2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ2.5

§2.5　指数与指数函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解指数函数模型的实际背景．
2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．
4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.



1．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N＋，且为既约分数)；正数的负分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N＋，且为既约分数)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质：aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα，其中a>0，b>0，α，β∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0 图象


定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；
当x<0时，0 (5)当x>0时，0 当x<0时，y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数

概念方法微思考
1．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为________．

提示　c>d>1>a>b>0
2．结合指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质说明ax>1(a>0，a≠1)的解集跟a的取值有关．
提示　当a>1时，ax>1的解集为{x|x>0}；当01的解集为{x|x<0}．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a(n∈N＋)．(　×　)
(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　×　)
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　)
(4)若am0，且a≠1)，则m (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　√　)
题组二　教材改编
2．化简(x<0，y<0)＝________.
答案　－2x2y
3．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________.
答案　
解析　由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.

4．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
答案　c 解析　∵y＝x是R上的减函数，
∴>>，
即a>b>1，
又c＝<＝1，
∴c 题组三　易错自纠
5．计算：×0＋×－＝________.
答案　2
解析　原式＝×1＋×－＝2.
6．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝______.
答案　2
解析　由指数函数的定义可得解得a＝2.
7．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．
答案　(－，－1)∪(1，)
解析　由题意知0 得－ 8．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
答案　或
解析　当0 ∴a＝或a＝0(舍去)．
当a>1时，a2－a＝，
∴a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝或.

题型一　指数幂的运算
1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．＝
答案　D
解析　对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，＝，故D正确．
2．计算：＋－10(－2)－1＋π0＝________.
答案　－
解析　原式＝－2＋－＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
3．化简：(a>0，b>0)＝________.
答案　
解析　原式＝2×＝21＋3×10－1＝.
4．化简：＝________(a>0)．
答案　a2
解析　原式＝

思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
题型二　指数函数的图象及应用
例1 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0 答案　D
解析　由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0 (2)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
答案　D
解析　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，

∵af(c)>f(b)，结合图象知，
00，
∴0<2a<1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
∴f(c)<1，∴0 ∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又∵f(a)>f(c)，
∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故选D.
思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练1 (1)已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：
①0 其中不可能成立的关系式有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案　B
解析　如图，观察易知，a，b的关系为a
(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．
答案　1
解析　方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．

题型三　指数函数的性质及应用

命题点1　比较指数式的大小
例2 (1)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．b C．b 答案　A
解析　由a15＝＝220，b15＝＝212，c15＝255>220，可知b15 (2)若－1”连接)
答案　3a>a3>
解析　易知3a>0，<0，a3<0，又由－1，因此3a>a3>.
命题点2　解简单的指数方程或不等式
例3 (1)(2018·包头模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．
答案　
解析　当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，代入不成立．故a的值为.
(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________________．
答案　{x|x>4或x<0}
解析　∵f(x)为偶函数，
当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，
∴f(x)＝
当f(x－2)>0时，有或
解得x>4或x<0.
∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
命题点3　指数函数性质的综合应用
例4 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
答案　(－∞，4]
解析　令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
(2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．
答案　[0，＋∞)
解析　设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，
所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．
(3)若函数f(x)＝有最大值3，则a＝________.
答案　1
解析　令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　)
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定
答案　A
解析　∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)关于x＝1对称，
易知b＝2，c＝3，
当x＝0时，b0＝c0＝1，∴f(bx)＝f(cx)，
当x>0时，3x>2x>1，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(bx) 当x<0时，3x<2x<1，又f(x)在(－∞，1)上单调递减，
∴f(bx) 综上，f(bx)≤f(cx)．
(2)已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，则f(a)，f(b)的大小关系是__________．
答案　f(b) 解析　易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，
又a＝＝>＝b，
∴f(a)>f(b)．
(3)若不等式1＋2x＋4x·a≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是____________．
答案　
解析　从已知不等式中分离出实数a，
得a≥－.∵函数y＝x＋x在R上是减函数，∴当x∈(－∞，1]时，x＋x≥＋＝，从而得－≤－.
故实数a的取值范围为.


