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2020版物理浙江高考选考一轮复习讲义：选修3-1第六章第2讲电场的能的性质
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第2讲 电场的能的性质
知识排查
电势能、电势
1.电势能
(1)电场力做功的特点：
电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关。
(2)电势能
①定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。
②电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
2.电势
(1)定义：试探电荷在电场中某点具有的电势能Ep与它的电荷量q的比值。
(2)定义式：φ＝。
(3)矢标性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。
3.等势面
(1)定义：电场中电势相等的各点组成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与电场线垂直。
②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
电势差
1.定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做功与移动电荷的电荷量的比值。
2.定义式：UAB＝。
3.电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。
匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.电势差与电场强度的关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积。即U＝Ed，也可以写作E＝。
2.公式U＝Ed的适用范围：匀强电场。
小题速练
1.思考判断
(1)电势为零的物体一定不带电( )
(2)电场强度为零的点，电势一定为零( )
(3)A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA( )
(4)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低( )
(5)电势是矢量，既有大小也有方向( )
(6)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向( )
(7)电场力做功与路径无关( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)√
2.[人教版选修3－1·P22·T3改编]如图1所示，下列说法正确的是( )
图1
A.φA>φB
B.负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
C.负电荷由B移动到A时静电力做正功
D.UAB>0
答案 B
3.某电场的电场线分布如图2所示，以下说法正确的是( )
图2
A.a点电势低于b点电势
B.c点场强大于b点场强
C.若将一检验电荷＋q由a点移至b点，它的电势能增大
D.若在d点再固定一点电荷－Q，将一检验电荷＋q由a移至b的过程中，电势能减小
解析 沿着电场线的方向电势逐渐降低，由题图可知由a到b电势降低，故选项A错误；电场线密集的地方电场强度大，故选项B错误；电荷＋q由a点移至b点，则电场力做正功，其电势能将减小，故选项C错误；若在d点再固定一点电荷－Q，则由合场强的方向可知电荷＋q由a移至b的过程中，电场力将做正功，其电势能将减小，故选项D正确。
答案 D
判断电场力做功与电势能的大小
1.静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做功的特点：静电力做功与电荷的初、末位置有关，与电荷运动的路径无关。
(2)静电力做的功与电势能变化的关系：静电力做的功，等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功。
2.判断电场力做功的正负
(1)根据电场力与速度夹角：夹角是锐角，电场力做正功。夹角是钝角，电场力做负功。
(2)根据WAB＝qUAB：由q和UAB的正负，判断WAB的正负。
3.电势能大小的判断方法
(1)做功判断法：无论正、负电荷，只要静电力做正功，电荷的电势能一定减小；只要静电力做负功，电荷的电势能一定增大。
(2)电场线判断法：正电荷顺着电场线的方向移动时电势能逐渐减小，逆着电场线的方向移动时电势能逐渐增大；负电荷顺着电场线的方向移动时电势能逐渐增大，逆着电场线的方向移动时电势能逐渐减小。
(3)电势判断法：由公式Ep＝qφ知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小。
4.电势高低的判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向，电势越来越低。
(2)场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低。
(3)电势能判断法：对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高。
(4)根据UAB＝：判断UAB正负，确立φA和φB高低。
1.(2018·11月浙江选考)等量异种电荷的电场线如图3所示，下列表述正确的是( )
图3
A.a点的电势低于b点的电势
B.a点的场强大于b点的场强，方向相同
C.将一负电荷从a点移到b点电场力做负功
D.负电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
解析 沿电场线方向电势降低，a点的电势高于b点的电势，选项A错误；电场线的疏密表示电场强弱，故a点的场强大于b点的场强；电场线在某一点的切线方向为该点的场强方向，故a、b两点的场强方向不同，选项B错误；把一负电荷从a点移到b点电场力做负功，电势能增大，选项C正确，D错误。
答案 C
2.(2018·河南六市联考)在真空中A、B两点分别放有异种点电荷－Q和＋2Q，以A、B连线中点O为圆心作一圆形路径acbd，如图4所示，则下列说法正确的是( )
图4
A.场强大小关系有Ea＝Eb、Ec＝Ed
B.电势高低关系有φa>φb、φc>φd
C.将一负点电荷沿圆弧由a运动到b的过程中电场力做正功
D.将一正点电荷沿直线由c运动到d的过程中电势能始终不变
解析 对比等量异种点电荷的电场分布可知，题图中场强大小关系有Eb>Ea，Ec＝Ed，选项A错误；因沿着电场线方向电势逐渐降低可知，φa<φb，再由对称性可知φc＝φd，选项B错误；由于a点电势低于b点电势，将负点电荷由a沿圆弧运动到b，电场力做正功，选项C正确；因沿直线由c到d过程中电势先升高再降低，所以将一正点电荷沿直线由c运动到d的过程中电势能先增大再减小，选项D错误。
答案 C
3.(2018·浙江金华十校期末)雾霾的一个重要来源是工业烟尘。为了改善空气环境，某热电厂引进了一套静电除尘系统。它主要由机械过滤网，放电极和互相平行的集尘极三部分构成。如图5为简化的工作原理图，其中集尘极带正电，实线为电场线。假设虚线为某带负电烟尘颗粒(不计重力)在除尘器装置中的运动轨迹，A、B是轨迹中的两点，烟尘颗粒在A点的速度小于B点的速度。下列说法正确的是( )
图5
A.A点电势高于B点电势
B.A点的场强大于B点的场强
C. 该烟尘颗粒在B点的电势能大于在A点的电势能
D. 该烟尘颗粒在除尘装置中的运动是匀变速曲线运动
