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2020版物理新增分大一轮新高考（京津鲁琼）讲义：第九章磁场第2讲
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这是一份2020版物理新增分大一轮新高考（京津鲁琼）讲义：第九章磁场第2讲，共20页。学案主要包含了洛伦兹力的大小和方向，带电粒子在匀强磁场中的运动等内容，欢迎下载使用。
第2讲 磁场对运动电荷的作用
一、洛伦兹力的大小和方向
1．定义：磁场对运动电荷的作用力．
2．大小
(1)v∥B时，F＝0；
(2)v⊥B时，F＝qvB；
(3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin_θ.
3．方向
(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动方向或负电荷运动的反方向；
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v.即F垂直于B、v决定的平面．(注意B和v可以有任意夹角)
4．做功：洛伦兹力不做功．
自测1 带电荷量为＋q的不同粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是( )
A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同
B．如果把＋q改为－q，且速度反向、大小不变，则其所受洛伦兹力的大小、方向均不变
C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直
D．粒子在只受洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变
答案 B
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子以入射速度v做匀速直线运动．
2．若v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做匀速圆周运动．
3．基本公式
(1)向心力公式：qvB＝m；
(2)轨道半径公式：r＝；
(3)周期公式：T＝.
注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率无关．
自测2 (2018·广东省潮州市下学期综合测试)在探究射线性质的过程中，让质量为m1、带电荷量为2e的α粒子和质量为m2、带电荷量为e的β粒子，分别垂直于磁场方向射入同一匀强磁场中，发现两种粒子沿半径相同的圆轨道运动．则α粒子与β粒子的动能之比是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：qvB＝m，动能为：Ek＝mv2，联立可得：Ek＝，由题意知α粒子和β粒子
所带电荷量之比为2∶1，故α粒子和β粒子的动能之比为：＝＝，故D正确．
命题点一 对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷．
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用．
(4)洛伦兹力一定不做功．
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
3．洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场方向的关系
F⊥B，F⊥v
F∥E
做功情况
任何情况下都不做功
可能做功，也可能不做功
例1 (多选)(2018·福建省三明市上学期期末)如图1所示为一个质量为m、带电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中．现给圆环向右初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的v－t图象可能是下图中的( )
图1
答案 BC
解析 当qvB＝mg时，圆环做匀速直线运动，此时图象为B，故B正确；当qvB＞mg时，FN＝qvB－mg，此时：μFN＝ma，所以圆环做加速度逐渐减小的减速运动，直到qvB＝mg时，圆环开始做匀速运动，故C正确；当qvB＜mg时，FN＝mg－qvB，此时：μFN＝ma，所以圆环做加速度逐渐增大的减速运动，直至停止，所以其v－t图象的斜率应该逐渐增大，故A、D错误．
变式1 如图2所示，一轨道由两等长的光滑斜面AB和BC组成，两斜面在B处用一光滑小圆弧相连接，BA、BC关于竖直线BD对称且BD右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，B处可认为处在磁场中，P是BC的中点，一带电小球从A点由静止释放后能沿轨道来回运动，C点为小球在BD右侧运动的最高点，则下列说法正确的是( )
图2
A．C点与A点不在同一水平线上
B．小球向右或向左滑过B点时，对轨道压力相等
C．小球向上或向下滑过P点时，其所受洛伦兹力相同
D．小球从A到B的时间是从C到P时间的倍
答案 D
解析 小球在运动过程中受重力、洛伦兹力和轨道支持力作用，因洛伦兹力不做功，支持力始终与小球运动方向垂直，也不做功，即只有重力做功，满足机械能守恒，因此C点与A点等高，在同一水平线上，选项A错误；小球向右或向左滑过B点时速度等大反向，即洛伦兹力等大反向，小球对轨道的压力不等，选项B错误；同理小球向上或向下滑过P点时，洛伦兹力也等大反向，选项C错误；因洛伦兹力始终垂直于斜面，小球在AB段和BC段(设两斜面与水平面的夹角均为θ)的加速度均由重力沿斜面的分力产生，大小为gsin θ，由x＝at2得小球从A到B的时间是从C到P时间的倍，选项D正确．
变式2 如图3所示，一个带负电的物体从粗糙斜面顶端滑到底端时，速度为v.若加上一个垂直纸面向外的磁场，则滑到底端时( )
图3
A．v变大 B．v变小
C．v不变 D．不能确定v的变化
答案 B
解析 由于带负电的物体沿斜面下滑时受到垂直斜面向
下的洛伦兹力作用，故物体对斜面的正压力增大，斜面对物体的滑动摩擦力增大，物体克服摩擦力做功增大，所以物体滑到底端时v变小，B正确．
命题点二 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的直线过圆心
②弦的垂直平分线过圆心
③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
半径的确定
利用平面几何知识求半径
常用解三角形法：例：(左图)R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝
运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝T
②t＝
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α
模型1 直线边界磁场
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图4所示)
图4
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图b中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－)T＝(1－)＝
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
例2 如图5，直线OP上方分布着垂直纸面向里的匀强磁场，从粒子源O在纸面内沿不同的方向先后发射速率均为v的质子1和2，两个质子都过P点．已知OP＝a，质子1沿与OP成30°角的方向发射，不计质子的重力和质子间的相互作用力，则( )
图5
A．质子1在磁场中运动的半径为a
B．质子2在磁场中的运动周期为
C．质子1在磁场中的运动时间为
D．质子2在磁场中的运动时间为
答案 B
解析 根据题意作出质子运动轨迹如图所示：
由几何知识可知，质子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r＝a，故A错误；质子在磁场中做圆周运动的周期：T＝＝，故B正确；由几何知识可知，质子1在磁场中转过的圆心角：θ1＝60°，质子1在磁场中的运动时间：t1＝T＝T＝，故C错误；由几何知识可知，质子2在磁场中转过的圆心角：θ2＝300°，质子2在磁场中的运动时间：t2＝T＝，故D错误．
模型2 平行边界磁场
平行边界存在临界条件(如图6所示)
图6
图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝
