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2020版物理新增分大一轮新高考（京津鲁琼）讲义：第四章曲线运动万有引力与航天第2讲
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第2讲 抛体运动
一、平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动．
4．基本规律
如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．
图1
(1)位移关系
(2)速度关系
自测1 人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列图中能表示出速度矢量的演变过程的是( )
答案 C
解析 小球做平抛运动，只受重力作用，加速度方向竖直向下，所以速度变化的方向竖直向下，C正确．
自测2 一个物体以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，则运动时间为(不计空气阻力)( )
A. B.
C. D.
答案 C
二、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图2所示)
图2
(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
自测3 有A、B两小球，B的质量为A的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力，如图3所示，①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是( )
图3
A．① B．②
C．③ D．④
答案 A
解析 物体做斜抛运动的轨迹只与初速度的大小和方向有关，而与物体的质量无关，A、B两小球的运动轨迹相同，故A项正确．
命题点一 平抛运动基本规律的应用
1．飞行时间
由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示．
图4
5．两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5所示，即xB＝.
图5
推导：
→xB＝
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.
推导：
→tan θ＝2tan α
类型1 单个物体的平抛运动
例1 (2017·全国卷Ⅰ·15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
答案 C
解析 由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据h＝gt2及vy2＝2gh可知，乒乓球的运动时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平速度大小无关，故选项A、B、D均错误；由发出点到球网的水平位移相同时，速度较大的球运动时间短，在竖直方向下落的距离较小，可以越过球网，故C正确．
变式1 (2018·安徽省滁州市上学期期末)在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)( )
A.s B.s
C.s D.s
答案 C
解析 设原来的速度大小为v，高度为h，根据平抛运动的规律可知在竖直方向有：h＝gt2，解得：t＝，在水平方向：s＝vt＝v，现战斗机高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则有s′＝vt′，h＝gt′2，联立解得：s′＝s，故C正确，A、B、D错误．
例2 (2017·全国卷Ⅱ·17)如图6，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)( )
图6
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设小物块滑到轨道上端的速度大小为v1，小物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得mv2＝2mgr＋mv12
小物块做平抛运动时，落地点到轨道下端的距离x＝v1t，
t＝2，联立解得：x＝2，
由数学知识可知，当r＝时，x最大，故选项B正确．
变式2 (多选)(2018·福建省三明市上学期期末)如图7所示，将一小球从空中A点以水平速度v0抛出，经过一段时间后，小球以大小为2v0的速度经过B点，不计空气阻力，则小球从A到B(重力加速度为g)( )
图7
A．下落高度为
B．经过的时间为
C．速度增量为v0，方向竖直向下
D．运动方向改变的角度为60°
答案 AD
解析 小球经过B点时竖直分速度vy＝＝v0，由vy＝gt得t＝；根据h＝gt2得h＝，故A正确，B错误；速度增量为Δv＝gt＝v0，方向竖直向下，故C错误；小球经过B点时速度与水平方向的夹角正切值tan α＝＝，α＝60°，即运动方向改变的角度为60°，故D正确．
类型2 多个物体的平抛运动
1．若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．
2．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定．
3．若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．
4．两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达此处才会相遇．
例3 (2019·山东省临沂市期中)如图8所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移大小之比为1∶2，则下列说法正确的是( )
图8
A．A、B两球的初速度大小之比为1∶4
B．A、B两球的初速度大小之比为∶2
C．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(－1)
D．若两球同时抛出，则落地的时间差为
答案 C
变式3 在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一固定的竖直杆，车上的三个水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地面的高度分别为3h、2h和h，当小车遇到障碍物P时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，先后落到水平路面上，如图9所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
图9
A．三个小球落地时间差与车速有关
B．三个小球落地点的间隔距离L1＝L2
C．三个小球落地点的间隔距离L1
答案 C
解析 落地时间只与下落的高度有关，故A项错误；三个小球在竖直方向上做自由落体运动，由公式t＝可得下落时间之比为tA∶tB∶tC＝∶∶1，故水平位移之比xA∶xB∶xC＝∶∶1，则L1∶L2＝(－)∶(－1)，故L1
模型1 对着竖直墙壁平抛
如图10所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝.