解析 由沿电场线方向电势降低可知，A点电势低于B点电势，故A错误；由图可知，A点电场线比B点密集，因此A点的场强大于B点场强，故B正确；烟尘颗粒带负电，A点电势低于B点电势，则烟尘颗粒在A点的电势能大于在B点的电势能，故C错误；该烟尘颗粒在除尘装置中运动时，受电场力是变化的，加速度是变化的，则其运动是非匀变速曲线运动，故D错误。
答案 B
电场中的功能关系 电势差
1.电场力做功特点：电场力做功与运动路径无关，只与始末位置有关。
2.电场力做功的计算方法
(1)W＝Eqd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场线方向的距离。
(2)WAB＝qUAB，适用于任何电场。
(3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk。
(4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB。
3.电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力、系统内弹簧弹力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。
(4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
【典例】 如图6所示，在O点处固定一个正电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q。小球下落的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆(图中实线表示)相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距离OC的竖直高度为h。若小球通过B点时的速度为v，试求：
图6
(1)小球通过C点时的速度大小；
(2)小球由A到C的过程中电场力做的功。
解析 (1)因B、C两点电势相等，小球由B到C只有重力做功，由动能定理有mgR·sin 30°＝mv－mv2
得vC＝。
(2)由A到C应用动能定理有WAC＋mgh＝mv－0
解得WAC＝mv－mgh＝mv2＋mgR－mgh。
答案 (1) (2)mv2＋mgR－mgh
1.如图7所示，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ。一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，静电力所做的负功相等。则( )
图7
A.直线a位于某一等势面内，φM＞φQ
B.直线c位于某一等势面内，φM＞φN
C.若电子由M点运动到Q点，电场力做正功
D.若电子由P点运动到Q点，电场力做负功
解析 由电子从M点分别运动到N点和P点的过程中静电力所做的负功相等可知，N、P两点在同一等势面上，且电场线方向为M→N，故选项B正确，选项A错误；M点与Q点在同一等势面上，电子由M点运动到Q点，静电力不做功，故选项C错误；电子由P点运动到Q点，静电力做正功，故选项D错误。
答案 B
2.一电子飞经电场中A、B两点，电子在A点的电势能为4.8×10－17 J，电子经过B点时电势能为3.2×10－17 J，电子在A点的动能为3.2×10－17 J，如果电子只受静电力作用，则( )
A.电子在B点时动能为4.8×10－17 J
B.由A到B静电力做功为1 000 eV
C.电子在B点时动能为1.6×10－17 J
D.A、B两点间电势差为100 V
解析 电子由A点到B点电势能减少1.6×10－17 J，即静电力做正功WAB＝1.6×10－17 J＝100 eV，由动能定理得EkB＝WAB＋EkA＝4.8×10－17 J，即选项A正确，B、C错误；由公式UAB＝得UAB＝ V＝－100 V，故选项D错误。
答案 A
3.如图8所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：
图8
(1)小球应带何种电荷及其电荷量；
(2)小球受到的合外力；
(3)在入射方向上小球运动的最大位移xm。(电场足够大)
解析 (1)作电场线如图(a)所示。由题意知，小球只有受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图(b)所示。只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动。
由图(b)知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，
所以E＝，
所以q＝＝。
(2)由图(b)知，F合＝＝mg。
(3)由动能定理得－F合xm＝0－mv
所以xm＝＝
答案 (1)正电荷 (2)mg (3)
电势差与电场强度的关系 静电现象的应用
1.电势差与电场强度关系
(1)表达式U＝Ed适用于匀强电场中的定量计算，且d是沿场强方向上的距离；电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
(2)两个结论
结论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势
φC＝，如图9甲所示。
图9
结论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示。
2.静电现象应用
(1)两种现象
现象1：由于静电感应，导体外表面感应电荷的电场与外电场在导体内部任一点的场强的叠加结果为零，从而外部电场影响不到导体内部，如图10甲所示。
图10
现象2：由于静电感应，接地导体壳内表面感应电荷产生的电场与壳内电场在导体壳外表面以外空间叠加结果为零，从而使接地的封闭导体壳内部电场对壳外空间没有影响，如图10乙所示。
(2)应用：有的电学仪器和电子设备外面套有金属罩，有的通信电缆的外面包有一层铅皮等都是用来防止外电场的干扰，起屏蔽作用的。
【典例】 如图11所示，a、b、c为电场中同一条电场线上的三点，其中c为ab的中点。已知a、b两点的电势分别为φa＝3 V，φb＝9 V，则下列叙述正确的是( )
图11
A.该电场在c点处的电势一定为6 V
B.a点处的场强Ea一定小于b点处的场强Eb
C.正电荷从a点运动到b点的过程中电势能一定增大
D.正电荷只受电场力作用从a点运动到b点的过程中动能一定增大
解析 本题中电场线只有一条，又没说明是哪种电场的电场线，因此电势降落及场强大小情况都不能确定，A、B错误；a、b两点电势已知，正电荷从a到b是从低电势向高电势运动，电场力做负功，动能减小，电势能增大，C正确，D错误。
答案 C
1.请用学过的电学知识判断下列说法正确的是( )
A.电工穿绝缘衣比穿金属衣安全
B.制作汽油桶的材料用金属比用塑料好
C.小鸟停在单根高压输电线上会被电死
D.打雷时，呆在汽车里比呆在木屋里要危险
解析 由静电屏蔽的知识可知，选项A、D错误；金属可以导走多余的静电，选项B正确；单根高压输电线上相距较近的两点之间电阻很小，因而电压较小，小鸟不会被电死，选项C错误。
答案 B
2.为了防止静电的危害，应尽快把静电导走，下列措施中不是为了防止静电危害的是( )
A.油罐车后面装一条拖地铁链
B.电工钳柄上有一绝缘胶套
C.飞机轮采用导电橡胶
D.印染厂车间保持相当的湿度
解析 A、C、D项的做法都是为了防止静电的危害，只有B项不是静电的问题，而是防止触电的防护措施。
答案 B
3.a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势依次为10 V、2 V、6 V；三点在同一平面上，下列图中电场强度的方向表示正确的是( )
解析 由于Uab＝φa－φb＝8 V，则ab中点处电势为6 V，因此c点与ab中点的电势相同，c点与ab中点的连线则为一条等势线，电场强度方向应垂直于该等势线并且指向电势较低的方向，故选项C正确。
答案 C
4.如图12所示，匀强电场的电场强度E＝100 V/m，A、B两点相距LAB＝10 cm，A、B连线与电场线的夹角为60°，则UBA为( )