图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
例3 (2018·重庆市上学期期末抽测)如图7所示，在0≤x≤3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在t＝0时刻，从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内．其中，沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场右边界上P(3a，a)点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
图7
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a
B．粒子的发射速度大小为
C．带电粒子的比荷为
D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0
答案 D
解析 根据题意作出沿y轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图所示，
圆心为O′，根据几何关系，可知粒子做圆周运动的半径为r＝2a，故A错误；沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为 ，运动时间t0＝，解得：v0＝，选项B错误；沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为，对应运动时间为t0，所以粒子运动的周期为T＝3t0，由Bqv0＝m2r，则＝，故C错误；在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图所示，
由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为，在磁场中的运动时间为2t0，故D正确．
变式3 (2018·河南省中原名校第四次模拟)如图8所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为q的带正电的粒子，粒子射入磁场的速度v＝，不计粒子的重力，则粒子能从PQ边界射出的区域长度为( )
图8
A．d B.d C.d D.d
答案 C
解析 粒子在磁场中运动的半径R＝＝d，粒子从PQ边射出的两个边界粒子的轨迹如图所示：
由几何关系可知，从PQ边射出粒子的区域长度为s＝2＝d，C项正确．
模型3 圆形边界磁场
沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图9所示)
图9
粒子做圆周运动的半径r＝
粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
θ＋α＝90°
例4 (2017·全国卷Ⅱ·18)如图10，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为( )
图10
A.∶2 B.∶1
C.∶1 D．3∶
答案 C
解析 设圆形磁场半径为R，若粒子射入的速率为v1，轨迹如图甲所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r1＝Rcos 60°＝R；若粒子射入的速率为v2，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r2＝Rcos 30°＝R；根据轨道半径公式r＝可知，v2∶v1＝r2∶r1＝∶1，故选项C正确．
甲 乙
变式4 (多选)(2018·广东省惠州市模拟)如图11所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场正对着圆心O射入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m，不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是( )
图11
A．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长
B．射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心O
C．射出磁场的粒子一定能垂直打在MN上
D．只要速度满足v＝，入射的粒子出射后一定垂直打在MN上
答案 BD
解析 速度不同的同种带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中轨道半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角θ越小，由
t＝T知，运动时间t越小，故A错误；带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，故B正确；速度不同，半径不同，轨迹对应的圆心角不同，对着圆心入射的粒子，出射后不一定垂直打在MN上，与粒子的速度有关，故C错误；速度满足v＝时，粒子的轨迹半径为r＝＝R，入射点、出射点、O点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与最高点的磁场半径垂直，粒子一定垂直打在MN板上，故D正确．
模型4 三角形边界磁场
例5 (多选)(2019·湖北省十堰市调研)如图12所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界为一边长为L的正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的三个顶点．今有一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以速度v＝从AB边上的某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC边上某点Q射出．若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则( )
图12
A．PB
答案 BD
解析 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示：
粒子在磁场中的运动轨迹半径为r＝，因此可得r＝L，当入射点为P1，圆心为O1，且此刻轨迹正好与BC相切时，PB取得最大值，若粒子从BC边射出，根据几何关系有PB
类型
分析
图例
带电粒子电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方向
不确定
在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解
如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态
不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解
运动具有
周期性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
例6 (2018·湖北省华中师大一附中模拟)如图13甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：
图13
(1)磁感应强度B0的大小．
(2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．
答案 (1) (2)(n＝1,2,3…)
解析 设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向．
(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0＝
做匀速圆周运动的周期T0＝
由以上两式得磁感应强度B0＝
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n个周期即nT0时，有R＝(n＝1,2,3…)．
联立求解，得正离子的速度的可能值为
v0＝＝(n＝1,2,3…)
变式5 (多选)(2018·河南省六市下学期第二次联考)如图14所示，直线MN与水平方向成θ＝30°角，MN的右上方区域存在磁感应强度大小为B、方向水平向外的匀强磁场，MN的左下方区域存在磁感应强度大小为2B、方向水平向里的匀强磁场，MN与两磁场均垂直．一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(粒子重力不计)，所有粒子均能通过MN上的b点．已知ab＝L，MN两侧磁场区域均足够大，则粒子的速率可能是( )