图10
例4 (多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图11所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)( )
图11
A．初速度之比是∶∶
B．初速度之比是1∶∶
C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶
答案 AC
解析 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误．
模型2 斜面上的平抛问题
1．顺着斜面平抛(如图12)
图12
方法：分解位移．
x＝v0t，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝.
2．对着斜面平抛(垂直打到斜面，如图13)
图13
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
例5 (2018·全国卷Ⅲ·17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
答案 A
解析 如图所示，可知：x＝vt，
x·tan θ＝gt2，vy＝gt＝2tan θ·v
则落至斜面的速率
v落＝＝v，即v落∝v，甲、乙两球抛出速度为v和，则可得落至斜面时速率之比为2∶1.
变式4 (2018·山西省晋城市二模)如图14所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为 m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，不计空气阻力)( )
图14
A. m B. m C. m D. m
答案 D
解析 设AB的高度为h，落地点到C点的距离为x，则＝，求得：x＝ m，故选D.
变式5 (2018·福建省南平市5月第二次模拟)为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L＝300 m的斜坡的中点P，如图15，若sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为( )
图15
A．h＝170 m v＝30 m/s B．h＝135 m v＝40 m/s
C．h＝80 m v＝30 m/s D．h＝45 m v＝40 m/s
答案 A
解析 根据速度的分解有：tan θ＝＝，x＝cos 37°＝vt，联立解得t＝4 s，v＝30 m/s；则炸弹竖直位移为y＝gt2＝80 m，故无人机距A点的高度h＝y＋sin θ＝170 m，故选A.
模型3 半圆内的平抛问题
如图16所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t：h＝gt2，
图16
R±＝v0t.
联立两方程可求t.
例6 (2018·江西省赣州市十四县市期中)如图17，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为 ( )
图17
A．tan α B．cos α
C．tan α D．cos α
答案 C
解析 设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2.对球1：Rsin α＝v1t1，Rcos α＝gt12，对球2：Rcos α＝v2t2，Rsin α＝gt22，解四式可得：＝tan α，C正确．
变式6 如图18所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R.一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力．则下列判断正确的是( )
图18
A．只要v0足够大，小球可以击中B点
B．v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
C．v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上
答案 D
解析 小球做平抛运动，竖直方向有位移，v0再大也不可能击中B点，A错误；v0不同，小球会落在半球壳内不同点上，落点和A点的连线与AB的夹角φ不同，由推论tan θ＝2tan φ可知，小球落在半球壳的不同位置上时的速度方向和水平方向之间的夹角θ也不相同，若小球垂直撞击到半球壳上，则其速度反向延长线一定经过半球壳的球心，且该反向延长线与AB的交点为水平位移的中点，而这是不可能的，故B、C错误，D正确．
命题点三 平抛运动的临界和极值问题
例7 如图19所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上，正对网向上跳起将球水平击出．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)
图19
(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．
答案 见解析
解析 (1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x1＝3 m，竖直位移y1＝h2－h1＝(2.5－2) m＝0.5 m，根据位移关系x＝vt，y＝gt2，可得v＝x，代入数据可得v1＝3 m/s，即所求击球速度的下限．
设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x2＝12 m，竖直位移y2＝h2＝2.5 m，代入速度公式v＝x，
可求得v2＝12 m/s，即所求击球速度的上限．欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足
3 m/s
设此时球的初速度为v3，击球点到触网点的水平位移x3＝3 m，竖直位移y3＝h3－h1＝h3－2 m，代入速度公式v＝x可得v3＝3；
同理对压线点有x4＝12 m，y4＝h3，
代入速度公式v＝x可得v3＝12.