图12
A.－10 V B.10 V
C.－5 V D.－3 V
解析 根据电势差与电场强度的关系U＝Ed得UAB＝ELABcos 60°＝100×0.1×cos 60° V＝5 V，且沿电场线方向电势逐渐降低，φA>φB，故UBA＝－5 V，选项C正确。
答案 C
科学思维——电场中的四类图象
类型一 v－t图象
1.描述带电粒子在电场中运动的速度随时间的变化规律。
2.根据速度大小的变化判断电场力对粒子做功正负、电势能变化情况等。
3.根据图线斜率表示加速度，进一步比较电场强度的大小。
【例1】 (2018·4月浙江选考)一带电粒子仅在电场力作用下从A点开始以－v0做直线运动，其v－t图象如图13所示。粒子在t0时刻运动到B点，3t0时刻运动到C点，下列判断正确的是( )
图13
A.A、B、C三点的电势关系为φB>φA>φC
B.A、B、C三点的场强大小关系为EC>EB>EA
C.粒子从A点经B点运动到C点，电势能先增加后减少
D.粒子从A点经B点运动到C点，电场力先做正功后做负功
解析 由题图v－t图象知道带电粒子在0～t0时间内做减速运动，电场力做负功，电势能增大；在t0～3t0时间内反方向加速运动，电场力做正功，电势能减小，选项C正确，D错误；因为不知道带电粒子电性，本题中无法判断电势的高低，选项A错误；图象中斜率表示带电粒子的加速度，Eq＝ma，可知A、B、C三点中EB最大，选项B错误。
答案 C
类型二 φ－x图象
1.描述电势随位移变化的规律。
2.根据电势的高低可以判断电场强度的方向。
3.根据E＝，图象φ－x的斜率为电场强度。
【例2】 在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图14所示。下列说法正确的有( )
图14
A.q1和q2带有同种电荷
B.x1处的电场强度为零
C.负电荷从x1移到x2，电势能减小
D.负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
解析 由x1处电势为零可知，两点电荷q1和q2带有异种电荷，选项A错误；在φ－x图象中，图象切线的斜率表示电场强度，则x1处的电场强度不为零，选项B错误；且有x1到x2电场强度逐渐减小，负电荷受到的电场力逐渐减小，选项D错误；由Ep＝φq可知，负电荷在电势高处的电势能小，负电荷从x1移到x2，电势能减小，选项C正确。
答案 C
类型三 E－x图象
1.描述电场强度随位移变化的规律。
2.场强E正负表示场强的方向。
3.图线与x轴围成的“面积”表示电势差。
【例3】 静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图15所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷( )
图15
A.在x2和x4处电势能相等
B.由x1运动到x3的过程中电势能增大
C.由x1运动到x4的过程中电场强度先减小后增大
D.由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
解析 由题图可知，x1到x4场强先变大，再变小，则点电荷受到的电场力先增大后减小，C、D错误；由x1到x3及由x2到x4过程中，电场力做负功，电势能增大，知A错误，B正确。
答案 B
类型四 Ep－x图象
1.描述电势能随位移变化的规律。
2.根据电势能的变化可以判断电场力做功的正、负。
3.根据W＝－ΔEp＝Fx，图象Ep－x的斜率绝对值表示电场力的大小。
【例4】 一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动。取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位移x的关系如图16所示。下列图象中合理的是( )
图16
解析 在粒子运动中的某一小段位移Δx内，电场力做功qEΔx。由功能关系知ΔEp＝－qEΔx，即＝－qE，Ep－x 图线斜率的绝对值表示电场力的大小，故由图线可知E逐渐减小，A错误；因粒子仅受电场力作用，由qE＝ma可知a也逐渐减小，D正确；再由动能定理有ΔEk＝qEΔx，即＝qE，Ek－x图线的斜率表示电场力，则Ek－x图线应是一条斜率逐渐减小的曲线，B错误；由于电场力不是恒力，带电粒子做加速度逐渐减小的加速运动，所以相等的位移内，速度增加量逐渐减小，v－x图线应为曲线，故C错误。
答案 D
活页作业
(时间：30分钟)
A组 基础过关
1.(2018·3月浙江余高模拟)如图1所示，两个不带电的导体A和B，用一对绝缘柱支持使它们彼此接触。把一用丝绸摩擦过的玻璃棒C靠近A，贴在A、B下部的金属箔都张开( )
图1
A.此时A带正电，B带负电
B.此时A电势低，B电势高
C.移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
D.先把A和B分开，然后移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
解析 物体C靠近A附近时，由于静电感应，A端带上负电，B端带上正电，故A错误；此时A、B为等势体，两端电势相等，故B错误；移去C后，由于电荷间相互作用，重新中和，达电中性状态，两金属箔均闭合，故C正确；先把A、B分开，则A带负电，B带正电，移去C后，电荷不能再进行中和，故两金属箔仍然张开，故D错误。
答案 C
2.如图2所示为电场中的一条电场线，在这条直线上有a、b两点，用Ea、Eb表示a、b两处的场强大小，则( )
图2
A.因为电场线从a指向b，所以Ea＞Eb
B.因为电场线从a指向b，所以b点的电势比a点电势低
C.因为电场线是直线，所以Ea＝Eb
D.在a点由静止释放一正的点电荷，电荷将做匀加速直线运动
解析 一根电场线无法确定其疏密情况，也就无法判断电场强弱的问题和静电力大小，选项A、C、D均错误；而沿着电场线方向电势逐渐降低，选项B正确。
答案 B
3.电场中有A、B两点，A点的电势φA＝30 V，B点的电势φB＝10 V，一个电子由B点运动到A点的过程中，下列几种说法中正确的是( )
A.静电力对电子做功20 eV，电子的电势能减少了20 eV
B.电子克服静电力做功20 eV，电子的电势能增加了20 eV
C.静电力对电子做功20 eV，电子的电势能增加了20 eV
D.电子克服静电力做功20 eV，电子的电势能减少了20 eV
解析 UAB＝φA－φB＝20 V，根据WAB＝qUAB得电子从A到B静电力做负功－20eV，即电子从B到A静电力做正功20 eV，电势能减少20 eV，选项A正确。
答案 A
4.如图3所示，匀强电场的场强E＝30 000 V/m，A、B两点相距0.2 m，两点连线与电场的夹角是60°，下列说法正确的是( )
图3
A.A、B两点间的电势差是U＝1 500 V
B.若取A点的电势φA＝0，则B点的电势φB＝－3 000 V
C.电荷量q＝＋2×10－4 C的电荷从A点运动到B点电势能增加0.6 J
D.电荷量q＝－2×10－4 C的电荷从A点运动到B点电场力做功为0.6 J
解析 q＝2×10－4 C的电荷由A到B电场力做功W＝qEABcos α＝0.6 J，故电势能减少0.6 J，C、D错误；UAB＝＝ V＝3 000 V，A错误；由UAB＝φA－φB得φB＝φA－UAB＝－3 000 V，B正确。
答案 B
5.如图4所示，在点电荷Q产生的电场中，将两个带正电的试探电荷q1、q2分别置于A、B两点，虚线为等势线。取无穷远处为零电势点，若将q1、q2移动到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等，则下列说法正确的是( )
图4
A.A点电势高于B点电势
B.A、B两点的电场强度相等
C.q1的电荷量小于q2的电荷量
D.q1在A点的电势能小于q2在B点的电势能