图14
A. B. C. D.
答案 BD
解析 粒子运动过程只受洛伦兹力作用，故在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，则在右上方磁场时有Bvq＝，则粒子在右上方磁场中做圆周运动的轨道半径R＝；同理，在左下方磁场中做圆周运动的半径为R′＝＝，作出运动轨迹，如图所示．由几何关系可知，所有圆心角均为60°，则图中所有三角形都为等边三角形，若粒子偏转偶数次到达b点，则有：L＝n＝n·，
解得：R＝，
故速度为v＝＝，
当n＝4时，v＝＝，故B正确；
若粒子偏转奇数次到达b点，则有：
L＝nR＋＝，
解得：R＝，
故速度为v＝＝ ，
当n＝1时，v＝＝，
故D正确．
1．下列说法正确的是( )
A．运动电荷在磁感应强度不为0的地方，一定受到洛伦兹力的作用
B．运动电荷在某处不受洛伦兹力的作用，则该处的磁感应强度一定为0
C．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度
D．洛伦兹力对带电粒子总不做功
答案 D
2.如图1为云室中某粒子穿过铅板P前后的轨迹．云室中匀强磁场的方向与轨迹所在平面垂直．由此可知粒子( )
图1
A．一定带正电
B．一定带负电
C．不带电
D．可能带正电，也可能带负电
答案 A
3.如图2所示，长直导线ab附近有一带正电荷的小球用绝缘丝线悬挂在M点．当ab中通以由b→a的恒定电流时，下列说法正确的是( )
图2
A．小球受磁场力作用，方向与导线垂直且垂直纸面向里
B．小球受磁场力作用，方向与导线垂直且垂直纸面向外
C．小球受磁场力作用，方向与导线垂直并指向左方
D．小球不受磁场力作用
答案 D
4.如图3所示，一正电荷水平向右射入蹄形磁铁的两磁极间．此时，该电荷所受洛伦兹力的方向是( )
图3
A．向左
B．向右
C．垂直纸面向里
D．垂直纸面向外
答案 D
5．(多选)(2019·安徽省芜湖市调研)如图4所示，虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度为B；一群电子以不同速率v从边界上的P点以相同的方向射入磁场．其中某一速率为v0的电子从Q点射出．已知电子入射方向与边界夹角为θ，则由以上条件可判断( )
图4
A．该匀强磁场的方向垂直纸面向里
B．所有电子在磁场中的轨迹相同
C．速率大于v0的电子在磁场中运动时间长
D．所有电子的速度方向都改变了2θ
答案 AD
解析 由左手定则可知，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A选项正确；由qvB＝得电子运动半径R＝，可知所有电子在磁场中的轨迹不相同，B选项错误；所有电子偏转角度相同，所有电子的速度方向都改变了2θ，D选项正确；由T＝得电子运动周期T＝，又t＝T＝T，所以所有电子在磁场中的运动时间都相同，C选项错误．
6．如图5所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B需满足( )
图5
A．B> B．B<
C．B> D．B<
答案 B
解析 若粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝＝a.由qvB＝得r＝，粒子要能从AC边射出，粒子运动的半径应满足r>r0，解得B<，选项B正确．
7．(2016·全国卷Ⅱ·18)一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图6所示．图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角．当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )
