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    2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档:选修4-4第二节 参数方程 学案

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    第二节 参 数 方 程

    2019考纲考题考情

     

     

    1参数方程的概念

    一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标xy都是某个变数t的函数:并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(xy)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,t叫做参变数,简称参数。相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程

    2直线的参数方程

    过定点P0(x0y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数),则参数t的几何意义是有向线段的数量。

    3圆的参数方程

    圆心为(ab),半径为r,以圆心为顶点且与x轴同向的射线,按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角α为参数的圆的参数方程为(α为参数)α[0,2π)

    4椭圆的参数方程

    以椭圆的离心角θ为参数,椭圆1(ab0)的参数方程为(θ为参数)θ[0,2π)

    1将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量xy取值范围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围,确定函数f(t)g(t)的值域,即xy的取值范围。

    2.直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义且几何意义为:|t|是直线上任一点M(xy)M0(x0y0)的距离。

    一、走进教材

    1(选修44P26T4改编)在平面直角坐标系中,曲线C(t为参数)的普通方程为________

    解析 消去t,得xy1,即xy10

    答案 xy10

    2(选修44P372改编)在平面直角坐标系xOy中,若直线l(t为参数)过椭圆C(φ为参数)的右顶点,求常数a的值。

    解 直线l的普通方程为xya0

    椭圆C的普通方程为1

    所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)

    若直线l(3,0),则3a0,所以a3

    二、走出误区

    微提醒:不注意互化的等价性致误;直线参数方程中参数t的几何意义不清致误;交点坐标计算出错致误。

    3.若曲线C的参数方程为(θ为参数),则曲线C上的点的轨迹是(  )

    A.直线x2y20

    B.以(2,0)为端点的射线

    C.圆(x1)2y21

    D.以(2,0)(0,1)为端点的线段

    解析 将曲线C的参数方程化为普通方程得x2y20(0x2,0y1)。故选D

    答案 D

    4.已知直线(t为参数)上两点AB对应的参数值是t1t2,则|AB|(  )

    A|t1t2| B|t1t2|

    C|t1t2| D

    解析 依题意,A(x0at1y0bt1)

    B(x0at2y0bt2),则|AB|

    |t1t2|。故选C

    答案 C

    5.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθsinθ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1C2交点的直角坐标为________

    解析 ρ(cosθsinθ)=-2,得xy=-2

    消去t,得y28x

    联立①②即交点坐标为(2,-4)

    答案 (2,-4)

     

    考点一  参数方程与普通方程的互化

    1】 把下列参数方程化为普通方程。

    (1)(t为参数)

    (2)(θ为参数,θ[0,2π))

    解 (1)由已知得t2x2,代入y5t中得y5(2x2)

    即它的普通方程为xy50

    (2)因为sin2θcos2θ1,所以x2y1

    y1x2。又因为|sinθ|1

    所以其普通方程为y1x2(|x|1)

    将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其中的xy(它们都是参数的函数)的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普

    通方程与参数方程的等价性。参数方程化普通方程常用的消参技巧有:代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等。

    【变式训练】 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsinm

    (1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;

    (2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围。

    解 (1)由曲线C1的参数方程为

    (α为参数),可得其普通方程为yx2(2x2)

    由曲线C2的极坐标方程为ρsinm,可得其直角坐标方程为xym0

    (2)联立曲线C1与曲线C2的方程,

    可得x2xm0

    所以mx2x2

    因为-2x2,曲线C1与曲线C2有公共点,

    所以-m6

    考点二  直线参数方程的应用

    2】 (2018·全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数)

    (1)Cl的直角坐标方程;

    (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率。

    解 (1)曲线C的直角坐标方程为1

    cosα0时,l的直角坐标方程为ytanα·x2tanα,当cosα0时,l的直角坐标方程为x1

    (2)l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(13cos2α)t24(2cosαsinα)t80

    因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)C内,所以有两个解,设为t1t2,则t1t20

    又由t1t2=-

    2cosαsinα0,于是直线l的斜率ktanα=-2

    1直线的参数方程有多种形式,只有标准形式中的参数才具有几何意义,即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离。

    2.根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义,有如下常用结论:

    (1)若直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1t2,则弦长l|t1t2|

    (2)若定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(M1M2对应的参数分别为t1t2,下同)的中点,则t1t20

    (3)设线段M1M2的中点为M,则点M对应的参数为tM

    【变式训练】 (2019·西安八校联考)以平面直角坐标系的坐标原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ4cosθ

    (1)求曲线C的直角坐标方程;