联立解得h3≈2.13 m，即当击球高度小于2.13 m时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界．
变式7 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图20所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
图20
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
答案 D
解析 当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有：
3h－h＝①
＝v1t1②
联立①②两式，得v1＝
当速度v最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有
＝v2t2③
3h＝gt④
联立③④两式，得v2＝
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为＜v ＜，选项D正确．
1．(2019·福建省泉州市调研)从距地面h高度水平抛出一小球，落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是( )
A．小球初速度为tan θ
B．小球着地速度大小为
C．若小球初速度减为原来的一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍
D．若小球初速度减为原来的一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为2θ
答案 B
2．(2018·湖北省武汉市调研)如图1是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出．不计空气阻力，则( )
图1
A．a和b的飞行时间相同
B．b的飞行时间比c的短
C．a的水平初速度比b的小
D．c的水平初速度比a的大
答案 D
解析 根据t＝可知，b下落的高度比a大，则b飞行的时间较长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比b的大，选项A、C错误；b的竖直高度比c大，则b飞行的时间比c长，选项B错误；a的竖直高度比c大，则a飞行的时间比c长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比c的小，选项D正确．
3．(2018·山东省济南一中期中)如图2所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )
图2
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
答案 C
解析 小球A、B下落高度相同，则两小球从飞出到落在C点用时相同，均设为t，对A球：
x＝v1t①
y＝gt2②
又tan 30°＝③
联立①②③得：v1＝gt④
小球B恰好垂直打到斜面上，则有：tan 30°＝＝⑤
则得：v2＝gt⑥
由④⑥得：v1∶v2＝3∶2，所以C正确．
4．(2018·河南省洛阳市尖子生第二次联考)利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏．如图3所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好沿纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角．若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是( )
图3
A．在P点将纸团以小于v的速度水平抛出
B．在P点将纸团以大于v的速度水平抛出
C．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出
D．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出
答案 C
解析 在P点的初速度减小，则下降到篓上沿这段时间内，水平位移变小，则纸团不能进入篓中，故A错误．在P点的初速度增大，则下降到篓底的时间内，水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B错误．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出，根据x＝v0知，水平位移可以减小，也不会与篓的左边沿相撞，可直接击中篓底的正中间，故C正确．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团可能进篓，但不能直接击中篓底正中间，故D错误．
5．(2018·天津市部分区上学期期末)如图4所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在地面上N点处将S2球以初速度v2竖直向上抛出，在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力，则两球在这段过程中( )
图4
A．做的都是变加速运动
B．速度变化量的大小不相等
C．速度变化量的方向不相同
D．相遇点在N点上方处
答案 D
解析 由于两个球都只受到重力的作用，做的都是匀变速运动，故A错误；由Δv＝at＝gt，知它们速度的变化量相同，速度变化量的方向都竖直向下，故B、C错误；S1球做平抛运动，竖直方向有h1＝gt2；S2球竖直上抛，则有v2＝gt，h2＝v2t－gt2，由题意得h＝h1＋h2，解得h1＝h2＝，所以相遇点在N点上方处，故D正确．
6．(2018·江西省横峰中学、铅山一中等校联考)从离地面高为h处以水平速度v0抛出一个物体，不计空气阻力，要使物体落地速度与水平地面的夹角最大，则h 与v0的取值应为下列的( )
A．h＝15 m，v0＝5 m/s B．h＝15 m，v0＝8 m/s
C．h＝30 m，v0＝10 m/s D．h＝40 m，v0＝10 m/s
答案 A
解析 水平方向上做匀速直线运动：v＝v0，x＝v0t，竖直方向上做自由落体运动：vy＝gt，h＝gt2，落地时速度方向与水平地面的夹角为tan α＝＝＝，所以h越大，初速度v0越小，物体落地的速度方向与水平地面的夹角越大，故A正确，B、C、D错误．
7．(2018·广东省肇庆市一模)如图5所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球，小球从静止释放沿斜面运动到底端B的时间是t1.若给小球不同的水平初速度，使小球分别落到斜面上的A点，经过的时间是t2；落到斜面底端B点，经过的时间是t3；落到水平面上的C点，经过的时间是t4，不计空气阻力，则( )
图5
A．t1＜t2 B．t4＜t1 C．t3＜t4 D．t3＜t2
答案 B
解析 小球做平抛运动时：h＝gt2，因此下落高度大的时间长，所以有t4＝t3>t2，故C、D错误；小球沿斜面下滑时：l＝at2，由于ah，所以沿斜面下滑时间是最长的，则t4
