2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章第五节　指数与指数函数 学案

第五节　指数与指数函数

2019考纲考题考情

1．根式

(1)根式的概念

(2)两个重要公式

②()n＝a(注意a必须使有意义)。

2．有理数的指数幂

(1)幂的有关概念

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义，0的零次幂无意义。

(2)有理数指数幂的运算性质

①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)。

②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)。

③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)。

3．指数函数的图象与性质

1．指数函数图象的画法

画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，。

2．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0。由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大。

3．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究。

一、走进教材

1．(必修1P59A组T4改编)化简(x<0，y<0)＝________。

解析　因为x<0，y<0，所以＝|2x2y|＝－2x2y。

答案　－2x2y

2．(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________。

解析　由题意知＝a2，所以a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝。

答案　

答案　c<b<a

二、走近高考

答案　A

三、走出误区

微提醒：①忽视n的范围导致(a∈R)化简出错；②忽视底数的讨论出错；③忽视底数a的范围出错。

5．计算＋＝________。

解析　＋＝1＋＋|1－|＝2。

答案　2

6．若函数f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________。

解析　若a>1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝。

答案　2或

7．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

　A　　　　  B　　　　 C　　　　　D

解析　当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，此时四个选项均不对；当0<a<1时，函数y＝ax－是减函数，且其图象可视为是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的。故选D。

解析：函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象必过点(－1,0)，故选D。

答案　D

考点一  指数幂的运算

【例1】　(1)下列命题中，正确命题的个数为(　　)

①＝a；②a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③ ＝x·y；④＝。

A．0   B．1

C．2   D．3

答案　(1)B　(2)①　②

指数幂运算的一般原则

1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算。

2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数。

3．底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数。

答案　(1)　(2)－

考点二  指数函数的图象及应用

【例2】　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0

B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0

D．0<a<1，b<0

(2)(2019·厦门模拟)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________。

解析　(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1。函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0。故选D。

(2)曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)。

答案　(1)D　(2)(0,1)

【互动探究】　(1)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________。

(2)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________。

解析　(1)作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得。

(2)作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示。

由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]。

答案　(1)(0，＋∞)　(2)(－∞，－1]

指数函数图象的画法及应用

1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，。

2．与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象。

3．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解。

考点三  指数函数的性质及应用微点小专题

方向1：指数函数的单调性应用

【例3】　(1)(2019·福建厦门一模)已知a＝0.3，b＝log0.3，c＝ab，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c  B．c<a<b

C．a<c<b  D．b<c<a

(2)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝0.1的大小关系是(　　)

A．M＝N   B．M≤N

C．M<N   D．M>N

答案　(1)B　(2)D

比较指数式的大小的方法

1．能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小。

2．不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小。

方向2：复合函数的单调性应用

【例4】　(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________。

解析　(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减。而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]。

答案　(1)(－∞，4]　(2)(－∞，1]

求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断。

方向3：指数函数性质的综合问题

【例5】　(1)函数f(x)＝a＋(a，b∈R)是奇函数，且图象经过点，则函数f(x)的值域为(　　)

A．(－1,1)  B．(－2,2)

C．(－3,3)  D．(－4,4)

(2)若不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是________。

解析　(1)函数f(x)为奇函数，定义域是R，则f(0)＝a＋＝0①，函数图象过点，则f(ln3)＝a＋＝②。结合①②可得a＝1，b＝－2，则f(x)＝1－。因为ex>0，所以ex＋1>1，所以0<<2，所以－1<1－<1，即函数f(x)的值域为(－1,1)。

(2)从已知不等式中分离出实数a，得a>－。因为函数y＝x和y＝x在R上都是减函数，所以当x∈(－∞，1]时，x≥，x≥，所以x＋x≥＋＝，从而得－≤－。故实数a的取值范围为a>－。

答案　(1)A　(2)

指数函数性质的重点是其单调性，解题中注意利用单调性实现问题的转化。

【题点对应练】　

1．(方向1)已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1<bx<ax，则(　　)

A．0<b<a<1  B．0<a<b<1

C．1<b<a  D．1<a<b

解析　因为x>0时，1<bx，所以b>1。因为x>0时，bx<ax，所以x>0时，x>1。所以>1，所以a>b。所以1<b<a。故选C。

答案　C

2．(方向2)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则(　　)

A．f(x)是奇函数，且在(0,10)上是增函数

B．f(x)是偶函数，且在(0,10)上是增函数

C．f(x)是奇函数，且在(0,10)上是减函数

D．f(x)是偶函数，且在(0,10)上是减函数

解析　由得x∈(－10,10)，故函数f(x)的定义域为(－10,10)，关于原点对称，又f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，而f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)＝lg(100－x2)，y＝100－x2在(0,10)上递减，y＝lgx在(0，＋∞)上递增，故函数f(x)在(0,10)上递减。故选D。

答案　D

3．(方向3)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2]   B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞)   D．(－∞，－2]

解析　由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|。由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减。故选B。

答案　B

4．(方向3)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________。

解析　原不等式变形为m2－m<x，又y＝x在(－∞，－1]上是减函数，知x≥－1＝2。故原不等式恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2。

答案　(－1,2)

1．(配合例2使用)已知奇函数y＝若f(x)＝ax(a>0，a≠1)对应的图象如图所示，则g(x)＝(　　)

A．－x   B．－x

C．2－x   D．－2x

解析　由图象可知，当x>0时，函数f(x)单调递减，则0<a<1，因为f(1)＝，所以a＝，即函数f(x)＝x；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＝－g(x)，即g(x)＝－－x＝－2x，故g(x)＝－2x，x<0。

答案　D

2．(配合例4使用)已知函数f(x)＝log(3x2－ax＋5)在区间(－1，＋∞)内是减函数，则实数a的取值范围是________。

解析　令g(x)＝3x2－ax＋5，因为f(x)＝log(3x2－ax＋5)在区间(－1，＋∞)内是减函数，所以g(x)＝3x2－ax＋5在区间(－1，＋∞)内是增函数且g(x)>0在区间(－1，＋∞)内恒成立。所以

所以－8≤a≤－6，即a的取值范围是[－8，－6]。

答案　[－8，－6]

3．(配合例5使用)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－。

(1)若f(x)＝，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围。

解　(1)由f(x)＝⇒2x－＝⇒2·(2x)2－3·2x－2＝0⇒(2x－2)(2·2x＋1)＝0。

因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1。

(2)由2tf(2t)＋mf(t)≥0⇒2t＋m≥0⇒m(2t－2－t)≥－2t(22t－2－2t)。

又t∈[1,2]⇒2t－2－t>0⇒m≥－2t(2t＋2－t)，

即m≥－22t－1，只需m≥(－22t－1)max。

令y＝－22t－1，t∈[1,2]，

可得ymax＝－22－1＝－5，故m≥－5。