图6
A. B. C. D.
答案 A
解析 画出粒子的运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力得，qvB＝m，又T＝，联立得T＝
由几何知识可得，轨迹的圆心角为θ＝，粒子在磁场中运动时间t＝T，粒子运动和圆筒运动具有等时性，则T＝，解得＝，故选项A正确．
8．(2018·河北省承德市联校期末)如图7所示，OM的左侧存在范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，OM左侧到OM距离为L的P处有一个粒子源，可沿纸面向各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，速率均为v＝，则粒子在磁场中运动的最短时间为( )
图7
A. B. C. D.
答案 B
解析 粒子进入磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有：qvB＝m，将题设的v值代入得：r＝L，粒子在磁场中运动的时间最短，则粒子运动轨迹对应的弦最短，最短弦为L，等于圆周运动的半径，根据几何关系，粒子转过的圆心角为60°，运动时间为，故tmin＝＝×＝，故B正确，A、C、D错误．
9．(多选)如图8所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的粗糙细杆上自由滑动，细杆处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，圆环以初速度v0向右运动直至处于平衡状态，则圆环克服摩擦力做的功可能为( )
图8
A．0 B.mv
C. D.m(v－)
答案 ABD
解析 若圆环所受洛伦兹力等于重力，圆环对粗糙细杆压力为零，摩擦力为零，圆环克服摩擦力做的功为零，选项A正确；若圆环所受洛伦兹力不等于重力，圆环对粗糙细杆压力不为零，摩擦力不为零，若开始圆环所受洛伦兹力小于重力，则圆环一直减速到速度为零，由动能定理可得圆环克服摩擦力做的功为mv，选项B正确；若开始圆环所受洛伦兹力大于重力，则减速到洛伦兹力等于重力时圆环达到稳定，稳定速度v＝，由动能定理可得圆环克服摩擦力做的功为W＝mv－mv2＝m(v－)，选项C错误，D正确．
10.在以坐标原点为中心、边长为L的正方形EFGH区域内，存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图9所示．在A处有一个粒子源，可以连续不断的沿－x方向射入速度不同的带电粒子，且都能从磁场的上边界射出．已知粒子的质量为m，电荷量大小为q，重力不计，不考虑粒子间的相互作用．
图9
(1)试判断粒子的电性；
(2)求从F点射出的粒子在磁场中运动的时间；
(3)若粒子以速度v＝射入磁场，求粒子由EF边射出时的位置坐标．
答案 (1)粒子带负电 (2)
(3)(－L，)
解析 (1)由左手定则可知粒子带负电．
(2)粒子由F点射出时，运动方向水平向右，其在磁场中运动轨迹为半圆，则运动时间为：
t＝＝
(3)由牛顿第二定律qvB＝m
解得r＝＝L
则粒子从C点射出，运动轨迹如图所示
由几何关系得OA＝O′F＝AF＝，CF＝L
则粒子从EF边射出时的位置坐标为(－L，)
11.如图10所示，在屏蔽装置底部中心位置O点放一医用放射源，可通过细缝沿扇形区域向外辐射速率为v＝3.2×106 m/s的α粒子．已知屏蔽装置宽AB＝9 cm，缝长AD＝18 cm，α粒子的质量m＝6.64×10－27 kg，电荷量q＝3.2×10－19 C．若在屏蔽装置右侧条形区域内加一匀强磁场来隔离辐射，磁感应强度B＝0.332 T，方向垂直于纸面向里，整个装置放于真空环境中．(结果可带根号)
图10
(1)若所有的α粒子均不能从条形磁场隔离区的右侧穿出，则磁场的宽度d至少是多少？
(2)若条形磁场的宽度d＝20 cm，则射出屏蔽装置的α粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间各是多少？
答案 (1)(20＋10)×10－2 m
(2)×10－6 s ×10－6 s
解析 (1)由题意：AB＝9 cm，AD＝18 cm，可得∠BAO＝∠ODC＝45°
所有α粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，设为R，根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝
解得R＝0.2 m.
由题意及几何关系可知：若条形磁场区域的右边界与沿OD方向进入磁场的α粒子的圆周轨迹相切，则所有α粒子均不能从条形磁场隔离区右侧穿出，此时磁场的宽度最小，如图甲所示．
设此时磁场宽度d＝d0，由几何关系得
d0＝R＋Rcos 45°＝(0.2＋) m＝(20＋10)×10－2m，
则磁场的宽度至少为(20＋10)×10－2 m.
(2)设α粒子在磁场内做匀速圆周运动的周期为T，则T＝＝×10－6 s.
设速度方向垂直于AD进入磁场区域的α粒子的入射点为E，如图乙所示．
因磁场宽度d＝20 cm
若α粒子在磁场中做匀速圆周运动对应的圆弧轨迹的弦长最短，则α粒子在磁场中运动的时间最短．最短的弦长为磁场宽度d.轨迹如图乙所示，因R＝d，则最短的弦长对应的圆心角为60°，设在磁场中运动的最短时间为tmin，则tmin＝＝×10－6 s.