解析 由题意知点电荷Q带负电，所以有φA＜φB＜0，得|UA∞|＞|UB∞|，移动两试探电荷克服电场力做功相等，有q1|UA∞|＝q2|UB∞|，所以q1＜q2，A错误，C正确；由E＝k，A点比B点离Q近，所以EA＞EB，B错误；根据电场力做功与电势能变化的关系，q1在A点的电势能等于q2在B点的电势能，D错误。
答案 C
6.如图5所示，虚线a、b、c表示电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，实线为一个带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列说法正确的是( )
图5
A.三个等势面中，等势面a的电势最高
B.带电质点一定是从P点向Q点运动
C.带电质点通过P点时的动能比通过Q点时的小
D.带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时的小
解析 电场线和等势面垂直，可以根据等势面来画出某处的电场线。又质点做曲线运动所受电场力的方向指向曲线的凹侧，由此可以判断出电场线的方向大致是从c指向a，而沿着电场线的方向电势逐渐降低，a、b、c三个等势面的电势关系为φc>φb>φa，故选项A错误；无法从质点的受力情况来判断其运动方向，选项B错误；质点在P点的电势能大于在Q点的电势能，而电势能和动能的总和不变，所以，质点在P点的动能小于在Q点的动能，选项C正确；P点的等势面比Q点的等势面密，故场强较大，质点受到的电场力较大，加速度较大，选项D错误。
答案 C
7.(2018·浙江宁波选考适应性考试)如图6所示，电荷量大小相等的两个点电荷Q1和Q2，两者连线及中垂线上分别有A点和B点，则下列说法正确的是( )
图6
A.若两者是同种电荷，则A点的电势一定高于B点的电势
B.若两者是同种电荷，则A点的场强一定大于B点的场强
C.若两者是异种电荷，则A点的电势一定高于B点的电势
D.若两者是异种电荷，则A点的场强一定大于B点的场强
解析 设两个点电荷Q1和Q2连线的中点为O。若两电荷是同种电荷，且都是正电荷，则A点的电势高于O点电势，O点电势高于B点电势，则A点的电势高于B点的电势。若两个点电荷都带负电，则A点的电势低于B点的电势，A错误；若两者是同种电荷，B点处电场线分布情况不能确定，所以不能确定两点场强的大小，B错误；若两者是异种电荷，且Q1为正电荷，则A点的电势高于B点的电势。若Q1为负电荷，则A点的电势低于B点的电势，C错误；若两者是异种电荷，A处电场线比B处电场线密，则A点的场强一定大于B点的场强，D正确。
答案 D
B组 能力提升
8.如图7所示，a、b、c三条虚线为电场中的等势面，等势面b的电势为零，且相邻两个等势面间的电势差相等，一个带正电的粒子在A点时的动能为10 J，在电场力作用下从A点运动到B点时速度为零，当这个粒子的动能为6 J时，其电势能为( )
图7
A.14 J B.4 J C.0 D.－1 J
解析 相邻两个等势面间的电势差相等Uab＝Ubc，所以qUab＝qUbc，即Wab＝Wbc＝WAB
而WAB＝0－EkA＝－10 J
所以，粒子在等势面b上时的动能Ekb＝5 J
从而可以知道粒子在电场中的总能量值为5 J。
当这个粒子的动能为6 J时，Ep＝E－Ek＝(5－6) J＝－1 J。
所以选项A、B、C都错误，D正确。
答案 D
9.(2016·慈溪中学期中)A、B为一电场中x轴上的两点，如图8甲所示。一电子仅在电场力作用下沿x轴运动，该电子的动能Ek随其坐标变化的关系如图乙所示，则下列说法正确的是( )
图8
A.该电场可能是点电荷形成的电场
B.A、B两点电场强度大小关系为EA
D.电子在A、B两点的电势能大小关系为EPA
答案 C
10.(2018·石家庄模拟)如图9所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴。理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化关系如图乙所示，则( )
图9
A.x2处场强大小为
B.球内部的电场为匀强电场
C.x1、x2两点处的电势相同
D.假设将试探电荷沿x轴移动，则从x1移到R处和从R移到x2处电场力做功相同
解析 计算x2处的电场强度时，可把带电球体等效为位于原点的点电荷，则有x2处场强大小为E＝k，故选项A正确；由乙图E－x图象可知，球内部由O到球表面区间电场强度均匀增大，所以内部电场为非匀强电场，故选项B错误；x轴上O点右侧的电场方向始终是向右的，沿着电场的方向电势逐渐降低，可知φx1>φx2，故选项C错误；E－x 图象与x轴所围面积表示电势差，由乙图可知两处面积不相等，所以x1处与球表面、球表面与x2处的电势差不同，则将试探电荷沿x轴从x1移到R处和从R移到x2处电场力做功不相同，故选项D错误。
答案 A
11.一带正电的检验电荷，仅在电场力作用下沿x轴从x＝－∞向x＝＋∞运动，其速度v随位置x变化的图象如图10所示，x＝x1和x＝－x1处，图线切线的斜率绝对值相等且最大，则在x轴上( )
图10
A.x＝x1和x＝－x1两处，电场强度相同
B.x＝x1和x＝－x1两处，电场强度最大
C.x＝0处电势最低
D.从x＝x1运动到x＝＋∞过程中，电荷的电势能逐渐增大
解析 正检验电荷仅在电场力作用下沿x轴从x＝－∞向x＝＋∞运动，速度先减小后增大，所受的电场力先沿－x轴方向，后沿＋x轴方向，电场线方向先沿－x轴方向，后沿＋x轴方向，则知x＝x1和x＝－x1两处，电场强度的方向相反，电场强度不同，故A错误；由v－t图象的斜率决定电场强度的大小，x＝x1和x＝－x1两处斜率最大，则电场强度最大，故B正确；由上知，电场线方向先沿－x轴方向，后沿＋x轴方向，根据顺着电场线方向电势降低可知，电势先升高后降低，则x＝0处电势最高，故C错误；从x＝x1运动到x＝＋∞过程中，电场力沿＋x轴方向，则电场力做正功，电荷的电势能逐渐减小，故D错误。
答案 B
12.如图11所示的匀强电场中，有a、b、c三点，ab间距离Lab＝8 cm，bc间距离Lbc＝14 cm，其中ab沿电场方向，bc和电场方向成60°角。一个电荷量q＝－4×10－8 C的负电荷从a点移到b点克服静电力做功1.2×10－6 J。求：
图11
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)电荷从b点移到c点，静电力所做的功；
(3)a、c两点间的电势差。
解析 (1)根据Wab＝qUab，且Wab＝－1.2×10－6 J，电荷为q＝－4×10－8 C，所以Uab＝ V＝30 V。根据E＝可知E＝V/m＝375 V/m。
(2)Wbc＝qUbc＝q·E·Lbc·cos 60°
＝－4×10－8×375×0.14×cos 60°J＝－1.05×10－6 J。
(3)Uac＝Ed＝375×(0.08＋0.14×cos 60°) V＝56.25 V。
答案 (1)375 V/m (2)－1.05×10－6 J (3)56.25 V
13.如图12所示，平行金属带电极板A、B间可看作匀强电场，场强E＝1.2×103 V/m，极板间距离d＝5 cm，电场中C和D分别到A、B两板的距离均为0.5 cm，B极板接地，求：
图12
(1)C、D两点的电势和两点间的电势差；
(2)点电荷q1＝－2×10－3 C分别在C和D两点的电势能；
(3)将点电荷q2＝2×10－3 C从C匀速移到D时外力所做的功。
解析 (1)由E＝得UBC＝EdBC＝1.2×103×4.5×10－2 V＝54 V
又因φB＝0及UBC＝φB－φC，所以φC＝－54 V，同理可得φD＝－6 V
所以UCD＝φC－φD＝－48 V。
(2)由Ep＝qφ得
EpC＝q1φC＝－2×10－3×(－54) J＝0.108 J
EpD＝q1φD＝－2×10－3×(－6) J＝0.012 J。
(3)把q2由C匀速移到D，电场力做负功，由于匀速移动，外力做功与电场力做功大小相等。W外＝－W电＝－q2UCD＝－2×10－3×(－48) J＝0.096 J。
