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    2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档:第六章第五节 合情推理与演绎推理 学案
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    2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档:第六章第五节 合情推理与演绎推理 学案

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    五节 合情推理与演绎推理

    2019考纲考题考情

    1合情推理

    (1)归纳推理

    定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。

    特点:是由部分整体、由个别一般的推理。

    (2)类比推理

    定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理。

    特点:是由特殊特殊的推理。

    2演绎推理

    (1)演绎推理

    从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理。简言之,演绎推理是由一般特殊的推理。

    (2)三段论是演绎推理的一般模式

    大前提——已知的一般原理

    小前提——所研究的特殊情况

    结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断。

     

     

     

    1合情推理包括归纳推理和类比推理,其结论是猜想,不一定正确,若要确定其正确性,则需要证明。

    2.在进行类比推理时,要从本质上去类比,只从一点表面现象去类比,就会犯机械类比的错误。

    3.应用三段论解决问题时,要明确什么是大前提、小前提,如果前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的。若大前提或小前提错误,尽管推理形式是正确的,但所得结论是错误的。

    一、走进教材

    1(选修12P35AT4改编)对于任意正整数n,2nn2的大小关系为(  )

    A.当n2时,2nn2   B.当n3时,2nn2

    C.当n4时,2n>n2   D.当n5时,2n>n2

    解析 n2时,2nn2;当n3时,2n<n2;当n4时,2nn2;当n5时,2n>n2;当n6时,2n>n2;归纳判断,当n5时,2n>n2。故选D

    答案 D

    2(选修12P35AT6改编)在等差数列{an}中,若a100,则有a1a2ana1a2a19n(n<19,且nN*)成立。类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b91,则存在的等式为________

    解析 根据类比推理的特点可知:等比数列和等差数列类比,在等差数列中是和,在等比数列中是积,故有b1b2bnb1b2b17n(n<17,且nN*)

    答案 b1b2bnb1b2b17n(n<17,且nN*)

    二、走近高考

    3(2017·全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩。根据以上信息,则(  )

    A.乙可以知道四人的成绩

    B.丁可以知道四人的成绩

    C.乙、丁可以知道对方的成绩

    D.乙、丁可以知道自己的成绩

    解析 由于甲不知道自己的成绩,故乙、丙的成绩中一个为优秀、一个为良好,所以丁看到甲的成绩后一定能断定自己的成绩,乙看到丙的成绩后可以知道自己的成绩。故选D

    答案 D

    4(2016·全国卷)有三张卡片,分别写有12,13,23,甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:我与乙的卡片上相同的数字不是2,乙看了丙的卡片后说:我与丙的卡片上相同的数字不是1,丙说:我的卡片上的数字之和不是5,则甲的卡片上的数字是________

    解析 由题意得,丙不拿23。若丙拿12,则乙拿23,甲拿13,满足题意;若丙拿13,则乙拿23,甲拿12,不满足题意。故甲的卡片上的数字是13

    答案 13

    三、走出误区

    微提醒:归纳推理没有找出规律;类比推理类比规律错误。

    5.已知x(0,+),观察下列各式:

    x2

    x3

    x4

    ……

    类比得,xn1(nN*),则a________

    解析 由已知三个式子知n1时,a1n2时,a224n3时,a3327,由此归纳可得ann

    答案 nn

    6.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体PABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则________

    解析 从平面图形类比空间图形,从二维类比三维,可得如下结论:正四面体的外接球和内切球的半径之比为31,故正四面体PABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于3

    答案 

    考点一  归纳推理

    【例1】 (1)已知13232,1323332,132333432。若13233343n33 025,则n(  )

    A8    B9  C10    D11

    (2)(2019·湖南五市十校联考)是美丽的勾股树,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到。图是第1勾股树,重复图的作法,得到图为第2勾股树,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n勾股树所有正方形的面积的和为(  )

    An   Bn2

    Cn1   Dn1

    解析 (1)观察所提供的式子可知,等号左边最后一个数是n3时,等号右边的数为2,因此,令23 025,则55,所以n10。故选C

    (2)最大的正方形面积为1,当n1时,由勾股定理知正方形面积的和为2,依次类推,可得所有正方形面积的和为n1。故选D

    答案 (1)C (2)D

     

    归纳推理是从特殊到一般的推理,所以应根据题中所给的现有的图形、数据、结构等着手分析,从而找出一般性的规律或结论。

    【变式训练】 (2019·山东淄博模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗:挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟。在这里,我们称形如以下形式的等式具有穿墙术2345,则按照以上规律,若8具有穿墙术,则n(  )

    A35   B48

    C63   D80

    解析 根据规律得31×382×4,153×5,244×6,所以n7×963。故选C

    答案 C

    考点二  类比推理

    【例2】 (1)二维空间中,圆的一维测度(周长)lr,二维测度(面积)Sπr2,三维空间中,球的二维测度(表面积)Sr2,三维测度(体积)Vπr3,应用合情推理,若四维空间中,超球的三维测度Vr3,则其四维测度W(  )

