2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第九章第二节　随机抽样 学案

第二节　随 机 抽 样

2019考纲考题考情

1．简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法。

2．系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本。

(1)先将总体的N个个体编号。

(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取k＝。

(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)。

(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本。

3．分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。

(2)分层抽样的应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样。

1．随机数法编号要求：应保证各号数的位数相同，而抽签法则无限制。

2．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的。

3．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差的整数倍。

4．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比。

一、走进教材

1．(必修3P100A组T1改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是(　　)

A．总体   B．个体

C．样本的容量   D．从总体中抽取的一个样本

解析　由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200。故选A。

答案　A

2．(必修3P64A组T6改编)在一次游戏中，获奖者可以得到5件不同的奖品，这些奖品要从由1～50编号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为某位获奖者确定5件奖品的编号可以为(　　)

A．5,15,25,35,45   B．1,3,5,7,9

C．11,22,33,44,50  D．12,15,19,23,28

解析　采用系统抽样的等距抽样法，抽样间距为＝10，随机抽取第1个奖品号，设为a(1≤a≤10)，则其他奖品号分别为10＋a,20＋a,30＋a,40＋a，所以可知A正确。

答案　A

3．(必修3P64A组T5改编)一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为(　　)

A．40 B．60

C．80 D．120

解析　因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。由B层中每个个体被抽到的概率都为，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是，所以总体中的个体数为10÷＝120。故选D。

答案　D

二、走近高考

4．(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异。为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________。

解析　由题意，不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法。

答案　分层抽样

三、走出误区

微提醒：①随机数表法的规则不熟出错；②系统抽样中先剔除部分个体，再分段；③分层抽样每层抽取的抽样比是相同的。

5．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)

A．08 B．07

C．02 D．01

解析　从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号为01。故选D。

答案　D

6．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(　　)

A．33,34,33 B．25,56,19

C．30,40,30 D．30,50,20

解析　因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25人，56人，19人。故选B。

答案　B

7．某学校为了解高一年级1 203名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，若采用系统抽样，则分段间隔为________。

解析　因为1 203除以40不是整数，所以需随机剔除3个个体，从而每一段有30个个体，则分段间隔为30。

答案　30

考点一  简单随机抽样

【例1】　(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；

②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验。在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；

③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检查；

④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛。

A．0 B．1

C．2 D．3

(2)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号________。(下面摘取了随机数表第7行至第9行)

解析　(1)①不是简单随机抽样。因为被抽取样本的总体的个体数是无限的，而不是有限的。②不是简单随机抽样。因为它是放回抽样。③不是简单随机抽样。因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取。④不是简单随机抽样。因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不具有随机性，不是等可能的抽样。故选A。

(2)找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785；第二个数916>799，舍去；第三个数955>799，舍去；第四个数567符合题意，这样再依次读出结果为199,507,175。

答案　(1)A　(2)785,567,199,507,175

抽签法与随机数表法的适用情况

1．抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况。

2．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀。一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法。

【变式训练】　(1)下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)

A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖

B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见

D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验

(2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)

A．134石 B．169石

C．338石 D．1 365石

解析　(1)A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D是简单随机抽样。故选D。

(2)设这批米内夹谷x石，则由题意知，＝，即x＝×1 534≈169。故选B。

答案　(1)D　(2)B

考点二  系统抽样

【例2】　(1)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　　)

A．50 B．40

C．25 D．20

(2)将高一(九)班参加社会实践编号为1,2,3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________。

解析　(1)由系统抽样的定义知，分段间隔为＝25。故选C。

(2)根据系统抽样的概念，所抽取的4个样本的编号应成等差数列，因为在这组数中的间距为41－29＝12，所以所求的编号为5＋12＝17。

答案　(1)C　(2)17

用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取k＝，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性。

【变式训练】　某学校采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查。现将800名学生从1到800进行编号。已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是(　　)

A．5 B．7

C．11 D．13

解析　把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组。所以第1组抽到的数为39－32＝7。故选B。

答案　B

考点三  分层抽样

【例3】　(1)(2019·河南名校联考)《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出________钱(所得结果四舍五入，保留整数)。

(2)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)。

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________。

解析　(1)按照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱为×100＝≈17。

(2)由分层抽样得＝，解得a＝30。

答案　(1)17　(2)30

1．分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠。

2．进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系

(1)＝。

(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比。

【变式训练】　(1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　)

A.90 B．100

C．180 D．300

(2)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测。若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件。

解析　(1)设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，故x＝180。故选C。

(2)由题设，抽样比为＝。设甲设备生产的产品为x件，则＝50，所以x＝3 000。故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800。

答案　(1)C　(2)1 800

1．(配合例2使用)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8。现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________。

解析　由题知分组间隔为＝8，又第1组中抽取的号码为5，所以第6组中抽取的号码为5×8＋5＝45。

答案　45

2．(配合例2使用)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示。为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)

A．100,20   B．200,20

C．200,10   D．100,10

解析　由题图①可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图②可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20。故选B。

答案　B