图6
A. B.
C. D.
答案 A
解析 甲平抛运动的时间为：t＝；乙在斜面下滑的加速度为：a＝＝gsin 45°＝g.根据h＝v0t＋at2 ，代入数据得v0＝，故A正确，B、C、D错误．
9．(多选)(2018·河北省石家庄市模拟)如图7所示，甲球从O点以水平速度v1飞出，落在水平地面上的A点．乙球从O点以水平速度v2飞出，落在水平地面上的B点反弹后恰好也落在A点．已知乙球在B点与地面碰撞反弹后瞬间水平方向的分速度不变，竖直方向的分速度方向相反、大小不变，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
图7
A．由O点到A点，甲球运动时间与乙球运动时间相等
B．甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的3倍
C．v1∶v2 ＝3∶1
D．v1∶v2 ＝2∶1
答案 BC
解析 设OA间的竖直高度为h.由O点到A点，甲球运动时间为t甲＝.乙球运动时间是甲球的3倍，A错误；乙球先做平抛运动，再做斜上抛运动，根据对称性可知，从B到A的水平位移等于从O到B的水平位移的2倍，所以甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的3倍，B正确；设乙球由O点到B点水平位移为x，时间为t.对甲球有3x＝v1t，对乙球有x＝v2t，则得v1∶v2＝3∶1，故C正确，D错误．
10．(2018·广东省揭阳市二模)如图8所示为乒乓球桌面示意图，球网上沿高出桌面H，网到桌边的水平距离为L，在某次乒乓球训练中，从左侧处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到桌面右侧边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是( )
图8
A．击球点的高度与网高度之比为2∶1
B．乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为2∶1
C．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时速率之比为1∶2
D．乒乓球在网左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2
答案 D
解析 因为水平方向做匀速运动，乒乓球在网右侧的水平位移是左边水平位移的两倍，所以乒乓球在网右侧运动时间是左侧的两倍，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2可知，击球点的高度与网高之比为9∶8，故A、B错误；由平抛运动规律：H＝gt2，L＝v0t，解得：v0＝L，由动能定理可知，乒乓球过网时mgH＝mv12－mv02，解得：v1＝ ，同理落到桌边缘时速度v2＝，所以＝，故C错误；网右侧运动时间是左侧的两倍，Δv＝gt，所以乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2，故D正确．
11．(2018·甘肃省兰州一中模拟)如图9所示，AB是半圆弧的直径，处于水平，O是圆弧的圆心，C是圆弧上一点，∠OAC＝37°，在A、O两点分别以一定的初速度同时水平抛出两个小球，结果都落在C点，则两个球抛出的初速度v1、v2的大小之比为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，不计空气阻力)( )
图9
A．v1∶v2＝32∶7 B．v1∶v2＝16∶7
C．v1∶v2＝16∶3 D．v1∶v2＝16∶9
答案 A
解析 两球下落的高度相同，根据t＝知，下落的时间相同，设圆弧的半径为R，则A点抛出的球平抛运动的
水平位移x1＝2Rcos 37°cos 37°＝1.28R，从O点抛出的球做平抛运动的水平位移为x2＝x1－R＝0.28R，根据v＝知v1∶v2＝32∶7，A正确．
12．(2018·湖北省黄冈市质检)如图10所示，倾角θ＝37°、高h＝1.8 m的斜面位于水平地面上，小球从斜面顶端A点以初速度v0水平向右抛出(此时斜面未动)，小球恰好落到斜面底端B点处．空气阻力忽略不计，取重力加速度g＝10 m/s2，tan 37°＝0.75.
图10
(1)求小球平抛的初速度v0的大小；
(2)若在小球水平抛出的同时，使斜面在水平面上由静止开始向右做匀加速直线运动，经t2＝0.3 s小球落至斜面上，求斜面运动的加速度大小．
答案 (1)4 m/s (2)13.3 m/s2
解析 (1)小球水平抛出后恰好落在斜面底端，设水平位移为x，h＝gt2，x＝v0t，由几何知识可得tan θ＝
联立并代入已知数据得v0＝4 m/s
(2)如图所示，设经过t2＝0.3 s，斜面运动的位移为x1，加速度大小为a，小球做平抛运动竖直位移为h2，水平位移为x2，x1＝at22
h2＝gt，x2＝v0t2
由几何知识可得tan θ＝
联立并代入已知数据得a＝ m/s2≈13.3 m/s2
一、平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动．
4．基本规律
如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．
图1
(1)位移关系
(2)速度关系
自测1 人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列图中能表示出速度矢量的演变过程的是( )
答案 C
解析 小球做平抛运动，只受重力作用，加速度方向竖直向下，所以速度变化的方向竖直向下，C正确．
自测2 一个物体以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，则运动时间为(不计空气阻力)( )
