2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章第七节抛物线

第七节抛物线

1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内；

(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；

(3)定点不在定直线上．❶

其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程❷和几何性质

若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线．

四种不同抛物线方程的异同点

[熟记常用结论]

设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；

(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；

(3)＋＝；

(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；

(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)

(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　)

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)

(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、选填题

1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　)

A.　　　　　　　 B.

C. D.

解析：选C　抛物线的标准方程为x2＝y，所以焦点坐标是.

2．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为(　　)

A．y2＝8x B.y2＝－8x

C．x2＝8y D．x2＝－8y

解析：选C　点P到F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与它到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.

3．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线方程是(　　)

A．y2＝－8x B.y2＝－4x

C．y2＝8x D．y2＝4x

解析：选C　由抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，知p＝4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x.

4．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________．

解析：当焦点在x轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的y＝0，得焦点为(－1,0)，

故抛物线方程为y2＝－4x，

当焦点在y轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的x＝0，得焦点为(0，－2)，

故抛物线方程为x2＝－8y.

答案：y2＝－4x或x2＝－8y

5．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．

解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，

又准线方程为y＝－，

设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.

答案：

考点一  抛物线的定义及应用[师生共研过关]

[典例精析]

(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)

A.　　　　　　　　　 B．1

C. D．2

(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

[解析]　(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.

又点P到焦点F的距离为2，

∴由定义知点P到准线的距离为2.

∴xP＋1＝2，∴xP＝1.

代入抛物线方程得|yP|＝2，

∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.

(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，

则|P1Q|＝|P1F|.

则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，

即|PB|＋|PF|的最小值为4.

[答案]　(1)B　(2)4

1．(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

解析：由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．

∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，

∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，

即|PB|＋|PF|的最小值为2.

答案：2

2．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．

解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，

由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.

答案：

[解题技法]

与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．

[提醒]　注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.

[过关训练]

1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．

解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．

答案：(2,2)

2．(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.

解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.

答案：

考点二  抛物线的标准方程与几何性质[师生共研过关]

[典例精析]

(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)

A．(－1,0)　　　　　　　 B．(1,0)

C．(0，－1) D．(0,1)

(2)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　)

A．y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x

[解析]　(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．

(2)由已知得抛物线的焦点F设点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，

因而y0＝4，M.

由|MF|＝5，得 ＝5.又p＞0，解得p＝2或p＝8.故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.

[答案]　(1)B　(2)C

[解题技法]

1．求抛物线标准方程的方法

(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．

(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．

2．抛物线性质的应用技巧

(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．

(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．

[过关训练]

1．(2019·武汉调研)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为(　　)

A．y2＝9x　　　　　　 B．y2＝6x

C．y2＝3x D．y2＝x

解析：选B　如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.

2．(2018·合肥模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．

解析：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M.因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.

答案：x2＝4y

考点三  直线与抛物线的位置关系[师生共研过关]

[典例精析]

设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，

故直线AB的斜率k＝＝＝1.

(2)由y＝，得y′＝x.

设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M.

设直线AB的方程为y＝x＋m，

故线段AB的中点为N(1,1＋m)，|MN|＝.

将y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0.

由Δ＝4＋8m＞0，得m＞－，x1,2＝1±.

从而|AB|＝|x1－x2|＝2.

由题设知|AB|＝2|MN|，

即＝，解得m＝.

所以直线AB的方程为y＝x＋.

[解题技法]

1．直线与抛物线交点问题的解题思路

(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．

(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．

2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法

(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．

[提醒]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．

[过关训练]

1．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则∴y－y＝4(x1－x2)，

∴k＝＝.

设AB中点为M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，

则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．

∵M′(x0，y0)为AB中点，

∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴，

∴y1＋y2＝2，∴k＝2.

答案：2

2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.

(1)求抛物线C的方程；

(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．

解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，

∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，

∴抛物线C的方程为y2＝8x.

(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.

由得y2－8y－8m＝0，

Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.

y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，

∴x1x2＝＝m2.

由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，

∴m＝8或m＝0(舍去)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8,0)．

故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|＝3＝24.