之比为( )
图3
A．2cos θ∶1
B．1∶2cos θ
C．tan θ∶1
D．1∶2sin θ
答案 B
解析 分别对A、B两球受力分析，如图所示：
由力的合成和分解得：FTAsin θ＝mAg，FTBsin 2θ＝mBg，FTA＝FTB，故mA∶mB＝sin θ∶sin 2θ＝1∶2cos θ，故选B.
变式3 一个质点在三个共点力F1、F2、F3的作用下处于平衡状态，如图4所示，则它们的大小关系是( )
图4
A．F1>F2>F3
B．F1>F3>F2
C．F3>F1>F2
D．F2>F1>F3
答案 C
解析 因为质点在三个共点力F1、F2、F3的作用下处于平衡状态，所以将三力首尾相连组成一封闭三角形，如图所示：
根据数学知识三角形中大角对大边，即得出F3>F1>F2，所以A、B、D错误，C正确．
命题点二 力的分解的两种常用方法
1．力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；
(2)再根据两个实际分力的方向画出平行四边形；
(3)最后由平行四边形和数学知识求出两分力的大小．
2．正交分解法
(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．
(2)建立坐标轴的原则：以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)．
3．一般情况下，物体只受三个力时，力的效果分解法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系求解；物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定．
类型1 力的效果分解法
例3 如图5所示，在倾角为α的斜面上放一质量为m的小球，小球被竖直的木板挡住，重力加速度为g，则球对挡板的压力是( )
图5
A．mgcos α B．mgtan α
C. D．mg
答案 B
解析 如图所示，小球的重力mg的两个分力分别与FN1、FN2大小相等，方向相反，故FN1＝mgtan α，球对挡板的压力FN1′＝FN1＝mgtan α.
变式4 如图6所示为斧头劈柴的剖面图，图中BC边为斧头背，AB、AC边为斧头的刃面，要使斧头容易劈开木柴，需要( )
图6
A．BC边短一些，AB边也短一些
B．BC边长一些，AB边短一些
C．BC边短一些，AB边长一些
D．BC边长一些，AB边也长一些
答案 C
解析 如图所示，设劈柴的力为F，按效果可分解为两个垂直于斜边的力F1和F2，由图可知，F1＝F2＝，要使斧头容易劈开木柴，则F1和F2应越大，即θ应越小，故要求BC边短一些，AB边长一些，故C正确．
变式5 (多选)生活中拉链在很多衣服上得到应用，图7是衣服上拉链的一部分，当我们把拉链拉开的时候，拉头与拉链接触处呈三角形，使很难直接分开的拉链很容易地拉开，关于其中的物理原理，以下说法正确的是( )
图7
A．拉开拉链的时候，三角形的物体增大了拉拉链的拉力
B．拉开拉链的时候，三角形的物体将拉力分解为两个较大的分力
C．拉开拉链的时候，三角形的物体将拉力分解为方向不同的两个分力
D．以上说法都不正确
答案 BC
解析 拉头与拉链的接触处呈三角形，拉力分解为两个分力，如图所示，分力的大小大于拉力，且两分力的方向不相同，故B、C正确，A、D错误．
变式6 如图8所示，楔形凹槽的截面是一个直角三角形ABC，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，在凹槽中放有一个光滑的金属球，当金属球静止时，其对凹槽AB边的压力为F1，对BC边的压力为F2，则的值为( )
图8
A. B. C. D.
答案 C
解析 金属球受到的重力产生两个作用效果，压AB面和压BC面，如图所示，将金属球所受的重力分解为垂直AB面的分力F1′和垂直BC面的分力F2′，又由题意知，F1＝F1′，F2＝F2′，故＝tan 30°＝，故C正确．
类型2 力的正交分解法
例4 如图9所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动．若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为( )
图9
A.－1 B．2－
C.－ D．1－
答案 B
解析 当用F1拉物块时，由匀速直线运动的受力特点知
F1cos 60°＝μFN1①
FN1＋F1sin 60°＝mg②
当用F2推物块时，由匀速直线运动的受力特点知
F2cos 30°＝μFN2③
mg＋F2sin 30°＝FN2④
又由题意知F1＝F2⑤
解①②③④⑤得μ＝2－.
变式7 如图10所示，放在固定斜面上的物体受到垂直于斜面向上的力F作用始终保持静止，当力F逐渐减小时，下列说法正确的是( )
图10
A．物体受到的摩擦力保持不变
B．物体受到的摩擦力逐渐增大
C．物体受到的合力减小
D．物体对斜面的压力逐渐减小
答案 A
解析 对物体受力分析，受重力、支持力、静摩擦力和力F，如图所示：
因为物体始终静止，处于平衡状态，合力一直为零，根据平衡条件，有：
①垂直斜面方向：
F＋FN＝Gcos θ
Gcos θ保持不变，所以F逐渐减小的过程中，FN逐渐增大，根据牛顿第三定律，物体对斜面的压力也增大．
②平行斜面方向：Ff＝Gsin θ
Gsin θ保持不变，故Ff保持不变，故A正确.