A. B.
C. D.
答案 C
二、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图2所示)
图2
(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
自测3 有A、B两小球，B的质量为A的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力，如图3所示，①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是( )
图3
A．① B．②
C．③ D．④
答案 A
解析 物体做斜抛运动的轨迹只与初速度的大小和方向有关，而与物体的质量无关，A、B两小球的运动轨迹相同，故A项正确．
命题点一 平抛运动基本规律的应用
1．飞行时间
由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示．
图4
5．两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5所示，即xB＝.
图5
推导：
→xB＝
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.
推导：
→tan θ＝2tan α
类型1 单个物体的平抛运动
例1 (2017·全国卷Ⅰ·15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
答案 C
解析 由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据h＝gt2及vy2＝2gh可知，乒乓球的运动时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平速度大小无关，故选项A、B、D均错误；由发出点到球网的水平位移相同时，速度较大的球运动时间短，在竖直方向下落的距离较小，可以越过球网，故C正确．
变式1 (2018·安徽省滁州市上学期期末)在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)( )
A.s B.s
C.s D.s
答案 C
解析 设原来的速度大小为v，高度为h，根据平抛运动的规律可知在竖直方向有：h＝gt2，解得：t＝，在水平方向：s＝vt＝v，现战斗机高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则有s′＝vt′，h＝gt′2，联立解得：s′＝s，故C正确，A、B、D错误．
例2 (2017·全国卷Ⅱ·17)如图6，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)( )
图6
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设小物块滑到轨道上端的速度大小为v1，小物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得mv2＝2mgr＋mv12
小物块做平抛运动时，落地点到轨道下端的距离x＝v1t，
t＝2，联立解得：x＝2，
由数学知识可知，当r＝时，x最大，故选项B正确．
变式2 (多选)(2018·福建省三明市上学期期末)如图7所示，将一小球从空中A点以水平速度v0抛出，经过一段时间后，小球以大小为2v0的速度经过B点，不计空气阻力，则小球从A到B(重力加速度为g)( )
图7
A．下落高度为
B．经过的时间为
C．速度增量为v0，方向竖直向下
D．运动方向改变的角度为60°
答案 AD
解析 小球经过B点时竖直分速度vy＝＝v0，由vy＝gt得t＝；根据h＝gt2得h＝，故A正确，B错误；速度增量为Δv＝gt＝v0，方向竖直向下，故C错误；小球经过B点时速度与水平方向的夹角正切值tan α＝＝，α＝60°，即运动方向改变的角度为60°，故D正确．
类型2 多个物体的平抛运动
1．若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．
2．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定．
3．若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．
4．两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达此处才会相遇．
例3 (2019·山东省临沂市期中)如图8所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移大小之比为1∶2，则下列说法正确的是( )
图8
A．A、B两球的初速度大小之比为1∶4
B．A、B两球的初速度大小之比为∶2
C．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(－1)
D．若两球同时抛出，则落地的时间差为
答案 C
变式3 在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一固定的竖直杆，车上的三个水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地面的高度分别为3h、2h和h，当小车遇到障碍物P时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，先后落到水平路面上，如图9所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
图9
A．三个小球落地时间差与车速有关
B．三个小球落地点的间隔距离L1＝L2
C．三个小球落地点的间隔距离L1
答案 C
解析 落地时间只与下落的高度有关，故A项错误；三个小球在竖直方向上做自由落体运动，由公式t＝可得下落时间之比为tA∶tB∶tC＝∶∶1，故水平位移之比xA∶xB∶xC＝∶∶1，则L1∶L2＝(－)∶(－1)，故L1
模型1 对着竖直墙壁平抛
如图10所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝.
