2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章第十二节　定积分与微积分基本定理 学案

第十二节　定积分与微积分基本定理

2019考纲考题考情

1．定积分的定义

一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx。

2．定积分的相关概念

在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。

3．定积分的性质

(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)。

(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx。

(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)。

4．定积分的几何意义

如图：

设阴影部分面积为S。

(1)S＝f(x)dx。

(2)S＝－f(x)dx。

(3)S＝f(x)dx－f(x)dx。

(4)S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx。

5．微积分基本定理

如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则f(x)dx＝F(b)－F(a)。其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。可以把F(b)－F(a)记为F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)。

1．定积分应用的两条常用结论

(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零。

(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程。

2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有

(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx。

(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0。

一、走进教材

1．(选修2－2P50A组T5改编)定积分|x|dx＝(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析　|x|dx＝ (－x)dx＋xdx＝2xdx＝x2＝1。故选A。

答案　A

2．(选修2－2P60B组T3改编)曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析　由可得或所以曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积如图为

 (x－2x－x2)dx＝＝。故选A。

答案　A

二、走近高考(近几年高考未涉及过)

3．(2015·湖南高考)  (x－1)dx＝________。

解析　(x－1)dx＝＝(2－2)－0＝0。

答案　0

4．(2015·天津高考)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________。

解析　曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，由解得x＝0或x＝1，所以S＝ (x－x2)dx＝|＝－＝。

答案　

三、走出误区

微提醒：①定积分变量误解致误；②不理解定积分的几何意义；③曲边梯形面积表达出错。

5.  (2x＋t)dx＝________。

解析　 (2x＋t)dx＝(x2＋tx)|＝1＋t。

答案　1＋t

6. dx＝________。

解析　根据几何意义可得。

答案　π

7．曲线y＝－x2(x∈[－1,1])与x轴所围成的封闭图形的面积为________。

解析　所求面积S＝－ (－x2)dx＝2x2dx＝。

答案　

考点一  定积分的计算

【例1】　(1)(sinx－cosx)dx＝________。

(2)若f(x)＝，则f(x)dx为________。

(3)设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为________。

解析　(1)(sinx－cosx)dx＝sinxdx－cosxdx＝2。

(2)由y＝＝，得(x－1)2＋y2＝4(y≥0)，表示以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x轴及其上方的部分，所以是圆面积的。所以＝·π·22＝π。

(3)因为f(x)＝因为′＝x2，(lnx)′＝，所以f(x)dx＝x2dx＋dx＝＋1＝。

答案　(1)2　(2)π　(3)

应用微积分基本定理计算定积分的步骤

1．把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差。

2．把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分。

3．分别用求导公式找到一个相应的原函数。

4．利用微积分基本定理求出各个定积分的值。

5．计算原始定积分的值。

【变式训练】　dx＋dx＝________。

解析　dx＝lnx＝1－0＝1，因为表示的是圆x2＋y2＝4在x轴及其上方的面积，故dx＝π×22＝2π，故答案为2π＋1。

答案　2π＋1

考点二  利用定积分求平面图形的面积

【例2】　(1)(2019·山西八校联考)如图，矩形OABC中曲线的方程分别是y＝sinx，y＝cosx。A，C(0,1)，在矩形OABC内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　　)

A．   B．

C．4(－1)π   D．4(－1)π

(2)(2019·唐山市摸底考试)曲线y＝与其在点(0，－1)处的切线及直线x＝1所围成的封闭图形的面积为(　　)

A．1－ln2   B．2－2ln2

C．2ln2－1   D．ln2

解析　(1)由题可知图中阴影部分的面积S＝＝2(sinx＋cosx)＝2(－1)，易知矩形OABC的面积为，所以在矩形OABC内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为。故选B。

(2)因为y＝，所以y′＝′＝，则曲线y＝在(0，－1)处的切线的斜率k＝2，切线方程为y＝2x－1，则曲线y＝与其在点(0，－1)处的切线及直线x＝1所围成的封闭图形的面积S＝dx＝dx＝[x2－2x＋2ln(x＋1)]|＝2ln2－1。故选C。

答案　(1)B　(2)C

1．利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤：画草图；解方程得积分上、下限；把面积表示为已知函数的定积分。

2．注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系。

【变式训练】　(1)曲线y＝与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形的面积为(　　)

A．2－ln2   B．2ln2－

C．2＋ln2   D．2ln2＋

(2)曲线y＝x2和曲线在点(2,1)处的切线以及x轴围成的封闭图形的面积为________。

解析　(1)解方程组得则曲线y＝与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形如图①所示，所求的面积S＝dx＝|＝(2ln2－2＋2)－＝2ln2－。

(2)设曲线y＝x2在点(2,1)处的切线为l，因为y′＝x，所以直线l的斜率k＝y′|x＝2＝1，所以直线l的方程为y－1＝x－2，即y＝x－1。当y＝0时，x－1＝0，即x＝1，所围成的封闭图形如图②所示，所以所求面积S＝x2dx－×1×1＝x3|－＝。

答案　(1)B　(2)

考点三  定积分在物理中的应用

【例3】　(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)

A．1＋25ln5  B．8＋25ln

C．4＋25ln5  D．4＋50ln2

(2)已知作用于某一质点的力F(x)＝(单位：N)，则力F(x)从x＝0处运动到x＝2处(单位：m)所做的功为________。

解析　(1)7－3t＋＝0，t＝4或t＝－＜0(舍去)。＝＝4＋25ln5，故选C。

(2)根据题意，力F所做的功为W＝x2dx＋＝x3＋＝(J)。

答案　(1)C　(2) J

定积分在物理中的两个应用

1．求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程

s＝v(t)dt。

2．变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx。

【变式训练】　(1)物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

(2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m；力的单位：N)。

解析　(1)因为物体A在t秒内行驶的路程为，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，因为(t3＋t－5t2)′＝3t2＋1－10t，所以(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5，整理得(t－5)(t2＋1)＝0，解得t＝5。故选C。

(2)变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝＝∫(x2＋1)dx＝＝342(J)。

答案　(1)C　(2)342