2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第七章　不等式、推理与证明7.2

§7.2　均值不等式及其应用
最新考纲
考情考向分析
1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档.



1．均值不等式：≤
(1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均值为，几何平均值为，均值不等式可叙述为两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．
4．利用均值不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)

概念方法微思考
1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？
提示　不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．
2．函数y＝x＋的最小值是2吗？
提示　不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小值．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　×　)
(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)
(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　√　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　)
(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　×　)
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　√　)
题组二　教材改编
2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80 B．77 C．81 D．82
答案　C
解析　∵x>0，y>0，∴≥，
即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案　25
解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0 ∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
题组三　易错自纠
4．“x>0”是“x＋≥2成立”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　当x>0时，x＋≥2＝2.
因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件，故选C.
5．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
答案　C
解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　D
解析　由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，
所以4x＋3y＝(4x＋3y)·
＝
≥(4＋9＋2)＝5，
当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立，
故4x＋3y的最小值为5.故选D.






题型一　利用均值不等式求最值

命题点1　配凑法
例1 (1)已知0 答案　
解析　x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．
(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．
答案　2＋2
解析　∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
命题点2　常数代换法
例2 (2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{an}中，满足ama＝a(m，n∈N+)，则＋的最小值为(　　)
A．1 B. C．2 D.
答案　A
解析　由题意可得，a1＝q，
∵ama＝a，
∴a1·qm－1·(a1·qn－1)2＝(a1·q3)2，
即qm·q2n＝q8，
即m＋2n＝8.
∴＋＝(m＋2n)×
＝×≥×＝1.
当且仅当m＝2n时，即m＝4，n＝2时，等号成立．
命题点3　消元法
例3 已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝(　　)
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值3 D．有最大值3
答案　B
解析　∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，
∴a＋b≥a2＋a＋4.
又∵a，b>0，∴≤，
∴－≥－，
∴u＝＝3－≥3－
＝3－≥3－＝，
当且仅当a＝2，b＝8时取等号．故选B.
思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法．
跟踪训练1 (1)(2019·丹东质检)设x>0，y>0，若xlg 2，lg，ylg 2成等差数列，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．9 C．12 D．16
答案　D
解析　∵xlg 2，lg，ylg 2成等差数列，
∴2lg＝(x＋y)lg 2，∴x＋y＝1.
∴＋＝(x＋y)≥10＋2＝10＋6＝16，
当且仅当x＝，y＝时取等号，
故＋的最小值为16.故选D.
(2)若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
答案　B
解析　∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，
∴a＋b＋c＋1＝3，
且a＋1>0，b＋c>0.
∴＋＝·(a＋1＋b＋c)·
＝≥(5＋4)＝3.
当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立．故选B.

题型二　均值不等式的综合应用

命题点1　均值不等式与其他知识交汇的最值问题
例4已知圆O的方程为x2＋y2＝1，过第一象限内圆O外的点P(a，b)作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若·＝8，则a＋b的最大值为(　　)
A．3 B．3
C．4 D．6
答案　B
解析　根据题意，结合向量数量积的定义式，
可求得·＝||2＝8，所以可求得|PO|2＝9，
即a2＋b2＝9，结合均值不等式，
可得a＋b≤＝3，
当且仅当a＝b＝时取等号，故选B.
命题点2　求参数值或取值范围
例5 (2018·包头模拟)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
答案　B
解析　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，
∵1＋a＋＋≥a＋2＋1，
当且仅当y＝x时，等号成立，
∴a＋2＋1≥9，
∴≥2或≤－4(舍去)，∴a≥4，
即正实数a的最小值为4，故选B.
思维升华 求参数的值或范围：观察题目特点，利用均值不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则＋的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由△ABC的面积为2，
所以S＝bcsin A＝bcsin ＝2，得bc＝8，
在△ABC中，由正弦定理得
＋＝＋
＝＋
＝＋＝＋－
≥2－＝2－＝，
当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立，故选C.


(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则的最小值是(　　)
A．10 B．9
C．8 D．3
答案　B
解析　 由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，
由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，
所以f′(1)＝2a＋b＝2，
所以＝＋＝(2a＋b)
＝≥
＝(10＋8)＝9，
当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，
所以的最小值为9，故选B.