图10
例4 (多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图11所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)( )
图11
A．初速度之比是∶∶
B．初速度之比是1∶∶
C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶
答案 AC
解析 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误．
模型2 斜面上的平抛问题
1．顺着斜面平抛(如图12)
图12
方法：分解位移．
x＝v0t，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝.
2．对着斜面平抛(垂直打到斜面，如图13)
图13
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
例5 (2018·全国卷Ⅲ·17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
答案 A
解析 如图所示，可知：x＝vt，
x·tan θ＝gt2，vy＝gt＝2tan θ·v
则落至斜面的速率
v落＝＝v，即v落∝v，甲、乙两球抛出速度为v和，则可得落至斜面时速率之比为2∶1.
变式4 (2018·山西省晋城市二模)如图14所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为 m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，不计空气阻力)( )
图14
A. m B. m C. m D. m
答案 D
解析 设AB的高度为h，落地点到C点的距离为x，则＝，求得：x＝ m，故选D.
变式5 (2018·福建省南平市5月第二次模拟)为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L＝300 m的斜坡的中点P，如图15，若sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为( )
图15
A．h＝170 m v＝30 m/s B．h＝135 m v＝40 m/s
C．h＝80 m v＝30 m/s D．h＝45 m v＝40 m/s
答案 A
解析 根据速度的分解有：tan θ＝＝，x＝cos 37°＝vt，联立解得t＝4 s，v＝30 m/s；则炸弹竖直位移为y＝gt2＝80 m，故无人机距A点的高度h＝y＋sin θ＝170 m，故选A.
模型3 半圆内的平抛问题
如图16所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t：h＝gt2，
图16
R±＝v0t.
联立两方程可求t.
例6 (2018·江西省赣州市十四县市期中)如图17，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为 ( )
图17
A．tan α B．cos α
C．tan α D．cos α
答案 C
解析 设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2.对球1：Rsin α＝v1t1，Rcos α＝gt12，对球2：Rcos α＝v2t2，Rsin α＝gt22，解四式可得：＝tan α，C正确．
变式6 如图18所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R.一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力．则下列判断正确的是( )
图18
A．只要v0足够大，小球可以击中B点
B．v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
C．v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上
答案 D
解析 小球做平抛运动，竖直方向有位移，v0再大也不可能击中B点，A错误；v0不同，小球会落在半球壳内不同点上，落点和A点的连线与AB的夹角φ不同，由推论tan θ＝2tan φ可知，小球落在半球壳的不同位置上时的速度方向和水平方向之间的夹角θ也不相同，若小球垂直撞击到半球壳上，则其速度反向延长线一定经过半球壳的球心，且该反向延长线与AB的交点为水平位移的中点，而这是不可能的，故B、C错误，D正确．
命题点三 平抛运动的临界和极值问题
例7 如图19所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上，正对网向上跳起将球水平击出．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)
图19
(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．
答案 见解析
解析 (1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x1＝3 m，竖直位移y1＝h2－h1＝(2.5－2) m＝0.5 m，根据位移关系x＝vt，y＝gt2，可得v＝x，代入数据可得v1＝3 m/s，即所求击球速度的下限．
设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x2＝12 m，竖直位移y2＝h2＝2.5 m，代入速度公式v＝x，
可求得v2＝12 m/s，即所求击球速度的上限．欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足
3 m/s
设此时球的初速度为v3，击球点到触网点的水平位移x3＝3 m，竖直位移y3＝h3－h1＝h3－2 m，代入速度公式v＝x可得v3＝3；
同理对压线点有x4＝12 m，y4＝h3，
代入速度公式v＝x可得v3＝12.