答案 (1)－54 V －6 V －48 V (2)0.108 J 0.012 J (3)0.096 J
知识排查
电势能、电势
1.电势能
(1)电场力做功的特点：
电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关。
(2)电势能
①定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。
②电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
2.电势
(1)定义：试探电荷在电场中某点具有的电势能Ep与它的电荷量q的比值。
(2)定义式：φ＝。
(3)矢标性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。
3.等势面
(1)定义：电场中电势相等的各点组成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与电场线垂直。
②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
电势差
1.定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做功与移动电荷的电荷量的比值。
2.定义式：UAB＝。
3.电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。
匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.电势差与电场强度的关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积。即U＝Ed，也可以写作E＝。
2.公式U＝Ed的适用范围：匀强电场。
小题速练
1.思考判断
(1)电势为零的物体一定不带电( )
(2)电场强度为零的点，电势一定为零( )
(3)A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA( )
(4)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低( )
(5)电势是矢量，既有大小也有方向( )
(6)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向( )
(7)电场力做功与路径无关( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)√
2.[人教版选修3－1·P22·T3改编]如图1所示，下列说法正确的是( )
图1
A.φA>φB
B.负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
C.负电荷由B移动到A时静电力做正功
D.UAB>0
答案 B
3.某电场的电场线分布如图2所示，以下说法正确的是( )
图2
A.a点电势低于b点电势
B.c点场强大于b点场强
C.若将一检验电荷＋q由a点移至b点，它的电势能增大
D.若在d点再固定一点电荷－Q，将一检验电荷＋q由a移至b的过程中，电势能减小
解析 沿着电场线的方向电势逐渐降低，由题图可知由a到b电势降低，故选项A错误；电场线密集的地方电场强度大，故选项B错误；电荷＋q由a点移至b点，则电场力做正功，其电势能将减小，故选项C错误；若在d点再固定一点电荷－Q，则由合场强的方向可知电荷＋q由a移至b的过程中，电场力将做正功，其电势能将减小，故选项D正确。
答案 D
判断电场力做功与电势能的大小
1.静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做功的特点：静电力做功与电荷的初、末位置有关，与电荷运动的路径无关。
(2)静电力做的功与电势能变化的关系：静电力做的功，等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功。
2.判断电场力做功的正负
(1)根据电场力与速度夹角：夹角是锐角，电场力做正功。夹角是钝角，电场力做负功。
(2)根据WAB＝qUAB：由q和UAB的正负，判断WAB的正负。
3.电势能大小的判断方法
(1)做功判断法：无论正、负电荷，只要静电力做正功，电荷的电势能一定减小；只要静电力做负功，电荷的电势能一定增大。
(2)电场线判断法：正电荷顺着电场线的方向移动时电势能逐渐减小，逆着电场线的方向移动时电势能逐渐增大；负电荷顺着电场线的方向移动时电势能逐渐增大，逆着电场线的方向移动时电势能逐渐减小。
(3)电势判断法：由公式Ep＝qφ知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小。
4.电势高低的判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向，电势越来越低。
(2)场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低。
(3)电势能判断法：对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高。
(4)根据UAB＝：判断UAB正负，确立φA和φB高低。
1.(2018·11月浙江选考)等量异种电荷的电场线如图3所示，下列表述正确的是( )
图3
A.a点的电势低于b点的电势
B.a点的场强大于b点的场强，方向相同
C.将一负电荷从a点移到b点电场力做负功
D.负电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
解析 沿电场线方向电势降低，a点的电势高于b点的电势，选项A错误；电场线的疏密表示电场强弱，故a点的场强大于b点的场强；电场线在某一点的切线方向为该点的场强方向，故a、b两点的场强方向不同，选项B错误；把一负电荷从a点移到b点电场力做负功，电势能增大，选项C正确，D错误。
答案 C
2.(2018·河南六市联考)在真空中A、B两点分别放有异种点电荷－Q和＋2Q，以A、B连线中点O为圆心作一圆形路径acbd，如图4所示，则下列说法正确的是( )
图4
A.场强大小关系有Ea＝Eb、Ec＝Ed
B.电势高低关系有φa>φb、φc>φd
C.将一负点电荷沿圆弧由a运动到b的过程中电场力做正功
D.将一正点电荷沿直线由c运动到d的过程中电势能始终不变
解析 对比等量异种点电荷的电场分布可知，题图中场强大小关系有Eb>Ea，Ec＝Ed，选项A错误；因沿着电场线方向电势逐渐降低可知，φa<φb，再由对称性可知φc＝φd，选项B错误；由于a点电势低于b点电势，将负点电荷由a沿圆弧运动到b，电场力做正功，选项C正确；因沿直线由c到d过程中电势先升高再降低，所以将一正点电荷沿直线由c运动到d的过程中电势能先增大再减小，选项D错误。
答案 C
3.(2018·浙江金华十校期末)雾霾的一个重要来源是工业烟尘。为了改善空气环境，某热电厂引进了一套静电除尘系统。它主要由机械过滤网，放电极和互相平行的集尘极三部分构成。如图5为简化的工作原理图，其中集尘极带正电，实线为电场线。假设虚线为某带负电烟尘颗粒(不计重力)在除尘器装置中的运动轨迹，A、B是轨迹中的两点，烟尘颗粒在A点的速度小于B点的速度。下列说法正确的是( )
图5
A.A点电势高于B点电势
B.A点的场强大于B点的场强
C. 该烟尘颗粒在B点的电势能大于在A点的电势能
D. 该烟尘颗粒在除尘装置中的运动是匀变速曲线运动
解析 由沿电场线方向电势降低可知，A点电势低于B点电势，故A错误；由图可知，A点电场线比B点密集，因此A点的场强大于B点场强，故B正确；烟尘颗粒带负电，A点电势低于B点电势，则烟尘颗粒在A点的电势能大于在B点的电势能，故C错误；该烟尘颗粒在除尘装置中运动时，受电场力是变化的，加速度是变化的，则其运动是非匀变速曲线运动，故D错误。
答案 B