第2讲 磁场对运动电荷的作用
一、洛伦兹力的大小和方向
1．定义：磁场对运动电荷的作用力．
2．大小
(1)v∥B时，F＝0；
(2)v⊥B时，F＝qvB；
(3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin_θ.
3．方向
(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动方向或负电荷运动的反方向；
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v.即F垂直于B、v决定的平面．(注意B和v可以有任意夹角)
4．做功：洛伦兹力不做功．
自测1 带电荷量为＋q的不同粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是( )
A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同
B．如果把＋q改为－q，且速度反向、大小不变，则其所受洛伦兹力的大小、方向均不变
C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直
D．粒子在只受洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变
答案 B
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子以入射速度v做匀速直线运动．
2．若v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做匀速圆周运动．
3．基本公式
(1)向心力公式：qvB＝m；
(2)轨道半径公式：r＝；
(3)周期公式：T＝.
注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率无关．
自测2 (2018·广东省潮州市下学期综合测试)在探究射线性质的过程中，让质量为m1、带电荷量为2e的α粒子和质量为m2、带电荷量为e的β粒子，分别垂直于磁场方向射入同一匀强磁场中，发现两种粒子沿半径相同的圆轨道运动．则α粒子与β粒子的动能之比是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：qvB＝m，动能为：Ek＝mv2，联立可得：Ek＝，由题意知α粒子和β粒子
所带电荷量之比为2∶1，故α粒子和β粒子的动能之比为：＝＝，故D正确．
命题点一 对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷．
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用．
(4)洛伦兹力一定不做功．
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
3．洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场方向的关系
F⊥B，F⊥v
F∥E
做功情况
任何情况下都不做功
可能做功，也可能不做功
例1 (多选)(2018·福建省三明市上学期期末)如图1所示为一个质量为m、带电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中．现给圆环向右初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的v－t图象可能是下图中的( )
图1
答案 BC
解析 当qvB＝mg时，圆环做匀速直线运动，此时图象为B，故B正确；当qvB＞mg时，FN＝qvB－mg，此时：μFN＝ma，所以圆环做加速度逐渐减小的减速运动，直到qvB＝mg时，圆环开始做匀速运动，故C正确；当qvB＜mg时，FN＝mg－qvB，此时：μFN＝ma，所以圆环做加速度逐渐增大的减速运动，直至停止，所以其v－t图象的斜率应该逐渐增大，故A、D错误．
变式1 如图2所示，一轨道由两等长的光滑斜面AB和BC组成，两斜面在B处用一光滑小圆弧相连接，BA、BC关于竖直线BD对称且BD右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，B处可认为处在磁场中，P是BC的中点，一带电小球从A点由静止释放后能沿轨道来回运动，C点为小球在BD右侧运动的最高点，则下列说法正确的是( )
图2
A．C点与A点不在同一水平线上
B．小球向右或向左滑过B点时，对轨道压力相等
C．小球向上或向下滑过P点时，其所受洛伦兹力相同
D．小球从A到B的时间是从C到P时间的倍
答案 D
解析 小球在运动过程中受重力、洛伦兹力和轨道支持力作用，因洛伦兹力不做功，支持力始终与小球运动方向垂直，也不做功，即只有重力做功，满足机械能守恒，因此C点与A点等高，在同一水平线上，选项A错误；小球向右或向左滑过B点时速度等大反向，即洛伦兹力等大反向，小球对轨道的压力不等，选项B错误；同理小球向上或向下滑过P点时，洛伦兹力也等大反向，选项C错误；因洛伦兹力始终垂直于斜面，小球在AB段和BC段(设两斜面与水平面的夹角均为θ)的加速度均由重力沿斜面的分力产生，大小为gsin θ，由x＝at2得小球从A到B的时间是从C到P时间的倍，选项D正确．
变式2 如图3所示，一个带负电的物体从粗糙斜面顶端滑到底端时，速度为v.若加上一个垂直纸面向外的磁场，则滑到底端时( )
图3
A．v变大 B．v变小
C．v不变 D．不能确定v的变化
答案 B
解析 由于带负电的物体沿斜面下滑时受到垂直斜面向
下的洛伦兹力作用，故物体对斜面的正压力增大，斜面对物体的滑动摩擦力增大，物体克服摩擦力做功增大，所以物体滑到底端时v变小，B正确．
命题点二 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的直线过圆心
②弦的垂直平分线过圆心
③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
半径的确定
利用平面几何知识求半径
常用解三角形法：例：(左图)R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝
运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝T
②t＝
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α
模型1 直线边界磁场
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图4所示)
图4
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图b中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－)T＝(1－)＝
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
例2 如图5，直线OP上方分布着垂直纸面向里的匀强磁场，从粒子源O在纸面内沿不同的方向先后发射速率均为v的质子1和2，两个质子都过P点．已知OP＝a，质子1沿与OP成30°角的方向发射，不计质子的重力和质子间的相互作用力，则( )
图5
A．质子1在磁场中运动的半径为a
B．质子2在磁场中的运动周期为
C．质子1在磁场中的运动时间为
D．质子2在磁场中的运动时间为
答案 B
解析 根据题意作出质子运动轨迹如图所示：
由几何知识可知，质子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r＝a，故A错误；质子在磁场中做圆周运动的周期：T＝＝，故B正确；由几何知识可知，质子1在磁场中转过的圆心角：θ1＝60°，质子1在磁场中的运动时间：t1＝T＝T＝，故C错误；由几何知识可知，质子2在磁场中转过的圆心角：θ2＝300°，质子2在磁场中的运动时间：t2＝T＝，故D错误．
模型2 平行边界磁场
平行边界存在临界条件(如图6所示)
图6
图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝
图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
