2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第十章第四节古典概型与几何概型

第四节　古典概型与几何概型

突破点一　古典概型

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

3．古典概型的概率公式

P(A)＝.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　)

(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　　)

(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、填空题

1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________．

答案：

2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．

答案：

3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

答案：

[典例]　(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

[解]　(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．

②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．

所以事件M发生的概率P(M)＝.

1．求古典概型概率的步骤

(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；

(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率．

2．求基本事件个数的三种方法

(1)列举法：把所有的基本事件一一列举出来，此方法适用于情况相对简单的试验题．

(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数．

(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．　　　　

[针对训练]

1．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选C　不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为＝.故选C.

2．(2019·大同一中月考)甲、乙两人玩一种游戏，在装有质地、大小完全相同，编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．

(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率．

(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．

解：(1)设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包括的基本事件有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36个等可能的结果，

故P(A)＝.

(2)这种游戏规则是公平的．

设甲赢为事件B，乙赢为事件C，由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18个．

所以甲赢的概率P(B)＝＝，故乙赢的概率P(C)＝1－＝＝P(B)，

所以这种游戏规则是公平的．

突破点二　几何概型

1．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2．几何概型的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；

(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．

3．几何概型的概率公式

P(A)＝.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　　)

(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　　)

(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√

二、填空题

1．已知球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________．

答案：1－

2．已知四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．

答案：1－

3．已知函数f(x)＝2x(x＜0)，其值域为D，在区间(－1,2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．

答案：

考法一　与长度、角度有关的几何概型　

[例1]　(1)(2019·成都毕业班摸底)在区间[－4,1]上随机地取一个实数x，若x满足|x|＜a的概率为，则实数a的值为(　　)

A.　　　　　　　　　 　B．1

C．2   D．3

(2)(2019·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是(　　)

A.  B.

C.  D.

[解析]　(1)设集合A＝{x||x|＜a}＝(－a，a)(a＞0)，若0＜a≤1，则A⊆[－4,1]，由几何概型的意义，得P(A)＝＝，解得a＝2，不符合题意，若a＞1，则P(A)＝＝，解得a＝3，符合题意，故选D.

(2)记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如图，记的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝，故选A.

[答案]　(1)D　(2)A

[方法技巧]

1．与长度有关的几何概型

如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．

2．与角度有关的几何概型

当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．　

考法二　与面积有关的几何概型　

[例2]　(1)(2019·惠州调研)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为(　　)

A．866   B．500

C．300   D．134

(2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

[解析]　(1)设勾为a，则股为a，所以弦为2a，小正方形的边长为a－a，所以题图中大正方形的面积为4a2，小正方形的面积为(－1)2a2，所以小正方形与大正方形的面积比为＝1－，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为×        1 000≈134.

(2)设正方形ABCD的边长为1，则可求得S总＝3，S阴影＝2×××1×＝1，所以所求概率为P＝，故选A.

[答案]　(1)D　(2)A

[方法技巧]

求解与面积有关的几何概型的关键点

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．　　

考法三　与体积有关的几何概型　

[例3]　(2019·陕西部分学校摸底)在球O内任取一点P，则点P在球O的内接正四面体中的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

[解析]　设球O的半径为R，球O的内接正四面体的棱长为a，所以正四面体的高为a，所以R2＝2＋2，即a＝2R，所以正四面体的棱长为，底面面积为××R＝R2，高为，所以正四面体的体积为R3，又球O的体积为  R3，所以P点在球O的内接正四面体中的概率为，故选C.

[答案]　C

[方法技巧]

求解与体积有关的几何概型的关键点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．　　

1.已知函数f(x)＝sin x＋3cos x，当x∈[0，π]时，f(x)≥ 的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　f(x)＝sin x＋3cos x＝2sin，

∵x∈[0，π]，∴x＋∈，令f(x)≥ ，

得sin≥，得≤x＋≤，∴0≤x≤，

∴f(x)≥ 的概率为.

2.在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

解析：正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为×πr3＝×π×13＝π，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝1－.

答案：1－

3.某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．

解析：设正三角形的边长为a，圆的半径为R，则正三角形的面积为a2.

由正弦定理得2R＝，即R＝a.所以圆的面积S＝πR2＝πa2.

由几何概型的概率计算公式得概率P＝＝.

答案：