联立解得h3≈2.13 m，即当击球高度小于2.13 m时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界．
变式7 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图20所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
图20
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
答案 D
解析 当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有：
3h－h＝①
＝v1t1②
联立①②两式，得v1＝
当速度v最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有
＝v2t2③
3h＝gt④
联立③④两式，得v2＝
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为＜v ＜，选项D正确．
1．(2019·福建省泉州市调研)从距地面h高度水平抛出一小球，落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是( )
A．小球初速度为tan θ
B．小球着地速度大小为
C．若小球初速度减为原来的一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍
D．若小球初速度减为原来的一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为2θ
答案 B
2．(2018·湖北省武汉市调研)如图1是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出．不计空气阻力，则( )
图1
A．a和b的飞行时间相同
B．b的飞行时间比c的短
C．a的水平初速度比b的小
D．c的水平初速度比a的大
答案 D
解析 根据t＝可知，b下落的高度比a大，则b飞行的时间较长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比b的大，选项A、C错误；b的竖直高度比c大，则b飞行的时间比c长，选项B错误；a的竖直高度比c大，则a飞行的时间比c长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比c的小，选项D正确．
3．(2018·山东省济南一中期中)如图2所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )
图2
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
答案 C
解析 小球A、B下落高度相同，则两小球从飞出到落在C点用时相同，均设为t，对A球：
x＝v1t①
y＝gt2②
又tan 30°＝③
联立①②③得：v1＝gt④
小球B恰好垂直打到斜面上，则有：tan 30°＝＝⑤
则得：v2＝gt⑥
由④⑥得：v1∶v2＝3∶2，所以C正确．
4．(2018·河南省洛阳市尖子生第二次联考)利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏．如图3所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好沿纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角．若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是( )
图3
A．在P点将纸团以小于v的速度水平抛出
B．在P点将纸团以大于v的速度水平抛出
C．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出
D．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出
答案 C
解析 在P点的初速度减小，则下降到篓上沿这段时间内，水平位移变小，则纸团不能进入篓中，故A错误．在P点的初速度增大，则下降到篓底的时间内，水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B错误．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出，根据x＝v0知，水平位移可以减小，也不会与篓的左边沿相撞，可直接击中篓底的正中间，故C正确．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团可能进篓，但不能直接击中篓底正中间，故D错误．
5．(2018·天津市部分区上学期期末)如图4所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在地面上N点处将S2球以初速度v2竖直向上抛出，在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力，则两球在这段过程中( )
图4
A．做的都是变加速运动
B．速度变化量的大小不相等
C．速度变化量的方向不相同
D．相遇点在N点上方处
答案 D
解析 由于两个球都只受到重力的作用，做的都是匀变速运动，故A错误；由Δv＝at＝gt，知它们速度的变化量相同，速度变化量的方向都竖直向下，故B、C错误；S1球做平抛运动，竖直方向有h1＝gt2；S2球竖直上抛，则有v2＝gt，h2＝v2t－gt2，由题意得h＝h1＋h2，解得h1＝h2＝，所以相遇点在N点上方处，故D正确．
6．(2018·江西省横峰中学、铅山一中等校联考)从离地面高为h处以水平速度v0抛出一个物体，不计空气阻力，要使物体落地速度与水平地面的夹角最大，则h 与v0的取值应为下列的( )
A．h＝15 m，v0＝5 m/s B．h＝15 m，v0＝8 m/s
C．h＝30 m，v0＝10 m/s D．h＝40 m，v0＝10 m/s
答案 A
解析 水平方向上做匀速直线运动：v＝v0，x＝v0t，竖直方向上做自由落体运动：vy＝gt，h＝gt2，落地时速度方向与水平地面的夹角为tan α＝＝＝，所以h越大，初速度v0越小，物体落地的速度方向与水平地面的夹角越大，故A正确，B、C、D错误．
7．(2018·广东省肇庆市一模)如图5所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球，小球从静止释放沿斜面运动到底端B的时间是t1.若给小球不同的水平初速度，使小球分别落到斜面上的A点，经过的时间是t2；落到斜面底端B点，经过的时间是t3；落到水平面上的C点，经过的时间是t4，不计空气阻力，则( )