电场中的功能关系 电势差
1.电场力做功特点：电场力做功与运动路径无关，只与始末位置有关。
2.电场力做功的计算方法
(1)W＝Eqd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场线方向的距离。
(2)WAB＝qUAB，适用于任何电场。
(3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk。
(4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB。
3.电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力、系统内弹簧弹力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。
(4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
【典例】 如图6所示，在O点处固定一个正电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q。小球下落的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆(图中实线表示)相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距离OC的竖直高度为h。若小球通过B点时的速度为v，试求：
图6
(1)小球通过C点时的速度大小；
(2)小球由A到C的过程中电场力做的功。
解析 (1)因B、C两点电势相等，小球由B到C只有重力做功，由动能定理有mgR·sin 30°＝mv－mv2
得vC＝。
(2)由A到C应用动能定理有WAC＋mgh＝mv－0
解得WAC＝mv－mgh＝mv2＋mgR－mgh。
答案 (1) (2)mv2＋mgR－mgh
1.如图7所示，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ。一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，静电力所做的负功相等。则( )
图7
A.直线a位于某一等势面内，φM＞φQ
B.直线c位于某一等势面内，φM＞φN
C.若电子由M点运动到Q点，电场力做正功
D.若电子由P点运动到Q点，电场力做负功
解析 由电子从M点分别运动到N点和P点的过程中静电力所做的负功相等可知，N、P两点在同一等势面上，且电场线方向为M→N，故选项B正确，选项A错误；M点与Q点在同一等势面上，电子由M点运动到Q点，静电力不做功，故选项C错误；电子由P点运动到Q点，静电力做正功，故选项D错误。
答案 B
2.一电子飞经电场中A、B两点，电子在A点的电势能为4.8×10－17 J，电子经过B点时电势能为3.2×10－17 J，电子在A点的动能为3.2×10－17 J，如果电子只受静电力作用，则( )
A.电子在B点时动能为4.8×10－17 J
B.由A到B静电力做功为1 000 eV
C.电子在B点时动能为1.6×10－17 J
D.A、B两点间电势差为100 V
解析 电子由A点到B点电势能减少1.6×10－17 J，即静电力做正功WAB＝1.6×10－17 J＝100 eV，由动能定理得EkB＝WAB＋EkA＝4.8×10－17 J，即选项A正确，B、C错误；由公式UAB＝得UAB＝ V＝－100 V，故选项D错误。
答案 A
3.如图8所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：
图8
(1)小球应带何种电荷及其电荷量；
(2)小球受到的合外力；
(3)在入射方向上小球运动的最大位移xm。(电场足够大)
解析 (1)作电场线如图(a)所示。由题意知，小球只有受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图(b)所示。只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动。
由图(b)知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，
所以E＝，
所以q＝＝。
(2)由图(b)知，F合＝＝mg。
(3)由动能定理得－F合xm＝0－mv
所以xm＝＝
答案 (1)正电荷 (2)mg (3)
电势差与电场强度的关系 静电现象的应用
1.电势差与电场强度关系
(1)表达式U＝Ed适用于匀强电场中的定量计算，且d是沿场强方向上的距离；电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
(2)两个结论
结论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势
φC＝，如图9甲所示。
图9
结论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示。
2.静电现象应用
(1)两种现象
现象1：由于静电感应，导体外表面感应电荷的电场与外电场在导体内部任一点的场强的叠加结果为零，从而外部电场影响不到导体内部，如图10甲所示。
图10
现象2：由于静电感应，接地导体壳内表面感应电荷产生的电场与壳内电场在导体壳外表面以外空间叠加结果为零，从而使接地的封闭导体壳内部电场对壳外空间没有影响，如图10乙所示。
(2)应用：有的电学仪器和电子设备外面套有金属罩，有的通信电缆的外面包有一层铅皮等都是用来防止外电场的干扰，起屏蔽作用的。
【典例】 如图11所示，a、b、c为电场中同一条电场线上的三点，其中c为ab的中点。已知a、b两点的电势分别为φa＝3 V，φb＝9 V，则下列叙述正确的是( )
图11
A.该电场在c点处的电势一定为6 V
B.a点处的场强Ea一定小于b点处的场强Eb
C.正电荷从a点运动到b点的过程中电势能一定增大
D.正电荷只受电场力作用从a点运动到b点的过程中动能一定增大
解析 本题中电场线只有一条，又没说明是哪种电场的电场线，因此电势降落及场强大小情况都不能确定，A、B错误；a、b两点电势已知，正电荷从a到b是从低电势向高电势运动，电场力做负功，动能减小，电势能增大，C正确，D错误。
答案 C
1.请用学过的电学知识判断下列说法正确的是( )
A.电工穿绝缘衣比穿金属衣安全
B.制作汽油桶的材料用金属比用塑料好
C.小鸟停在单根高压输电线上会被电死
D.打雷时，呆在汽车里比呆在木屋里要危险
解析 由静电屏蔽的知识可知，选项A、D错误；金属可以导走多余的静电，选项B正确；单根高压输电线上相距较近的两点之间电阻很小，因而电压较小，小鸟不会被电死，选项C错误。
答案 B
2.为了防止静电的危害，应尽快把静电导走，下列措施中不是为了防止静电危害的是( )
A.油罐车后面装一条拖地铁链
B.电工钳柄上有一绝缘胶套
C.飞机轮采用导电橡胶
D.印染厂车间保持相当的湿度
解析 A、C、D项的做法都是为了防止静电的危害，只有B项不是静电的问题，而是防止触电的防护措施。
答案 B
3.a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势依次为10 V、2 V、6 V；三点在同一平面上，下列图中电场强度的方向表示正确的是( )
解析 由于Uab＝φa－φb＝8 V，则ab中点处电势为6 V，因此c点与ab中点的电势相同，c点与ab中点的连线则为一条等势线，电场强度方向应垂直于该等势线并且指向电势较低的方向，故选项C正确。
答案 C
4.如图12所示，匀强电场的电场强度E＝100 V/m，A、B两点相距LAB＝10 cm，A、B连线与电场线的夹角为60°，则UBA为( )
图12
A.－10 V B.10 V
C.－5 V D.－3 V
解析 根据电势差与电场强度的关系U＝Ed得UAB＝ELABcos 60°＝100×0.1×cos 60° V＝5 V，且沿电场线方向电势逐渐降低，φA>φB，故UBA＝－5 V，选项C正确。