利用均值不等式求解实际问题
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．
例 某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k⇒k＝2，
∴x＝3－，
每万件产品的销售价格为1.5×(万元)，
∴2019年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤－8＋29＝21，
当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，
ymax＝21(万元)．
故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
素养提升　利用均值不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用均值不等式求得函数的最值．


1．函数f(x)＝的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
答案　B
解析　f(x)＝＝|x|＋≥2＝4，
当且仅当x＝±2时，等号成立，故选B.
2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　)
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1
答案　C
解析　∵x>0，y>0，
∴x＋2y≥2，当且仅当x＝2y 时取等号．
故“x＝2且y＝1 ”是“x＋2y＝2”的充分不必要条件．故选C.
3．(2018·沈阳模拟)已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　　)
A. B．3
C．5 D．9
答案　D
解析　由题意知，正数a，b满足a＋b＝1，
则＋＝(a＋b)
＝4＋1＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，
所以＋的最小值为9，故选D.
4．若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)
A．8 B．6
C．4 D．2
答案　C
解析　由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.
5．已知函数f(x)＝ex在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a＋2－b的最小值是(　　)
A．4 B．2
C．2 D.
答案　D
解析　由题意得f′(x)＝ex，f(0)＝e0＝1，k＝f′(0)＝e0＝1.所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，∴2a＋2－b≥2＝2＝2＝
，故选D.
6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)

A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
答案　D
解析　由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，
又OC＝OB－BC＝－b＝，
则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，
再根据题图知FO≤FC，即≤ ，当且仅当a＝b时取等号．故选D.
7．设x，y均为正数，且xy＋x－y－10＝0，则x＋y的最小值是________．
答案　6
解析　由xy＋x－y－10＝0，得x＝＝＋1，
∴x＋y＝＋1＋y≥2＝6，
当且仅当＝1＋y，即y＝2时，等号成立．
8．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，则4a3＋的最小值为________．
答案　4
解析　设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，
∵S7－S5＝a7＋a6＝3(a4＋a5)，
∴＝q2＝3.
∴4a3＋＝4a3＋＝4a3＋≥2＝4，
当且仅当4a3＝，即a3＝时等号成立．
∴4a3＋的最小值为4.
9．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且△ABC的面积为，则a的最小值为________．
答案　
解析　由题意得b2＋c2－a2＝bc，
∴2bccos A＝bc，∴cos A＝，∴A＝.
∵△ABC的面积为，
∴bcsin A＝，∴bc＝3.
∵a2＝b2＋c2－bc，
∴a2≥2bc－bc＝bc＝3(当且仅当b＝c时，等号成立)，
∴a≥.
10．已知a，b为正实数，且(a－b)2＝4(ab)3，则＋的最小值为________．
答案　2
解析　由题意得(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，
代入已知得(a＋b)2＝4(ab)3＋4ab，
两边同除以(ab)2得2＝＋
＝4≥4·2＝8，
当且仅当ab＝1时取等号．
所以＋≥2，
即＋的最小值为2.
11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解　(1)∵x>0，y>0，
∴由均值不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，
∴＋＝·
＝≥
＝，当且仅当＝时，等号成立．
由解得
∴＋的最小值为.
12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.

(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？
解　(1)由题意可得xy＝1 800，b＝2a，
则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a
＝(3x－8)＝1 808－3x－y(x>3，y>3)．
(2)方法一　S＝1 808－3x－×
＝1 808－≤1 808－2
＝1 808－240＝1 568，
当且仅当3x＝，
即x＝40时等号成立，S取得最大值，
此时y＝＝45，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．
方法二　设S＝f(x)＝1 808－(x>3)，
则f′(x)＝－3＝，
令f′(x)＝0，则x＝40，
当00；
当x>40时，f′(x)<0.
所以当x＝40时，S取得最大值，此时y＝45.

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC面积的最大值为(　　)
A．4 B．2
C．3 D.
答案　A
解析　∵＝，
∴(2a－c)cos B＝bcos C，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C
＝sin(B＋C)＝sin A.
又sin A≠0，∴cos B＝.
∵0 由余弦定理得b2＝16＝a2＋c2－2accos
＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
∴ac≤16，当且仅当a＝c时等号成立．
∴S△ABC＝acsin ≤×16×＝4.
故△ABC面积的最大值为4.故选A.
14．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋ ＝x＋y，则＋的最小值为(　　)

A． B．2 C． D．
答案　D
解析　设＝m＋n，＝λ＋μ，
∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1，
∵＋＝x＋y＝＋，
则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，
∴＋＝＝≥＝，当且仅当x＝，y＝时，等号成立．
故＋的最小值为，故选D.

15．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，侧面BCC1B1的面积为4，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为(　　)
A．24π B．16π
C．8π D．4π
答案　B
解析　设BC＝a，CC1＝b，则ab＝4，
底面三角形外接圆的半径为r，
则＝2r，∴r＝a.
所以R2＝2＋2＝＋
≥2＝2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立．
所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为
4π×4＝16π.
16．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，则f(n)＝ 的最小值为________．
答案　30
解析　当q＝1时，ap＋1＝ap·a1＝2ap，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2，
∴Sn－1＝2n－2，Sn－1·(Sn－1＋2)＝(2n－2)·2n，
∴f(n)＝＝2n－2＋
≥2－2＝30，
当且仅当2n＝16，即n＝4时，等号成立，f(n)min＝30.