    Ar4   Br4

    Cr4   Dr4

    (2)P0(x0y0)在椭圆1(a>b>0)外,过P0作椭圆的两条切线的切点为P1P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是1。那么对于双曲线则有如下命题:若P0(x0y0)在双曲线1(a>0b>0)外,过P0作双曲线的两条切线,切点为P1P2,则切点弦P1P2所在直线的方程是________

    解析 (1)由题意得,二维空间中,二维测度的导数为一维测度;三维空间中,三维测度的导数为二维测度。由此归纳,在四维空间中,四维测度的导数为三维测度,故Wr4。故选A

    (2)由椭圆与双曲线类比可得,切点弦P1P2所在的直线方程为1

    答案 (1)A (2)1

     

    1进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想。其中找到合适的类比对象是解题的关键。

    2.类比推理常见的情形有平面与空间类比;低维的与高维的类比;等差数列与等比数列类比;数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的类比等。

    【变式训练】 (2019·桂林模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。它体现了一种无限与有限的转化过程。比如在表达式1“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1x求得x。类比上述过程,则 ________

    解析 由题意可得x(x0),整理得(x1)(x2 018)0(x0),解得x2 018,即

    2 018

    答案 2 018

    考点三  演绎推理

    【例3】 (1)有一段三段论推理是这样的:对于可导函数f(x),若f(x0)0,则xx0是函数f(x)的极值点,因为f(x)x3x0处的导数值为0,所以x0f(x)x3的极值点,以上推理(  )

    A.大前提错误   B.小前提错误

    C.推理形式错误   D.结论正确

    (2)(2019·湖南模拟)天干地支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支。十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由起,地支由起,例如,第一年为甲子,第二年为乙丑,第三年为丙寅……,以此类推,排列到癸酉后,天干回到重新开始,即甲戌”“乙亥,然后地支回到重新开始,即丙子,以此类推。已知1949年为己丑年,那么到中华人民共和国成立80年时为________(  )

    A.丙酉  B.戊申  C.己申  D.己酉

    解析 (1)大前提是对于可导函数f(x),若f(x0)0,则xx0是函数f(x)的极值点,不是真命题,因为对于可导函数f(x),如果f(x0)0,且满足在x0附近左右两侧导函数值异号,那么xx0才是函数f(x)的极值点,所以大前提错误。故选A

    (2)天干以10循环,地支以12循环,从1949年到2029年经过80年,且1949年为己丑年,以1949年的天干和地支分别为首项,80÷108,则2029年的天干为己;80÷126……8,则2029年的地支为酉。故选D

    答案 (1)A (2)D

     

    演绎推理的推证规则

    1.演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略。

    2.在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成。

    【变式训练】 (1)三段论推理:任何实数的绝对值大于0,因为a是实数,所以a的绝对值大于0。你认为这个推理(  )

    A.大前提错误   B.小前提错误

    C.推理形式错误   D.是正确的

    (2)在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同,甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和。那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为________

    解析 (1)实数0的绝对值等于0,不大于0,大前提错误。

    (2)因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和,甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,所以乙的阅读量大于丙的阅读量,甲的阅读量大于丁的阅读量,因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和,所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙。

    答案 (1)A (2)甲、丁、乙、丙

    1(配合例1使用)(1)给出以下数对序列:

    (1,1)

    (1,2)(2,1)

    (1,3)(2,2)(3,1)

    (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)

    ……

    记第i行的第j个数对为aij,如a43(3,2),则anm(  )

    A(mnm1)   B(m1nm)

    C(m1nm1)   D(mnm)

    (2)观察下列式子:1,121,12321,1234321,由以上可推测出一个一般性结论:对于nN*,则12n21________

    解析 (1)由前4行的特点,归纳可得:若anm(ab),则ambnm1,所以anm(mnm1)

    (2)112,121422,12321932,12343211642,归纳猜想可得12n21n2

    答案 (1)A (2)n2

    2(配合例2使用)如图,在ABC中,O为其内切圆圆心,过O的直线将三角形面积分为相等的两部分,且该直线与ACBC分别相交于点FE,则四边形ABEFCEF的周长相等。试将此结论类比到空间,写出一个与其相关的命题,并证明该命题的正确性。

    解 如图,截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O,且与BCDC分别交于点EF,若截面将四面体分为体积相等的两部分,则四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积相等。

    下面证明该结论的正确性:

    设内切球半径为R

    VABEFD(SABDSABESADFS四边形BEFD)×RVAEFC(SAECSACFSECF)×R

    SABDSABESADFS四边形BEFDSAECSACFSECF,两边同加SAEF可得结论。

    3(配合例3使用)数列{an}的前n项和记为Sn,已知a11an1Sn(nN*)。证明:

     

    (1)数列是等比数列;

    (2)Sn14an

    证明 (1)因为an1Sn1Snan1Sn

    所以(n2)Snn(Sn1Sn)

    nSn12(n1)Sn

    (小前提)

    是以2为公比,1为首项的等比数列。(结论)

    (大前提是等比数列的定义)

    (2)(1)可知数列是等比数列,(大前提)

    所以(n2)

    Sn14(n1)··Sn14an(n2)

    a23S13S2a1a21344a1(小前提)

    所以对于任意正整数n,都有Sn14an(结论)

     

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