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2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.7
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§2.7 函数的图象
最新考纲
考情考向分析
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
函数图象的辨析；函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以选择题为主，中档难度.
1．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
2．图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
①y＝f(x) y＝f(ax)．
②y＝f(x)y＝af(x)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
概念方法微思考
1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？
提示 f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．
2．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，求f(x)，g(x)的关系．
提示 g(x)＝2b－f(2a－x)
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．( × )
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( × )
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．( × )
(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( × )
题组二 教材改编
2．函数f(x)＝x＋的图象关于( )
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
答案 C
解析 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是________．(填序号)
答案 ③
解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．
4．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是__________．
答案 (－1,1]
解析 在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．
题组三 易错自纠
5．把函数f(x)＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．
答案 y＝ln
解析 根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y＝ln.
6．(2018·太原调研)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个实数解，则实数a的取值范围是__________．
答案 (0，＋∞)
解析 在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．
由图象知，当a>0时，y＝|x|与y＝a－x两图象只有一个交点，方程|x|＝a－x只有一个解．
7．设f(x)＝|lg(x－1)|，若0
解析 画出函数f(x)＝|lg(x－1)|的图象如图所示．
由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，解得ab＝a＋b>2(由于a4.
8．下列图象是函数y＝的图象的是( )
答案 C
题型一 作函数的图象
分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2；(4)y＝.
解 (1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)．
(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．
(3)y＝x2－|x|－2＝其图象如图③所示．
(4)∵y＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．
思维升华 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．
(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
题型二 函数图象的辨识
例1 (1)函数y＝的图象大致是( )
答案 D
解析 从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x>0时，y＝xln x，y′＝1＋ln x，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．由此可知应选D.
(2)设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )
A．y＝f(|x|)
B．y＝－|f(x)|
C．y＝－f(－|x|)
D．y＝f(－|x|)
答案 C
解析 题图中是函数y＝－2－|x|的图象，
即函数y＝－f(－|x|)的图象，故选C.
思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝x在同一直角坐标系下的图象大致是( )
答案 B
解析 因为函数g(x)＝x为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A，D.因为f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象上移1个单位得到的，所以f(x)为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C，故选B.
(2)(2018·汉中模拟)函数f(x)＝·sin x的图象的大致形状为( )
答案 A
解析 ∵f(x)＝·sin x，
∴f(－x)＝·sin(－x)
＝－sin x＝·sin x＝f(x)，
且f(x)的定义域为R，
∴函数f(x)为偶函数，故排除C，D；
当x＝2时，f(2)＝·sin 2<0，故排除B，
只有A符合．
题型三 函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
例2 (1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案 C
解析 将函数f(x)＝x|x|－2x
去掉绝对值，得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
(2)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0
解析 作出函数f(x)＝|log3x|的图象，观察可知0
若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，
从图象分析应有f(m2)＝2，
∴log3m2＝－2，
∴m2＝.
从而m＝，n＝3，故＝9.
命题点2 解不等式
例3 函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________________．
答案 ∪
解析 当x∈时，y＝cos x>0.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，
当1
所以<0的解集为∪.
命题点3 求参数的取值范围
例4 (1)已知函数若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．
答案 (0,1]
解析 作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知k∈(0,1]．
(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．
答案
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系．
(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．
跟踪训练2 (1)(2018·沈阳检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|
C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值
答案 C
解析 画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|
综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．
(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案 [－1，＋∞)
解析 如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
高考中的函数图象及应用问题
高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．
一、函数的图象和解析式问题
例1 (1)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
答案 B
解析 当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C；
当x∈时，f＝f＝1＋，
f＝2.∵2<1＋，
∴f
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
答案 A
解析 由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.
(3)(2018·全国Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
答案 B
解析 ∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，
∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f(1)＝＝e－>0，排除D选项．
又e>2，∴<，∴e－>，排除C选项．
故选B.
二、函数图象的变换问题
例2 已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
答案 D
解析 方法一 先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；
然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；
再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.
方法二 先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.
方法三 当x＝0时，y＝－f(2－0)＝－f(2)＝－4.故选D.
三、函数图象的应用
例3 (1)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是____________．
答案 (3，＋∞)
解析 在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象．
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，所以要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.
(2)不等式3sin－<0的整数解的个数为________．
答案 2
解析 不等式3sin－<0，即3sin<.设f(x)＝3sin，g(x)＝，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x)
(3)已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是__________．
答案 (2,2 021)
解析 函数f(x)＝的图象如图所示，不妨令a
由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1
1．(2018·浙江)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是( )
答案 D
解析 由y＝2|x|sin 2x知函数的定义域为R，
令f(x)＝2|x|sin 2x，则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)
＝－2|x|sin 2x.
∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．
∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A，B.
令f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得x＝(k∈Z)，
∴当k＝1时，x＝，故排除C.
故选D.
2.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是( )
答案 C
解析 当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.
3．已知函数f(x)＝logax(0
答案 A
解析 方法一 先作出函数f(x)＝logax(00时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x<0时的图象，故选A.
方法二 因为|x|＋1≥1,0
4.若函数f(x)＝ 的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
答案 C
解析 由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.