例3 (2018·重庆市上学期期末抽测)如图7所示，在0≤x≤3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在t＝0时刻，从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内．其中，沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场右边界上P(3a，a)点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
图7
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a
B．粒子的发射速度大小为
C．带电粒子的比荷为
D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0
答案 D
解析 根据题意作出沿y轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图所示，
圆心为O′，根据几何关系，可知粒子做圆周运动的半径为r＝2a，故A错误；沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为 ，运动时间t0＝，解得：v0＝，选项B错误；沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为，对应运动时间为t0，所以粒子运动的周期为T＝3t0，由Bqv0＝m2r，则＝，故C错误；在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图所示，
由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为，在磁场中的运动时间为2t0，故D正确．
变式3 (2018·河南省中原名校第四次模拟)如图8所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为q的带正电的粒子，粒子射入磁场的速度v＝，不计粒子的重力，则粒子能从PQ边界射出的区域长度为( )
图8
A．d B.d C.d D.d
答案 C
解析 粒子在磁场中运动的半径R＝＝d，粒子从PQ边射出的两个边界粒子的轨迹如图所示：
由几何关系可知，从PQ边射出粒子的区域长度为s＝2＝d，C项正确．
模型3 圆形边界磁场
沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图9所示)
图9
粒子做圆周运动的半径r＝
粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
θ＋α＝90°
例4 (2017·全国卷Ⅱ·18)如图10，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为( )
图10
A.∶2 B.∶1
C.∶1 D．3∶
答案 C
解析 设圆形磁场半径为R，若粒子射入的速率为v1，轨迹如图甲所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r1＝Rcos 60°＝R；若粒子射入的速率为v2，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r2＝Rcos 30°＝R；根据轨道半径公式r＝可知，v2∶v1＝r2∶r1＝∶1，故选项C正确．
甲 乙
变式4 (多选)(2018·广东省惠州市模拟)如图11所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场正对着圆心O射入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m，不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是( )
图11
A．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长
B．射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心O
C．射出磁场的粒子一定能垂直打在MN上
D．只要速度满足v＝，入射的粒子出射后一定垂直打在MN上
答案 BD
解析 速度不同的同种带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中轨道半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角θ越小，由
t＝T知，运动时间t越小，故A错误；带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，故B正确；速度不同，半径不同，轨迹对应的圆心角不同，对着圆心入射的粒子，出射后不一定垂直打在MN上，与粒子的速度有关，故C错误；速度满足v＝时，粒子的轨迹半径为r＝＝R，入射点、出射点、O点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与最高点的磁场半径垂直，粒子一定垂直打在MN板上，故D正确．
模型4 三角形边界磁场
例5 (多选)(2019·湖北省十堰市调研)如图12所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界为一边长为L的正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的三个顶点．今有一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以速度v＝从AB边上的某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC边上某点Q射出．若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则( )
图12
A．PB
答案 BD
解析 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示：
粒子在磁场中的运动轨迹半径为r＝，因此可得r＝L，当入射点为P1，圆心为O1，且此刻轨迹正好与BC相切时，PB取得最大值，若粒子从BC边射出，根据几何关系有PB
类型
分析
图例
带电粒子电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方向
不确定
在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解
如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态
不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解
运动具有
周期性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
例6 (2018·湖北省华中师大一附中模拟)如图13甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：
图13
(1)磁感应强度B0的大小．
(2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．
答案 (1) (2)(n＝1,2,3…)
解析 设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向．
(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0＝
做匀速圆周运动的周期T0＝
由以上两式得磁感应强度B0＝
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n个周期即nT0时，有R＝(n＝1,2,3…)．
联立求解，得正离子的速度的可能值为
v0＝＝(n＝1,2,3…)
变式5 (多选)(2018·河南省六市下学期第二次联考)如图14所示，直线MN与水平方向成θ＝30°角，MN的右上方区域存在磁感应强度大小为B、方向水平向外的匀强磁场，MN的左下方区域存在磁感应强度大小为2B、方向水平向里的匀强磁场，MN与两磁场均垂直．一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(粒子重力不计)，所有粒子均能通过MN上的b点．已知ab＝L，MN两侧磁场区域均足够大，则粒子的速率可能是( )
