2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第七章　不等式、推理与证明7.3

§7.3　一元二次不等式及其解法
最新考纲
考情考向分析
1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.



1.一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象



方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2
(x1 有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|xx2}

{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1< x ∅
∅


2.常用结论
(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法
不等式
解集
a a＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a ∅
{x|b 口诀：大于取两边，小于取中间．
概念方法微思考
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？
提示　 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？
提示　显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　√　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　)
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)
(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．
(　√　)



题组二　教材改编
2．已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于(　　)
A．{x|－2 B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|x<－2}∪{x|x>3}
D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}
答案　B
解析　∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}．在数轴上表示出集合A，如图所示．

由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}．
故选B.
3．y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．
答案　∪
解析　由题意，得3x2－2x－2>0，
令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，
∴3x2－2x－2>0的解集为
∪.
题组三　易错自纠
4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
答案　(－4，1)
解析　由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，
得－4 5．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝________.
答案　－14
解析　∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴解得∴a＋b＝－14.
6．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－2，2] C．(－2，2) D．(－∞，2)
答案　B
解析　∵∴－2 另a＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立，
∴－2
题型一　一元二次不等式的求解

命题点1　不含参的不等式
例1 (2019·呼和浩特模拟)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B等于(　　)
A．(－1，2) B．(－2，1)
C．(0，1) D．(0，2)
答案　D
解析　由题意得A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－10}，
∴ A∩B＝{x|0 命题点2　含参不等式
例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解为 当a＝1时，解集为∅；
当0 综上，当0 当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a>1时，不等式的解集为.
思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
解　原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.

题型二　一元二次不等式恒成立问题

命题点1　在R上的恒成立问题
例3 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．
解　当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．
当m≠0时，则即－4 综上，－4 命题点2　在给定区间上的恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．
解　要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，
即m2＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一　令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1，3]．
当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，所以0 当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二　因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
引申探究
1．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“f(x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？
解　若f(x)<5－m无解，即f(x)≥5－m恒成立，
即m≥恒成立，又x∈[1，3]，
得m≥6，即m的取值范围为[6，＋∞)．
2．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？
解　由题意知f(x)<5－m有解，
即m<有解，则m 又x∈[1，3]，得m<6，即m的取值范围为(－∞，6)．
命题点3　给定参数范围的恒成立问题
例5 若mx2－mx－1<0对于m∈[1，2]恒成立，求实数x的取值范围．
解　设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1，2]时，图象为一条线段，
则即
解得 故x的取值范围为.
思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
跟踪训练2 函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解　(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
∴实数a的取值范围是[－6，2]．
(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：
①如图①，当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时，
有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.
②如图②，g(x)的图象与x轴有2个交点，
但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
即　即
可得　解得a∈∅.
③如图③，g(x)的图象与x轴有2个交点，
但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.
即　即
可得　∴－7≤a<－6，
综上，实数a的取值范围是[－7，2]．


(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是
(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．

一、选择题
1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|(x＋1)(x－5)<0}，则A∩B等于(　　)
A．[－1，4) B．[0，5)
C．[1，4] D．[－4，－1)∪ [4，5)
答案　B
解析　由题意得B＝{x|－1 故A∩B＝{x|x≥0}∩{x|－1 2．(2018·沈阳二十中联考)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为(　　)
A. B.
C．{x|－21}
答案　A
解析　∵不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10，解得x<－1或x>，故选A.
3．若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A．(－3，0) B．[－3，0] C．[－3，0) D．(－3，0]
答案　A
解析　由题意可得
解得－3 4．若存在实数x∈[2，4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为(　　)
A．(13，＋∞) B．(5，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(－∞，13)
答案　B
解析　m>x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2，4]，当x＝2时f(x)min＝5，∃x∈[2，4]
使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.故选B.
5．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　)
A．[－4，1] B．[－4，3]
C．[1，3] D．[－1，3]
答案　B
解析　原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
6．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1，＋∞) D.
答案　A
解析　由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故选A.

7．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是(　　)
A．(－3，5) B．(－2，4)
C．[－1，3] D．[－2，4]
答案　C
解析　 因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，
当a>1时，不等式的解集为{x|1 当a<1时，不等式的解集为{x|a 当a＝1时，不等式的解集为∅，
要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1a≥－1，
所以实数a的取值范围是a∈[－1，3]，故选C.
8．设a<0，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　当a 所以(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，
可转化为∀x∈(a，b)，a≤－4x2，
所以a≤－4a2，所以－≤a<0，所以0 当a<0 当x＝0时，(4x2＋a)(2x＋b)＝ab<0，不符合题意；
当a<0＝b时，由题意知x∈(a，0)，(4x2＋a)2x≥0恒成立，
所以4x2＋a≤0，所以－≤a<0，所以b－a≤.
综上所述，b－a的最大值为.
二、填空题
9．(2018·全国名校大联考)不等式x2－2ax－3a2<0(a>0)的解集为________．
答案　{x|－a 解析　x2－2ax－3a2<0⇔(x－3a)(x＋a)<0，
∵a>0，∴－a<3a，不等式的解集为{x|－a 10．(2018·烟台联考)不等式x>的解集为________．
答案　(－1，0)∪(1，＋∞)
解析　当x>0时，原不等式等价于x2>1，解得x>1；当x<0时，原不等式等价于x2<1，解得－1的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)．
11．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
答案　(－4，0)
解析　因为x2－ax－a>0的解集为R，
所以Δ＝(－a)2－4(－a)<0，解得－4 12．(2019·上海长宁、嘉定区模拟)不等式≤0的解集为________．
答案　(－1，0]
解析　由≤0得x(x＋1)≤0(x≠－1)，
解得－1 13．若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0，1]恒成立，则a的取值范围为________．
答案　[－5，＋∞)
解析　由题意，分离参数后得，a≥－.
设f(x)＝－，x∈(0，1]，
则只要a≥[f(x)]max即可．
由于函数f(x)在区间(0，1]上单调递增，
所以[f(x)]max＝f(1)＝－5，故a≥－5.
三、解答题
14．已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，求实数a的取值范围．
解　设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a，
当Δ＝4(a－2)2－4a<0时，
即10 对x∈R恒成立；
当a＝1时，f(－1)＝0，不合题意；
当a＝4时，f(2)＝0 符合题意；
当Δ>0 时，由即
即4 综上所述，实数a的取值范围是(1,5]．
15．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值．
解　(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，
即a2－6a－3<0，解得3－2 ∴原不等式的解集为{a|3－2 (2)∵f(x)>b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴解得


16．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[－1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．
解　(1)f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，
即2x2＋bx＋c<0的解集是(0，5)，
∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，
由根与系数的关系知，－＝5，＝0，
∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.
(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2－10x＋t－2≤0恒成立，
∴2x2－10x＋t－2在x∈[－1，1]上的最大值小于或等于0.
设g(x)＝2x2－10x＋t－2，x∈[－1，1]，
则由二次函数的图象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1，1]上为减函数，
∴g(x)max＝g(－1)＝10＋t，∴10＋t≤0，即t≤－10.