5．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ex＋1 B．f(x)＝ex－1
C．f(x)＝e－x＋1 D．f(x)＝e－x－1
答案 D
解析 与y＝ex的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
6．(2018·抚顺模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0,1) D．(－∞，＋∞)
答案 A
解析 当x≤0时，f(x)＝2－x－1，当0
若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．
7．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为______________．
答案 {x|x≤0或1
不等式(x－1)f(x)≤0可化为或
由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1
答案 －2
解析 由函数y＝f(x)的图象与y＝2x－a的图象关于直线y＝－x对称，可得f(x)＝－a－log2(－x)，由f(－2)＋f(－4)＝1，可得－a－log22－a－log24＝1，解得a＝－2.
9．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个实数根，则k的取值范围是__________．
答案
解析 由题意作出f(x)在[－1,3]上的示意图如图所示，记y＝k(x＋1)＋1，∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．
记B(2,0)，由图象知，方程有四个实数根，
即函数f(x)与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，
故kAB
答案 (4,5)
解析 作出函数f(x)的图象，函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4,5)．
11．已知函数f(x)＝的值域为[0,2]，则实数a的取值范围是__________．
答案 [1，]
解析 先作出函数f(x)＝log2(1－x)＋1，－1≤x<0的图象，再研究f(x)＝x3－3x＋2,0≤x≤a的图象．
令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1(x＝－1舍去)，由f′(x)>0，得x>1，
由f′(x)<0，得0
12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当实数m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，
G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；
当0
因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．
13．已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是( )
A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
答案 D
解析 函数f(x)的图象如图实线部分所示，
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x1|<|x2|，
∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)－f(x2)<0.
14．已知函数f(x)＝，g(x)＝1＋，若f(x)
解析 f(x)＝
g(x)＝作出两函数的图象如图所示．
当0≤x<1时，由－1＋＝x＋1，解得x＝；当x>1时，由1＋＝x＋1，解得x＝.结合图象可知，满足f(x)
15．已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则实数k的取值范围是__________．
答案
解析 由题意知，直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象至少有3个公共点．函数y＝f(x)，x∈[0,6]的图象如图所示，由图知k的取值范围是.
16．已知函数g(x)＝|x－k|＋|x－2|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数k的取值范围．
解 对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，即f(x)max≤g(x)min.
观察f(x)＝的图象可知，
当x＝时，函数f(x)max＝.
因为g(x)＝|x－k|＋|x－2|≥|x－k－(x－2)|＝|k－2|，
所以g(x)min＝|k－2|，所以|k－2|≥，
解得k≤或k≥.
故实数k的取值范围是∪.
最新考纲
考情考向分析
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
函数图象的辨析；函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以选择题为主，中档难度.
1．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
2．图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
①y＝f(x) y＝f(ax)．
②y＝f(x)y＝af(x)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
概念方法微思考
1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？
提示 f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．
2．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，求f(x)，g(x)的关系．
提示 g(x)＝2b－f(2a－x)
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．( × )
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( × )
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．( × )
(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( × )
题组二 教材改编
2．函数f(x)＝x＋的图象关于( )
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
答案 C
解析 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是________．(填序号)
答案 ③
解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．
4．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是__________．
答案 (－1,1]
解析 在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．
题组三 易错自纠
5．把函数f(x)＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．
答案 y＝ln
解析 根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y＝ln.
6．(2018·太原调研)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个实数解，则实数a的取值范围是__________．
答案 (0，＋∞)
解析 在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．
由图象知，当a>0时，y＝|x|与y＝a－x两图象只有一个交点，方程|x|＝a－x只有一个解．
7．设f(x)＝|lg(x－1)|，若0
解析 画出函数f(x)＝|lg(x－1)|的图象如图所示．
由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，解得ab＝a＋b>2(由于a
8．下列图象是函数y＝的图象的是( )
答案 C
题型一 作函数的图象
分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2；(4)y＝.
解 (1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)．
(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．
(3)y＝x2－|x|－2＝其图象如图③所示．
(4)∵y＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．
思维升华 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．
(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
题型二 函数图象的辨识
例1 (1)函数y＝的图象大致是( )
答案 D
解析 从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x>0时，y＝xln x，y′＝1＋ln x，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．由此可知应选D.
(2)设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )
A．y＝f(|x|)
B．y＝－|f(x)|
C．y＝－f(－|x|)
D．y＝f(－|x|)
答案 C
解析 题图中是函数y＝－2－|x|的图象，
即函数y＝－f(－|x|)的图象，故选C.
思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝x在同一直角坐标系下的图象大致是( )
答案 B
解析 因为函数g(x)＝x为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A，D.因为f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象上移1个单位得到的，所以f(x)为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C，故选B.
(2)(2018·汉中模拟)函数f(x)＝·sin x的图象的大致形状为( )
答案 A
解析 ∵f(x)＝·sin x，
∴f(－x)＝·sin(－x)
＝－sin x＝·sin x＝f(x)，
且f(x)的定义域为R，
∴函数f(x)为偶函数，故排除C，D；
当x＝2时，f(2)＝·sin 2<0，故排除B，
只有A符合．
题型三 函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
例2 (1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案 C
解析 将函数f(x)＝x|x|－2x
去掉绝对值，得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
(2)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0
解析 作出函数f(x)＝|log3x|的图象，观察可知0
若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，
从图象分析应有f(m2)＝2，
∴log3m2＝－2，
∴m2＝.