图14
A. B. C. D.
答案 BD
解析 粒子运动过程只受洛伦兹力作用，故在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，则在右上方磁场时有Bvq＝，则粒子在右上方磁场中做圆周运动的轨道半径R＝；同理，在左下方磁场中做圆周运动的半径为R′＝＝，作出运动轨迹，如图所示．由几何关系可知，所有圆心角均为60°，则图中所有三角形都为等边三角形，若粒子偏转偶数次到达b点，则有：L＝n＝n·，
解得：R＝，
故速度为v＝＝，
当n＝4时，v＝＝，故B正确；
若粒子偏转奇数次到达b点，则有：
L＝nR＋＝，
解得：R＝，
故速度为v＝＝ ，
当n＝1时，v＝＝，
故D正确．
1．下列说法正确的是( )
A．运动电荷在磁感应强度不为0的地方，一定受到洛伦兹力的作用
B．运动电荷在某处不受洛伦兹力的作用，则该处的磁感应强度一定为0
C．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度
D．洛伦兹力对带电粒子总不做功
答案 D
2.如图1为云室中某粒子穿过铅板P前后的轨迹．云室中匀强磁场的方向与轨迹所在平面垂直．由此可知粒子( )
图1
A．一定带正电
B．一定带负电
C．不带电
D．可能带正电，也可能带负电
答案 A
3.如图2所示，长直导线ab附近有一带正电荷的小球用绝缘丝线悬挂在M点．当ab中通以由b→a的恒定电流时，下列说法正确的是( )
图2
A．小球受磁场力作用，方向与导线垂直且垂直纸面向里
B．小球受磁场力作用，方向与导线垂直且垂直纸面向外
C．小球受磁场力作用，方向与导线垂直并指向左方
D．小球不受磁场力作用
答案 D
4.如图3所示，一正电荷水平向右射入蹄形磁铁的两磁极间．此时，该电荷所受洛伦兹力的方向是( )
图3
A．向左
B．向右
C．垂直纸面向里
D．垂直纸面向外
答案 D
5．(多选)(2019·安徽省芜湖市调研)如图4所示，虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度为B；一群电子以不同速率v从边界上的P点以相同的方向射入磁场．其中某一速率为v0的电子从Q点射出．已知电子入射方向与边界夹角为θ，则由以上条件可判断( )
图4
A．该匀强磁场的方向垂直纸面向里
B．所有电子在磁场中的轨迹相同
C．速率大于v0的电子在磁场中运动时间长
D．所有电子的速度方向都改变了2θ
答案 AD
解析 由左手定则可知，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A选项正确；由qvB＝得电子运动半径R＝，可知所有电子在磁场中的轨迹不相同，B选项错误；所有电子偏转角度相同，所有电子的速度方向都改变了2θ，D选项正确；由T＝得电子运动周期T＝，又t＝T＝T，所以所有电子在磁场中的运动时间都相同，C选项错误．
6．如图5所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B需满足( )
图5
A．B> B．B<
C．B> D．B<
答案 B
解析 若粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝＝a.由qvB＝得r＝，粒子要能从AC边射出，粒子运动的半径应满足r>r0，解得B<，选项B正确．
7．(2016·全国卷Ⅱ·18)一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图6所示．图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角．当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )
图6
A. B. C. D.
答案 A
解析 画出粒子的运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力得，qvB＝m，又T＝，联立得T＝
由几何知识可得，轨迹的圆心角为θ＝，粒子在磁场中运动时间t＝T，粒子运动和圆筒运动具有等时性，则T＝，解得＝，故选项A正确．
8．(2018·河北省承德市联校期末)如图7所示，OM的左侧存在范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，OM左侧到OM距离为L的P处有一个粒子源，可沿纸面向各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，速率均为v＝，则粒子在磁场中运动的最短时间为( )