1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
答案 C
解析 合力不一定大于分力，故B错误；三个共点力的合力的最小值能否为零，取决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内，由于三个力大小未知，所以三个力的合力的最小值不一定为零，故A错误；当三个力的大小分别为3a、6a、8a时，其中任何一个力都在其余两个力的合力范围内，故C正确；当三个力的大小分别为3a、6a、2a时，不满足上述情况，故D错误．
2.如图1所示，一件质量为M的衣服挂在等腰三角形的衣架上，衣架通过轻绳OA悬挂在天花板下．衣架质量为m，衣架顶角θ＝120°，此时衣架底边水平．不计衣服与衣架摩擦，重力加速度为g，则竖直轻绳OA受到的拉力FT和衣架左侧对衣服的作用力F的大小分别为( )
图1
A．FT＝(M＋m)g，F＝Mg
B．FT＝(M＋m)g，F＝Mg
C．FT＝Mg，F＝Mg
D．FT＝Mg，F＝Mg
答案 A
解析 以衣服和衣架为整体受力分析可知，整体受总重力和轻绳OA的拉力作用，根据平衡条件得：FT′＝(M＋m)g，根据牛顿第三定律可知，OA受到的拉力FT＝FT′＝(M＋m)g；以衣服为研究对象，其受力分析图如图所示：
根据几何关系得F与竖直方向的夹角为30°，由平衡条件得：2Fcos 30°＝Mg，解得：F＝Mg.
3．减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全．当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是( )
答案 B
解析 减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A、C错误；按照力的作用效果分解，将F分解为水平方向和竖直方向，水平方向的分力产生的效果减慢汽车的速度，竖直方向的分力产生使车轮向上运动的作用效果，故B正确，D错误．
4．如图2所示，用绳子把吊床的两端拴在两棵树上等高的位置，休闲的人可以坐在吊床上(如图甲)，也可以躺在吊床上(如图乙)．设当同一个休闲的人静止在吊床上时，吊床两端系绳的拉力为F1、吊床对该人的作用力为F2，则下列说法中正确的是( )
图2
A．坐着比躺着时F1大
B．躺着比坐着时F1大
C．坐着比躺着时F2大
D．躺着比坐着时F2大
答案 B
解析 坐在吊床上时绳与竖直方向夹角θ小，由2F1cos θ＝G，则躺着时拉力F1大，吊床对人的作用力与人的重力等大反向，故两次F2相同．
5.如图3所示，两个质量均为m1的小球套在竖直放置的光滑支架上，支架的夹角为120°，用轻绳将两球与质量为m2的小球连接，绳与杆构成一个菱形，则m1∶m2为( )
图3
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶ D.∶2
答案 A
解析 根据平行四边形定则将下面小球的重力按效果进行分解，如图所示，由几何知识得FT1＝FT2＝m2g，对支架上的小球受力分析，由平衡条件可知，在沿杆的方向上有m1gsin 30°＝FTsin 30°，可得FT＝m1g，故m1∶m2＝1∶1，选项A正确．
6．如图4所示，一个重为G的吊椅用轻绳AO、BO固定，绳AO、BO相互垂直，α>β，且两绳中的拉力分别为FA、FB，物体受到的重力为G，则( )
图4
A．FA一定大于G
B．FA一定大于FB
C．FA一定小于FB
D．FA与FB大小之和一定等于G
答案 B
7.(多选)将力F分解为两个力，已知其中一个分力F1的方向与F的夹角为θ(如图5所示)，则( )
图5
A．只要知道另一个分力的方向就可得到确定的另一个分力
B．只要知道F1的大小，就可得到确定的两个分力
C．如果知道另一个分力的大小，一定可以得到唯一确定的两个分力
D．另一个分力的最小值是Fsin θ
答案 ABD
解析 已知合力F和两分力的方向，两分力有唯一的确定值，已知分力F1的大小和方向时，力的分解也是唯一确定的，A、B正确；当Fsin θ
图6
A．m1必大于m2
B．m1必大于
C．m1可能等于m2
D．m1可能大于m2
答案 A
解析 由2m1gcos＝m2g知，2m1g＞m2g，m1＞，故A错误，B、C、D正确．
9．(2019届东阳中学期末)如图7甲所示是我国一项传统的体育活动“空竹”，将“空竹”搁置于两轻杆间的细线上，然后用两手提拉两杆，“空竹”就会在线上来回滚动，非常具有趣味性和锻炼性．现假设某老人正在玩“空竹”，如图乙所示，开始时两手在同一高度，且始终保持两手间水平距离不变，如不考虑细线与“空竹”间的摩擦，则下列说法正确的是( )
图7
A．将右侧轻杆提高，待“空竹”静止时右侧细线的拉力大于左侧细线的拉力
B．将右侧轻杆提高，待“空竹”静止时细线的拉力大于开始时细线的拉力
C．不管将哪侧轻杆提高，待“空竹”静止时其左右两侧细线与竖直方向的夹角都相等
D．如果将两手的水平距离增大，待“空竹”静止时细线的张力将减小
答案 C
解析 同一条细线上拉力大小处处相等，不管将哪侧轻杆提高，待“空竹”静止时右侧细线的拉力大小等于左侧细线的拉力，其合力在角平分线上，故左右两侧细线与竖直方向的夹角相等，故A错误，C正确；设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的张力大小为F，“空竹”的质量为m，由平衡条件知mg＝2Fcos θ，保持两手间水平距离不变，则θ不变，F不变，若两手的水平距离增大，则θ增大，F增大，故B、D错误．
10.如图8所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g.若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为( )