答案 C
科学思维——电场中的四类图象
类型一 v－t图象
1.描述带电粒子在电场中运动的速度随时间的变化规律。
2.根据速度大小的变化判断电场力对粒子做功正负、电势能变化情况等。
3.根据图线斜率表示加速度，进一步比较电场强度的大小。
【例1】 (2018·4月浙江选考)一带电粒子仅在电场力作用下从A点开始以－v0做直线运动，其v－t图象如图13所示。粒子在t0时刻运动到B点，3t0时刻运动到C点，下列判断正确的是( )
图13
A.A、B、C三点的电势关系为φB>φA>φC
B.A、B、C三点的场强大小关系为EC>EB>EA
C.粒子从A点经B点运动到C点，电势能先增加后减少
D.粒子从A点经B点运动到C点，电场力先做正功后做负功
解析 由题图v－t图象知道带电粒子在0～t0时间内做减速运动，电场力做负功，电势能增大；在t0～3t0时间内反方向加速运动，电场力做正功，电势能减小，选项C正确，D错误；因为不知道带电粒子电性，本题中无法判断电势的高低，选项A错误；图象中斜率表示带电粒子的加速度，Eq＝ma，可知A、B、C三点中EB最大，选项B错误。
答案 C
类型二 φ－x图象
1.描述电势随位移变化的规律。
2.根据电势的高低可以判断电场强度的方向。
3.根据E＝，图象φ－x的斜率为电场强度。
【例2】 在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图14所示。下列说法正确的有( )
图14
A.q1和q2带有同种电荷
B.x1处的电场强度为零
C.负电荷从x1移到x2，电势能减小
D.负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
解析 由x1处电势为零可知，两点电荷q1和q2带有异种电荷，选项A错误；在φ－x图象中，图象切线的斜率表示电场强度，则x1处的电场强度不为零，选项B错误；且有x1到x2电场强度逐渐减小，负电荷受到的电场力逐渐减小，选项D错误；由Ep＝φq可知，负电荷在电势高处的电势能小，负电荷从x1移到x2，电势能减小，选项C正确。
答案 C
类型三 E－x图象
1.描述电场强度随位移变化的规律。
2.场强E正负表示场强的方向。
3.图线与x轴围成的“面积”表示电势差。
【例3】 静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图15所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷( )
图15
A.在x2和x4处电势能相等
B.由x1运动到x3的过程中电势能增大
C.由x1运动到x4的过程中电场强度先减小后增大
D.由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
解析 由题图可知，x1到x4场强先变大，再变小，则点电荷受到的电场力先增大后减小，C、D错误；由x1到x3及由x2到x4过程中，电场力做负功，电势能增大，知A错误，B正确。
答案 B
类型四 Ep－x图象
1.描述电势能随位移变化的规律。
2.根据电势能的变化可以判断电场力做功的正、负。
3.根据W＝－ΔEp＝Fx，图象Ep－x的斜率绝对值表示电场力的大小。
【例4】 一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动。取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位移x的关系如图16所示。下列图象中合理的是( )
图16
解析 在粒子运动中的某一小段位移Δx内，电场力做功qEΔx。由功能关系知ΔEp＝－qEΔx，即＝－qE，Ep－x 图线斜率的绝对值表示电场力的大小，故由图线可知E逐渐减小，A错误；因粒子仅受电场力作用，由qE＝ma可知a也逐渐减小，D正确；再由动能定理有ΔEk＝qEΔx，即＝qE，Ek－x图线的斜率表示电场力，则Ek－x图线应是一条斜率逐渐减小的曲线，B错误；由于电场力不是恒力，带电粒子做加速度逐渐减小的加速运动，所以相等的位移内，速度增加量逐渐减小，v－x图线应为曲线，故C错误。
答案 D
活页作业
(时间：30分钟)
A组 基础过关
1.(2018·3月浙江余高模拟)如图1所示，两个不带电的导体A和B，用一对绝缘柱支持使它们彼此接触。把一用丝绸摩擦过的玻璃棒C靠近A，贴在A、B下部的金属箔都张开( )
图1
A.此时A带正电，B带负电
B.此时A电势低，B电势高
C.移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
D.先把A和B分开，然后移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
解析 物体C靠近A附近时，由于静电感应，A端带上负电，B端带上正电，故A错误；此时A、B为等势体，两端电势相等，故B错误；移去C后，由于电荷间相互作用，重新中和，达电中性状态，两金属箔均闭合，故C正确；先把A、B分开，则A带负电，B带正电，移去C后，电荷不能再进行中和，故两金属箔仍然张开，故D错误。
答案 C
2.如图2所示为电场中的一条电场线，在这条直线上有a、b两点，用Ea、Eb表示a、b两处的场强大小，则( )
图2
A.因为电场线从a指向b，所以Ea＞Eb
B.因为电场线从a指向b，所以b点的电势比a点电势低
C.因为电场线是直线，所以Ea＝Eb
D.在a点由静止释放一正的点电荷，电荷将做匀加速直线运动
解析 一根电场线无法确定其疏密情况，也就无法判断电场强弱的问题和静电力大小，选项A、C、D均错误；而沿着电场线方向电势逐渐降低，选项B正确。
答案 B
3.电场中有A、B两点，A点的电势φA＝30 V，B点的电势φB＝10 V，一个电子由B点运动到A点的过程中，下列几种说法中正确的是( )
A.静电力对电子做功20 eV，电子的电势能减少了20 eV
B.电子克服静电力做功20 eV，电子的电势能增加了20 eV
C.静电力对电子做功20 eV，电子的电势能增加了20 eV
D.电子克服静电力做功20 eV，电子的电势能减少了20 eV
解析 UAB＝φA－φB＝20 V，根据WAB＝qUAB得电子从A到B静电力做负功－20eV，即电子从B到A静电力做正功20 eV，电势能减少20 eV，选项A正确。
答案 A
4.如图3所示，匀强电场的场强E＝30 000 V/m，A、B两点相距0.2 m，两点连线与电场的夹角是60°，下列说法正确的是( )
图3
A.A、B两点间的电势差是U＝1 500 V
B.若取A点的电势φA＝0，则B点的电势φB＝－3 000 V
C.电荷量q＝＋2×10－4 C的电荷从A点运动到B点电势能增加0.6 J
D.电荷量q＝－2×10－4 C的电荷从A点运动到B点电场力做功为0.6 J
解析 q＝2×10－4 C的电荷由A到B电场力做功W＝qEABcos α＝0.6 J，故电势能减少0.6 J，C、D错误；UAB＝＝ V＝3 000 V，A错误；由UAB＝φA－φB得φB＝φA－UAB＝－3 000 V，B正确。
答案 B
5.如图4所示，在点电荷Q产生的电场中，将两个带正电的试探电荷q1、q2分别置于A、B两点，虚线为等势线。取无穷远处为零电势点，若将q1、q2移动到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等，则下列说法正确的是( )
图4
A.A点电势高于B点电势
B.A、B两点的电场强度相等
C.q1的电荷量小于q2的电荷量
D.q1在A点的电势能小于q2在B点的电势能
解析 由题意知点电荷Q带负电，所以有φA＜φB＜0，得|UA∞|＞|UB∞|，移动两试探电荷克服电场力做功相等，有q1|UA∞|＝q2|UB∞|，所以q1＜q2，A错误，C正确；由E＝k，A点比B点离Q近，所以EA＞EB，B错误；根据电场力做功与电势能变化的关系，q1在A点的电势能等于q2在B点的电势能，D错误。
