2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十章第五节古典概型与几何概型

第五节古典概型与几何概型1.古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性. (2)古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率.(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同名称不同点相同点频率计算公式频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值都计算了一个比值古典概型的概率计算公式是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化2.几何概型(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等.(3)计算公式：P(A)＝.几何概型应用中的关注点1关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性. [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.(　　)(2)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限.(　　)(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件.(　　)(4)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√二、选填题1.一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为(　　)A.　　　　　　　　　 B.C. D.解析：选D　一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P＝＝.2.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是(　　)A.　　　　　　　　　 B.C. D.解析：选C　试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P＝.3.已知四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)A. B.1－C. D.1－解析：选B　如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P＝＝＝1－.4.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________.解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，故所求概率P＝＝.答案：5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.解析：P＝1－＝1－＝.答案：[典例精析](1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)A.　　　　　　　　　 B.C. D.(2)(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是(　　)A. B.C. D.[解析]　(1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率P＝＝.(2)投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为所以a和b的组合有36种.若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4a.当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝.[答案]　(1)C　(2)C[解题技法]1.古典概型的概率求解步骤(1)求出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.(3)代入公式P(A)＝求解.2.基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型.(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法.(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求.(4)运用排列组合知识计算.[过关训练]1.(2019·益阳、湘潭调研)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是(　　)A. B.C. D.解析：选C　若函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是＝.2.从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(　　)A. B.C. D.解析：选C　由题意得，所求概率P＝＝.3.将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是(　　)A. B.C. D.解析：选B　A，B，C，D 4名同学排成一排有A＝24种排法.当A，C之间是B时，有2×2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排法，所以所求概率P＝＝.[考法全析]类型(一)　与长度有关的几何概型[例1]　(2019·濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于(　　)A.　　　　　　　　　 B.C. D.[解析]　∵f(x)＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4或m≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m，函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率P＝＝，故选D.[答案]　D类型(二)　与面积有关的几何概型[例2]　(1)(2018·潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是(　　)A.　　　　　　　 B.C. D.(2)(2019·洛阳联考)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是(　　)A. B.C. D.[解析]　(1)设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC＝1，则BG＝CG，∠BGC＝120°，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2＋BG2－2BG2cos 120°，得BG＝，所以S△BCG＝×BG×BG×sin 120°＝×××＝，因为S六边形ABCDEF＝S△BOC×6＝×1×1×sin 60°×6＝，所以该点恰好在图中阴影部分的概率P＝1－＝.(2)由题意知圆O的面积为π3，正弦曲线y＝sin x，x∈[－π，π]与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得区域M的面积S＝2  sin xdx＝－2cos x ＝4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P＝.[答案]　(1)C　(2)B类型(三)　与体积有关的几何概型[例3]　已知在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O ­ABCD的体积不小于的概率为________.[解析]　当四棱锥O ­ABCD的体积为时，设O到平面ABCD的距离为h，则×22×h＝，解得h＝.如图所示，在四棱锥P­ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为.因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以＝，又四棱锥P­ABCD与四棱锥P­EFGH相似，所以四棱锥O ­ABCD的体积不小于的概率P＝＝3＝3＝.[答案]　类型(四)　与角度有关的几何概型[例4]　如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.[解析]　连接AC，如图，因为tan∠CAB＝＝，所以∠CAB＝，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内，且AP与AC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，所以射线AP与线段BC有公共点的概率P＝＝＝.[答案]　[规律探求]看个性类型(一)与类型(四)分别讲的是与长度有关和与角度有关的几何概型.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).类型(二)是与面积有关的几何概型.求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.类型(三)是与体积有关的几何概型.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解找共性建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量.(1)若一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，则只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个连续变量来描述，则可用这两个变量组成的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系即可建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型[过关训练]1.(2019·豫东名校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF­BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F­AMCD内的概率为(　　)A.　　　　　　　　　 B.C. D.解析：选D　由题图可知VF­AMCD＝×S四边形AMCD×DF＝a3，VADF­BCE＝a3，所以它飞入几何体F­AMCD内的概率P＝＝.2.在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥”发生的概率为________.解析：由题意可得即解得0≤x≤，故所求的概率为＝.答案：3.(2018·唐山模拟)向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________.解析：如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为×π×2－×2×＝π－，所以向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P＝－.答案：－