图8
A. B.
C.mgtan α D.
答案 A
解析 石块受到的重力产生两个作用效果，即压紧两侧接触面，把mg沿垂直于两侧面的方向分解为F1、F2，如图所示．由几何关系可知，F1＝F2＝，则侧面受石块压力大小等于，根据物体间的相互作用力大小相等，石块侧面所受弹力大小等于.
11.如图9所示，质量为mB＝24 kg的木板B放在水平地面上，质量为mA＝22 kg的木箱A放在木板B上．一根轻绳一端拴在木箱上，另一端拴在天花板上，轻绳与水平方向的夹角为θ＝37°.已知木箱A与木板B之间的动摩擦因数μ1＝0.5.现用水平向右、大小为200 N的力F将木板B从木箱A下面匀速抽出(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2)，则木板B与地面之间的动摩擦因数μ2的大小为( )
图9
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
答案 A
解析 对A受力分析如图甲所示，由力的平衡条件得
FTcos θ＝Ff1①
FN1＋FTsin θ＝mAg②
Ff1＝μ1FN1③
由①②③得：FT＝100 N
对A、B整体受力分析如图乙所示，由平衡条件得
FTcos θ＋Ff2＝F④
FN2＋FTsin θ＝(mA＋mB)g⑤
Ff2＝μ2FN2⑥
由④⑤⑥得：μ2＝0.3，故A正确．
12．(多选)如图10所示，轻质光滑滑轮两侧用细绳连着两个物体A与B，物体B放在水平地面上，A、B均静止．已知A和B的质量分别为mA、mB，绳与水平方向的夹角为θ，则( )
图10
A．物体B受到的摩擦力可能为零
B．物体B受到的摩擦力为mAgcos θ
C．物体B对地面的压力可能为零
D．物体B对地面的压力为mBg－mAgsin θ
答案 BD
解析 对B受力分析如图所示，
则水平方向上Ff＝FTcos θ，
又FT＝mAg，所以Ff＝mAgcos θ，A错误，B正确；
竖直方向上FNB＋FTsin θ＝mBg，
所以FNB＝mBg－FTsin θ＝mBg－mAgsin θ，C错误，D正确．
13．如图11为一位于墙角的光滑斜面，其倾角为θ＝45°，劲度系数为k的轻质弹簧一端系在质量为m的小球上，另一端固定在墙上，弹簧水平放置(弹簧处于弹性限度内)，小球在斜面上静止，则弹簧的形变量为( )
图11
A. B.
C. D.
答案 A
解析 分析小球受力如图所示，F与mg的合力与FN等大反向，由θ＝45°可知，F＝mg，又F＝kx，故弹簧的压缩量为x＝，A正确．
14.如图12所示，一质量为m的沙袋用不可伸长的轻绳悬挂在支架上，一练功队员用垂直于绳的力将沙袋缓慢拉起使绳与竖直方向的夹角为θ＝30°，且绳绷紧，则练功队员对沙袋施加的作用力大小为( )
图12
A. B.mg
C.mg D.mg
答案 A
解析 建立如图所示直角坐标系，对沙袋进行受力分析．
由平衡条件有：
Fcos 30°－FTsin 30°＝0，
FTcos 30°＋Fsin 30°－mg＝0，
联立可解得：F＝，故A正确．
15.如图13所示，B和C两个小球所受重力均为G，用轻绳悬挂而分别静止于图示位置上，试求：
图13
(1)AB和CD两根细绳的拉力大小；
(2)绳BC与竖直方向的夹角θ.
答案 (1)G G (2)60°
解析 (1)对B、C两球整体受力分析，正交分解得FABcos 30°＋FCDcos 60°＝2G，FABsin 30°＝FCDsin 60°
联立解得：FAB＝G，FCD＝G
(2)对C球受力分析，正交分解得
FBCcos θ＋FCDcos 60°＝G
FBCsin θ＝FCDsin 60°，
联立解得：θ＝60°.
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