从而m＝，n＝3，故＝9.
命题点2 解不等式
例3 函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________________．
答案 ∪
解析 当x∈时，y＝cos x>0.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，
当1
所以<0的解集为∪.
命题点3 求参数的取值范围
例4 (1)已知函数若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．
答案 (0,1]
解析 作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知k∈(0,1]．
(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．
答案
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系．
(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．
跟踪训练2 (1)(2018·沈阳检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|
C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值
答案 C
解析 画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|
综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．
(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案 [－1，＋∞)
解析 如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
高考中的函数图象及应用问题
高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．
一、函数的图象和解析式问题
例1 (1)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
答案 B
解析 当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C；
当x∈时，f＝f＝1＋，
f＝2.∵2<1＋，
∴f
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
答案 A
解析 由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.
(3)(2018·全国Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
答案 B
解析 ∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，
∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f(1)＝＝e－>0，排除D选项．
又e>2，∴<，∴e－>，排除C选项．
故选B.
二、函数图象的变换问题
例2 已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
答案 D
解析 方法一 先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；
然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；
再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.
方法二 先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.
方法三 当x＝0时，y＝－f(2－0)＝－f(2)＝－4.故选D.
三、函数图象的应用
例3 (1)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是____________．
答案 (3，＋∞)
解析 在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象．
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，所以要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2
(2)不等式3sin－<0的整数解的个数为________．
答案 2
解析 不等式3sin－<0，即3sin<.设f(x)＝3sin，g(x)＝，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x)
(3)已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是__________．
答案 (2,2 021)
解析 函数f(x)＝的图象如图所示，不妨令a
由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1
1．(2018·浙江)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是( )
答案 D
解析 由y＝2|x|sin 2x知函数的定义域为R，
令f(x)＝2|x|sin 2x，则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)
＝－2|x|sin 2x.
∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．
∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A，B.
令f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得x＝(k∈Z)，
∴当k＝1时，x＝，故排除C.
故选D.
2.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是( )
答案 C
解析 当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.
3．已知函数f(x)＝logax(0
答案 A
解析 方法一 先作出函数f(x)＝logax(0
方法二 因为|x|＋1≥1,0
4.若函数f(x)＝ 的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
答案 C
解析 由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.
5．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ex＋1 B．f(x)＝ex－1
C．f(x)＝e－x＋1 D．f(x)＝e－x－1
答案 D
解析 与y＝ex的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
6．(2018·抚顺模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0,1) D．(－∞，＋∞)
答案 A
解析 当x≤0时，f(x)＝2－x－1，当0
若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．
7．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为______________．
答案 {x|x≤0或1
不等式(x－1)f(x)≤0可化为或
由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1
答案 －2
解析 由函数y＝f(x)的图象与y＝2x－a的图象关于直线y＝－x对称，可得f(x)＝－a－log2(－x)，由f(－2)＋f(－4)＝1，可得－a－log22－a－log24＝1，解得a＝－2.
9．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个实数根，则k的取值范围是__________．
答案
解析 由题意作出f(x)在[－1,3]上的示意图如图所示，记y＝k(x＋1)＋1，∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．
记B(2,0)，由图象知，方程有四个实数根，
即函数f(x)与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，
故kAB
答案 (4,5)
解析 作出函数f(x)的图象，函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4,5)．
11．已知函数f(x)＝的值域为[0,2]，则实数a的取值范围是__________．
答案 [1，]
解析 先作出函数f(x)＝log2(1－x)＋1，－1≤x<0的图象，再研究f(x)＝x3－3x＋2,0≤x≤a的图象．
令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1(x＝－1舍去)，由f′(x)>0，得x>1，
由f′(x)<0，得0
12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当实数m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，
G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；
当0
因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．
13．已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是( )
A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
答案 D
解析 函数f(x)的图象如图实线部分所示，
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x1|<|x2|，
∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)－f(x2)<0.
14．已知函数f(x)＝，g(x)＝1＋，若f(x)
解析 f(x)＝
g(x)＝作出两函数的图象如图所示．
当0≤x<1时，由－1＋＝x＋1，解得x＝；当x>1时，由1＋＝x＋1，解得x＝.结合图象可知，满足f(x)
15．已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则实数k的取值范围是__________．
答案
解析 由题意知，直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象至少有3个公共点．函数y＝f(x)，x∈[0,6]的图象如图所示，由图知k的取值范围是.
16．已知函数g(x)＝|x－k|＋|x－2|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数k的取值范围．
解 对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，即f(x)max≤g(x)min.
观察f(x)＝的图象可知，
当x＝时，函数f(x)max＝.
因为g(x)＝|x－k|＋|x－2|≥|x－k－(x－2)|＝|k－2|，
所以g(x)min＝|k－2|，所以|k－2|≥，
解得k≤或k≥.
故实数k的取值范围是∪.
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