1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a 答案　C
解析　因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.51，所以b 2．已知函数f(x)＝5x，若f(a＋b)＝3，则f(a)·f(b)等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．25
答案　A
解析　∵f(x)＝5x，∴f(a＋b)＝5a＋b＝3，∴f(a)·f(b)＝5a×5b＝5a＋b＝3.故选A.
3．(2018·大连模拟)已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1 A．0 C．1 答案　C
解析　∵当x>0时，11.
∵当x>0时，bx0时，x>1.
∴>1，∴a>b，∴1 4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为(　　)
A．[9,81] B．[3,9] C．[1,9] D．[1，＋∞)
答案　C
解析　由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，
因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，
f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.
故选C.
5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案　B
解析　由f(1)＝，得a2＝，
所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.
6．已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3] B．[－3,0) C．[－3，－1] D．{－3}
答案　B
解析　当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x<0时，f(x)∈，所以
[－8,1]，即－8≤－<－1，即－3≤a<0.所以实数a的取值范围是[－3，0)．
7．若“m>a”是“函数f(x)＝x＋m－的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为________．
答案　－1
解析　f(0)＝m＋，∴函数f(x)的图象不过第三象限等价于m＋≥0，即m≥－，∵“m>a”是“m≥－”的必要不充分条件，∴a<－，则实数a能取的最大整数为－1.
8．不等式>x＋4的解集为________．
答案　(－1,4)
解析　原不等式等价于>2－x－4，
又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x>－x－4，
即x2－3x－4<0，∴－1 9．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案　(－1,2)
解析　原不等式变形为m2－m 因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，
所以x≥－1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m 10．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
答案　0
解析　当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝
f(－x)＝2－x－＝－2x为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，
所以函数g(x)的最小值是0.
11．已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y＝x－1－4x＋2的最大值和最小值．
解　由9x－10·3x＋9≤0，得(3x－1)(3x－9)≤0，
解得1≤3x≤9，即0≤x≤2.
令x＝t，则≤t≤1，y＝4t2－4t＋2＝42＋1.
当t＝，即x＝1时，ymin＝1；
当t＝1，即x＝0时，ymax＝2.
12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，
所以
所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，x＋x－m≥0恒成立，即m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝x与y＝x在(－∞，1]上均为减函数，所以y＝x＋x在(－∞，1]上也是减函数，所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.

13．(2018·呼和浩特调研)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)
A. B．[0,1] C. D．[1，＋∞)
答案　C
解析　令f(a)＝t，则f(t)＝2t.
当t<1时，3t－1＝2t，令g(t)＝3t－1－2t，则g′(t)＝3－2tln 2，当t<1时，g′(t)>0，g(t)在
(－∞，1)上单调递增，即g(t) 当t≥1时，2t＝2t成立，由f(a)≥1，得a<1，且3a－1≥1，解得≤a<1；a≥1，且2a≥1，解得a≥1.
综上可得a的取值范围是.故选C.


14．若函数f(x)＝2|x＋a|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)在区间[m，n]上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)max－f(x)min＝3，则n－m的取值范围是______________．
答案　(0,4]
解析　因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝－1，
所以f(x)＝2|x－1|.
作出函数y＝f(x)的图象如图所示．

当m
15．设f(x)＝|2x－1－1|，af(c)，则2a＋2c______4.(选填“>”“<”“＝”)
答案　<
解析　f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.
若c≤1，则2a<2,2c≤2，故2a＋2c<4；
若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，
即2c－1＋2a－1<2，即2a＋2c<4.
综上知，总有2a＋2c<4.
16．已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围．
解　(1)f(x)＝－＋4
＝2x－2λ·x＋4(－1≤x≤2)．
设t＝x，得g(t)＝t2－2λt＋4.
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4
＝2＋.
所以g(t)max＝g＝，g(t)min＝g＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函数f(x)的值域为.
(2)方程f(x)＝0有解可转化为
λ＝2·2x＋·(－1≤x≤2)．
设φ(x)＝2·2x＋，
当2x＝，即x＝－1时，φ(x)min＝2；
当2x＝4，即x＝2时，φ(x)max＝.
∴函数φ(x)的值域为.
故实数λ的取值范围是.