图7
A. B. C. D.
答案 B
解析 粒子进入磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有：qvB＝m，将题设的v值代入得：r＝L，粒子在磁场中运动的时间最短，则粒子运动轨迹对应的弦最短，最短弦为L，等于圆周运动的半径，根据几何关系，粒子转过的圆心角为60°，运动时间为，故tmin＝＝×＝，故B正确，A、C、D错误．
9．(多选)如图8所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的粗糙细杆上自由滑动，细杆处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，圆环以初速度v0向右运动直至处于平衡状态，则圆环克服摩擦力做的功可能为( )
图8
A．0 B.mv
C. D.m(v－)
答案 ABD
解析 若圆环所受洛伦兹力等于重力，圆环对粗糙细杆压力为零，摩擦力为零，圆环克服摩擦力做的功为零，选项A正确；若圆环所受洛伦兹力不等于重力，圆环对粗糙细杆压力不为零，摩擦力不为零，若开始圆环所受洛伦兹力小于重力，则圆环一直减速到速度为零，由动能定理可得圆环克服摩擦力做的功为mv，选项B正确；若开始圆环所受洛伦兹力大于重力，则减速到洛伦兹力等于重力时圆环达到稳定，稳定速度v＝，由动能定理可得圆环克服摩擦力做的功为W＝mv－mv2＝m(v－)，选项C错误，D正确．
10.在以坐标原点为中心、边长为L的正方形EFGH区域内，存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图9所示．在A处有一个粒子源，可以连续不断的沿－x方向射入速度不同的带电粒子，且都能从磁场的上边界射出．已知粒子的质量为m，电荷量大小为q，重力不计，不考虑粒子间的相互作用．
图9
(1)试判断粒子的电性；
(2)求从F点射出的粒子在磁场中运动的时间；
(3)若粒子以速度v＝射入磁场，求粒子由EF边射出时的位置坐标．
答案 (1)粒子带负电 (2)
(3)(－L，)
解析 (1)由左手定则可知粒子带负电．
(2)粒子由F点射出时，运动方向水平向右，其在磁场中运动轨迹为半圆，则运动时间为：
t＝＝
(3)由牛顿第二定律qvB＝m
解得r＝＝L
则粒子从C点射出，运动轨迹如图所示
由几何关系得OA＝O′F＝AF＝，CF＝L
则粒子从EF边射出时的位置坐标为(－L，)
11.如图10所示，在屏蔽装置底部中心位置O点放一医用放射源，可通过细缝沿扇形区域向外辐射速率为v＝3.2×106 m/s的α粒子．已知屏蔽装置宽AB＝9 cm，缝长AD＝18 cm，α粒子的质量m＝6.64×10－27 kg，电荷量q＝3.2×10－19 C．若在屏蔽装置右侧条形区域内加一匀强磁场来隔离辐射，磁感应强度B＝0.332 T，方向垂直于纸面向里，整个装置放于真空环境中．(结果可带根号)
图10
(1)若所有的α粒子均不能从条形磁场隔离区的右侧穿出，则磁场的宽度d至少是多少？
(2)若条形磁场的宽度d＝20 cm，则射出屏蔽装置的α粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间各是多少？
答案 (1)(20＋10)×10－2 m
(2)×10－6 s ×10－6 s
解析 (1)由题意：AB＝9 cm，AD＝18 cm，可得∠BAO＝∠ODC＝45°
所有α粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，设为R，根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝
解得R＝0.2 m.
由题意及几何关系可知：若条形磁场区域的右边界与沿OD方向进入磁场的α粒子的圆周轨迹相切，则所有α粒子均不能从条形磁场隔离区右侧穿出，此时磁场的宽度最小，如图甲所示．
设此时磁场宽度d＝d0，由几何关系得
d0＝R＋Rcos 45°＝(0.2＋) m＝(20＋10)×10－2m，
则磁场的宽度至少为(20＋10)×10－2 m.
(2)设α粒子在磁场内做匀速圆周运动的周期为T，则T＝＝×10－6 s.
设速度方向垂直于AD进入磁场区域的α粒子的入射点为E，如图乙所示．
因磁场宽度d＝20 cm
若α粒子在磁场中做匀速圆周运动对应的圆弧轨迹的弦长最短，则α粒子在磁场中运动的时间最短．最短的弦长为磁场宽度d.轨迹如图乙所示，因R＝d，则最短的弦长对应的圆心角为60°，设在磁场中运动的最短时间为tmin，则tmin＝＝×10－6 s.
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