    (2)设直线l与曲线C相交于AB两点,求|AB|

    解 (1)ρsin2θ4cosθ,可得ρ2sin2θ4ρcosθ

    所以曲线C的直角坐标方程为y24x

    (2)将直线l的参数方程代入y24x

    整理得4t28t70

    所以t1t2=-2t1t2=-

    所以|AB||t1t2|× ×

    考点三  圆与椭圆参数方程的应用

    3】 (2017·全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数)

    (1)a=-1,求Cl的交点坐标;

    (2)C上的点到l距离的最大值为,求a

    解 (1)曲线C的普通方程为y21

    a=-1时,直线l的普通方程为x4y30

    解得

    从而Cl的交点坐标为(3,0)

    (2)直线l的普通方程为x4ya40

    C上的点(3cosθsinθ)l的距离为

    d

    其中sinφcosφ

    a4时,d的最大值为

    由题设得,所以a8

    a<4时,d的最大值为

    由题设得,所以a=-16

    综上,a8a=-16

    椭圆的参数方程实质是三角代换,有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解。

    【变式训练】 (2019·安徽质检)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ22ρsin20,曲线C2的极坐标方程为θ(ρR)C1C2相交于AB两点。

    (1)C1C2的极坐标方程化为直角坐标方程,并求点AB的直角坐标;

    (2)PC1上的动点,求|PA|2|PB|2的取值范围。

    解 (1)由题意知,C1(x1)2(y1)24

    C2xy0。联立

    解得A(1,-1)B(1,1)A(1,1)B(1,-1)

    (2)P(12cosα12sinα)

    不妨设A(1,-1)B(1,1)

    |PA|2|PB|2(2cosα)2(2sinα2)2(2cosα2)2(2sinα)2168sinα8cosα168sin

    所以|PA|2|PB|2的取值范围为

    [168168]

    考点四  求曲线的参数方程

    4】 在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线lO交于AB两点。

    (1)α的取值范围;

    (2)AB中点P的轨迹的参数方程。

    解 (1)O的直角坐标方程为x2y21

    α时,lO交于两点。

    α时,记tanαk,则l的方程为ykx

    lO交于两点当且仅当<1

    解得k<1k>1,即αα

    综上,α的取值范围是

    (2)l的参数方程为

    ABP对应的参数分别为tAtBtP,则tp,且tAtB满足t22tsinα10

    于是tAtB2sinαtPsinα

    又点P的坐标(xy)满足

    所以点P的轨迹的参数方程是

    求曲线的参数方程最为关键的一点是根据题意合理恰当地选择参数,比如本题选择了直线的倾斜角α为参数,并且也要注意参数的取值范围。

    【变式训练】 如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,求圆x2y2x0的参数方程。

    解 圆的半径为,记圆心为C,连接CP,则PCx2θ

    xPcos2θcos2θ

    yPsin2θsinθcosθ(θ为参数)

    所以圆的参数方程为(θ为参数)

    1(配合例2使用)已知直线l的参数方程为(t为参数),以直角坐标系xOy的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ4sin

    (1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程;

    (2)设圆C与直线l交于AB两点,若P点的直角坐标为(2,1),求||PA||PB||的值。

    解 (1)易得直线l的普通方程为yx1

    因为曲线C的极坐标方程为ρ4sin4sinθ4cosθ,即ρ24ρsinθ4ρcosθ

    所以圆C的直角坐标方程为x2y24x4y0(或写成(x2)2(y2)28)

    (2)P(2,1)在直线l上,且在圆C内,把代入x2y24x4y0,得t2t70

    AB两点对应的参数分别为t1t2,则t1t2t1t2=-7<0,即t1t2异号,

    所以||PA||PB||||t1||t2|||t1t2|

    2(配合例3使用)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,mR),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2(0θπ)

    (1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;

    (2)已知点P是曲线C2上一点,若点P到曲线C1的最小距离为2,求m的值。

    解 (1)由曲线C1的参数方程消去参数t,可得C1的普通方程为xym0

    由曲线C2的极坐标方程得3ρ22ρ2cos2θ3θ[0π]

    所以曲线C2的直角坐标方程为y21(0y1)

    (2)设曲线C2上任意一点P的坐标为(cosαsinα)α[0π]

    则点P到曲线C1的距离d

    因为α[0π],所以cos

    2cos[2]

    由点P到曲线C1的最小距离为2得,

    m<0,则m=-4,即m=-4

    m2>0,则m24,即m6

    m2<0m>0,当|m||m2|,即m时,-m24,即m=-2,不合题意,舍去;

    |m|<|m2|,即m<时,m4,即m4,不合题意,舍去。

    综上,m=-4m6

     

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