答案 C
6.如图5所示，虚线a、b、c表示电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，实线为一个带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列说法正确的是( )
图5
A.三个等势面中，等势面a的电势最高
B.带电质点一定是从P点向Q点运动
C.带电质点通过P点时的动能比通过Q点时的小
D.带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时的小
解析 电场线和等势面垂直，可以根据等势面来画出某处的电场线。又质点做曲线运动所受电场力的方向指向曲线的凹侧，由此可以判断出电场线的方向大致是从c指向a，而沿着电场线的方向电势逐渐降低，a、b、c三个等势面的电势关系为φc>φb>φa，故选项A错误；无法从质点的受力情况来判断其运动方向，选项B错误；质点在P点的电势能大于在Q点的电势能，而电势能和动能的总和不变，所以，质点在P点的动能小于在Q点的动能，选项C正确；P点的等势面比Q点的等势面密，故场强较大，质点受到的电场力较大，加速度较大，选项D错误。
答案 C
7.(2018·浙江宁波选考适应性考试)如图6所示，电荷量大小相等的两个点电荷Q1和Q2，两者连线及中垂线上分别有A点和B点，则下列说法正确的是( )
图6
A.若两者是同种电荷，则A点的电势一定高于B点的电势
B.若两者是同种电荷，则A点的场强一定大于B点的场强
C.若两者是异种电荷，则A点的电势一定高于B点的电势
D.若两者是异种电荷，则A点的场强一定大于B点的场强
解析 设两个点电荷Q1和Q2连线的中点为O。若两电荷是同种电荷，且都是正电荷，则A点的电势高于O点电势，O点电势高于B点电势，则A点的电势高于B点的电势。若两个点电荷都带负电，则A点的电势低于B点的电势，A错误；若两者是同种电荷，B点处电场线分布情况不能确定，所以不能确定两点场强的大小，B错误；若两者是异种电荷，且Q1为正电荷，则A点的电势高于B点的电势。若Q1为负电荷，则A点的电势低于B点的电势，C错误；若两者是异种电荷，A处电场线比B处电场线密，则A点的场强一定大于B点的场强，D正确。
答案 D
B组 能力提升
8.如图7所示，a、b、c三条虚线为电场中的等势面，等势面b的电势为零，且相邻两个等势面间的电势差相等，一个带正电的粒子在A点时的动能为10 J，在电场力作用下从A点运动到B点时速度为零，当这个粒子的动能为6 J时，其电势能为( )
图7
A.14 J B.4 J C.0 D.－1 J
解析 相邻两个等势面间的电势差相等Uab＝Ubc，所以qUab＝qUbc，即Wab＝Wbc＝WAB
而WAB＝0－EkA＝－10 J
所以，粒子在等势面b上时的动能Ekb＝5 J
从而可以知道粒子在电场中的总能量值为5 J。
当这个粒子的动能为6 J时，Ep＝E－Ek＝(5－6) J＝－1 J。
所以选项A、B、C都错误，D正确。
答案 D
9.(2016·慈溪中学期中)A、B为一电场中x轴上的两点，如图8甲所示。一电子仅在电场力作用下沿x轴运动，该电子的动能Ek随其坐标变化的关系如图乙所示，则下列说法正确的是( )
图8
A.该电场可能是点电荷形成的电场
B.A、B两点电场强度大小关系为EA
D.电子在A、B两点的电势能大小关系为EPA
答案 C
10.(2018·石家庄模拟)如图9所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴。理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化关系如图乙所示，则( )
图9
A.x2处场强大小为
B.球内部的电场为匀强电场
C.x1、x2两点处的电势相同
D.假设将试探电荷沿x轴移动，则从x1移到R处和从R移到x2处电场力做功相同
解析 计算x2处的电场强度时，可把带电球体等效为位于原点的点电荷，则有x2处场强大小为E＝k，故选项A正确；由乙图E－x图象可知，球内部由O到球表面区间电场强度均匀增大，所以内部电场为非匀强电场，故选项B错误；x轴上O点右侧的电场方向始终是向右的，沿着电场的方向电势逐渐降低，可知φx1>φx2，故选项C错误；E－x 图象与x轴所围面积表示电势差，由乙图可知两处面积不相等，所以x1处与球表面、球表面与x2处的电势差不同，则将试探电荷沿x轴从x1移到R处和从R移到x2处电场力做功不相同，故选项D错误。
答案 A
11.一带正电的检验电荷，仅在电场力作用下沿x轴从x＝－∞向x＝＋∞运动，其速度v随位置x变化的图象如图10所示，x＝x1和x＝－x1处，图线切线的斜率绝对值相等且最大，则在x轴上( )
图10
A.x＝x1和x＝－x1两处，电场强度相同
B.x＝x1和x＝－x1两处，电场强度最大
C.x＝0处电势最低
D.从x＝x1运动到x＝＋∞过程中，电荷的电势能逐渐增大
解析 正检验电荷仅在电场力作用下沿x轴从x＝－∞向x＝＋∞运动，速度先减小后增大，所受的电场力先沿－x轴方向，后沿＋x轴方向，电场线方向先沿－x轴方向，后沿＋x轴方向，则知x＝x1和x＝－x1两处，电场强度的方向相反，电场强度不同，故A错误；由v－t图象的斜率决定电场强度的大小，x＝x1和x＝－x1两处斜率最大，则电场强度最大，故B正确；由上知，电场线方向先沿－x轴方向，后沿＋x轴方向，根据顺着电场线方向电势降低可知，电势先升高后降低，则x＝0处电势最高，故C错误；从x＝x1运动到x＝＋∞过程中，电场力沿＋x轴方向，则电场力做正功，电荷的电势能逐渐减小，故D错误。
答案 B
12.如图11所示的匀强电场中，有a、b、c三点，ab间距离Lab＝8 cm，bc间距离Lbc＝14 cm，其中ab沿电场方向，bc和电场方向成60°角。一个电荷量q＝－4×10－8 C的负电荷从a点移到b点克服静电力做功1.2×10－6 J。求：
图11
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)电荷从b点移到c点，静电力所做的功；
(3)a、c两点间的电势差。
解析 (1)根据Wab＝qUab，且Wab＝－1.2×10－6 J，电荷为q＝－4×10－8 C，所以Uab＝ V＝30 V。根据E＝可知E＝V/m＝375 V/m。
(2)Wbc＝qUbc＝q·E·Lbc·cos 60°
＝－4×10－8×375×0.14×cos 60°J＝－1.05×10－6 J。
(3)Uac＝Ed＝375×(0.08＋0.14×cos 60°) V＝56.25 V。
答案 (1)375 V/m (2)－1.05×10－6 J (3)56.25 V
13.如图12所示，平行金属带电极板A、B间可看作匀强电场，场强E＝1.2×103 V/m，极板间距离d＝5 cm，电场中C和D分别到A、B两板的距离均为0.5 cm，B极板接地，求：
图12
(1)C、D两点的电势和两点间的电势差；
(2)点电荷q1＝－2×10－3 C分别在C和D两点的电势能；
(3)将点电荷q2＝2×10－3 C从C匀速移到D时外力所做的功。
解析 (1)由E＝得UBC＝EdBC＝1.2×103×4.5×10－2 V＝54 V
又因φB＝0及UBC＝φB－φC，所以φC＝－54 V，同理可得φD＝－6 V
所以UCD＝φC－φD＝－48 V。
(2)由Ep＝qφ得
EpC＝q1φC＝－2×10－3×(－54) J＝0.108 J
EpD＝q1φD＝－2×10－3×(－6) J＝0.012 J。
(3)把q2由C匀速移到D，电场力做负功，由于匀速移动，外力做功与电场力做功大小相等。W外＝－W电＝－q2UCD＝－2×10－3×(－48) J＝0.096 J。
答案 (1)－54 V －6 V －48 V (2)0.108 J 0.012 J (3)0.096 J
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