图5
A．t1＜t2 B．t4＜t1 C．t3＜t4 D．t3＜t2
答案 B
解析 小球做平抛运动时：h＝gt2，因此下落高度大的时间长，所以有t4＝t3>t2，故C、D错误；小球沿斜面下滑时：l＝at2，由于a
图6
A. B.
C. D.
答案 A
解析 甲平抛运动的时间为：t＝；乙在斜面下滑的加速度为：a＝＝gsin 45°＝g.根据h＝v0t＋at2 ，代入数据得v0＝，故A正确，B、C、D错误．
9．(多选)(2018·河北省石家庄市模拟)如图7所示，甲球从O点以水平速度v1飞出，落在水平地面上的A点．乙球从O点以水平速度v2飞出，落在水平地面上的B点反弹后恰好也落在A点．已知乙球在B点与地面碰撞反弹后瞬间水平方向的分速度不变，竖直方向的分速度方向相反、大小不变，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
图7
A．由O点到A点，甲球运动时间与乙球运动时间相等
B．甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的3倍
C．v1∶v2 ＝3∶1
D．v1∶v2 ＝2∶1
答案 BC
解析 设OA间的竖直高度为h.由O点到A点，甲球运动时间为t甲＝.乙球运动时间是甲球的3倍，A错误；乙球先做平抛运动，再做斜上抛运动，根据对称性可知，从B到A的水平位移等于从O到B的水平位移的2倍，所以甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的3倍，B正确；设乙球由O点到B点水平位移为x，时间为t.对甲球有3x＝v1t，对乙球有x＝v2t，则得v1∶v2＝3∶1，故C正确，D错误．
10．(2018·广东省揭阳市二模)如图8所示为乒乓球桌面示意图，球网上沿高出桌面H，网到桌边的水平距离为L，在某次乒乓球训练中，从左侧处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到桌面右侧边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是( )
图8
A．击球点的高度与网高度之比为2∶1
B．乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为2∶1
C．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时速率之比为1∶2
D．乒乓球在网左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2
答案 D
解析 因为水平方向做匀速运动，乒乓球在网右侧的水平位移是左边水平位移的两倍，所以乒乓球在网右侧运动时间是左侧的两倍，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2可知，击球点的高度与网高之比为9∶8，故A、B错误；由平抛运动规律：H＝gt2，L＝v0t，解得：v0＝L，由动能定理可知，乒乓球过网时mgH＝mv12－mv02，解得：v1＝ ，同理落到桌边缘时速度v2＝，所以＝，故C错误；网右侧运动时间是左侧的两倍，Δv＝gt，所以乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2，故D正确．
11．(2018·甘肃省兰州一中模拟)如图9所示，AB是半圆弧的直径，处于水平，O是圆弧的圆心，C是圆弧上一点，∠OAC＝37°，在A、O两点分别以一定的初速度同时水平抛出两个小球，结果都落在C点，则两个球抛出的初速度v1、v2的大小之比为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，不计空气阻力)( )
图9
A．v1∶v2＝32∶7 B．v1∶v2＝16∶7
C．v1∶v2＝16∶3 D．v1∶v2＝16∶9
答案 A
解析 两球下落的高度相同，根据t＝知，下落的时间相同，设圆弧的半径为R，则A点抛出的球平抛运动的
水平位移x1＝2Rcos 37°cos 37°＝1.28R，从O点抛出的球做平抛运动的水平位移为x2＝x1－R＝0.28R，根据v＝知v1∶v2＝32∶7，A正确．
12．(2018·湖北省黄冈市质检)如图10所示，倾角θ＝37°、高h＝1.8 m的斜面位于水平地面上，小球从斜面顶端A点以初速度v0水平向右抛出(此时斜面未动)，小球恰好落到斜面底端B点处．空气阻力忽略不计，取重力加速度g＝10 m/s2，tan 37°＝0.75.
图10
(1)求小球平抛的初速度v0的大小；
(2)若在小球水平抛出的同时，使斜面在水平面上由静止开始向右做匀加速直线运动，经t2＝0.3 s小球落至斜面上，求斜面运动的加速度大小．
答案 (1)4 m/s (2)13.3 m/s2
解析 (1)小球水平抛出后恰好落在斜面底端，设水平位移为x，h＝gt2，x＝v0t，由几何知识可得tan θ＝
联立并代入已知数据得v0＝4 m/s
(2)如图所示，设经过t2＝0.3 s，斜面运动的位移为x1，加速度大小为a，小球做平抛运动竖直位移为h2，水平位移为x2，x1＝at22
h2＝gt，x2＝v0t2
由几何知识可得tan θ＝
联立并代入已知数据得a＝ m/s2≈13.3 m/s2
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