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2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章第一节 函数及其表示 学案
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第二章 函数、导数及其应用
第一节 函数及其表示
2019考纲考题考情
1．函数与映射的概念
2.函数的三要素
函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域。
3．函数的表示法
表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。
1．一种优先意识
函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则。
2．两个关注点
(1)分段函数是一个函数。
(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集。
3．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点。
一、走进教材
1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析 对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数。故选B。
答案 B
2．(必修1P25B组T1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________。
答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
二、走近高考
3．(2018·江苏高考)函数f(x)＝的定义域为________。
解析 要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞)。
答案 [2，＋∞)
4．(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析 当01，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，因为f(a)＝f(a＋1)，所以＝2a，解得a＝或a＝0(舍去)。所以f＝f(4)＝2×(4－1)＝6。当a≥1时，a＋1≥2，所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，所以2(a－1)＝2a，无解。综上f＝6。故选C。
解析：由f(x)的解析式可知其图象如图所示，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)在(0,1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递增。由f(a)＝f(a＋1)可知，自变量a和a＋1不可能同在单调区间(0,1)上，自变量a和a＋1也不可能同在单调区间[1，＋∞)上，因此自变量a和a＋1必须分别分布在两个不同的区间上。又a
答案 C
三、走出误区
微提醒：①对函数概念理解不透彻；②对分段函数解不等式时忘记范围；③换元法求解析式，反解忽视范围。
5．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________。(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝。
解析 对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数。
答案 ③
6．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________。
解析 因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解。当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1。当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10。综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0,10]。
答案 (－∞，－2]∪[0,10]
7．已知f()＝x－1，则f(x)＝________。
解析 令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)。
答案 x2－1(x≥0)
考点一 函数的定义域
【例1】 (1)(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f(x)＝＋ln(x＋4)的定义域为________。
(2)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8,1]，则函数g(x)＝的定义域是________。
解析 (1)要使函数f(x)有意义，需有解得－4
答案 (1)(－4,1] (2)∪(－2,0]
1．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍。
2．求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a
A．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
B．(－4,0)∪(0,1)
C．[－4,0)∪(0,1)
D．[－4,0)∪(0,1]
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 018]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[－1,2 017] B．[－1,1)∪(1,2 017]
C．[0,2 018] D．[－1,1)∪(1,2 018]
(3)若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________。
解析 (1)由解得－4≤x<0或0
答案 (1)C (2)B (3)－
考点二 求函数的解析式
【例2】 (1)已知二次函数f(x)满足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________。
(2)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________。
(3)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)。若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x<0时，f(x)＝________。
解析 (1)令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，所以f(t)＝42－6×＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)。
解法一(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9。
解法二(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c。因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得所以f(x)＝x2－5x＋9。
(2)因为2f(x)＋f＝3x ①，所以将x用替换，得2f＋f(x)＝ ②，由①②解得f(x)＝2x－(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)。
(3)(转换法)当－1≤x<0时，则0≤x＋1<1，故f(x＋1)＝(x＋1)(1－x－1)＝－x(x＋1)，又f(x＋1)＝2f(x)，所以－1≤x<0时，f(x)＝－。
答案 (1)x2－5x＋9 (2)2x－(x≠0)
(3)－
求函数解析式常用到如下方法
①待定系数法；②换元法；③配凑法；④转换法；⑤解方程组法。
【变式训练】 (1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________。
(2)已知f＝lgx，则f(x)＝________。
解析 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx。又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以解得a＝b＝。所以f(x)＝x2＋x(x∈R)。
(2)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)。
答案 (1)x2＋x(x∈R) (2)lg(x>1)
考点三 分段函数微点小专题
方向1：分段函数求值
【例3】 (2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________。
解析 因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4。因为在区间(－2,2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos＝。
答案
根据分段函数解析式求函数值。首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解，同时也要注意函数的奇偶性、周期性的应用。
方向2：求参数或自变量的值
【例4】 已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，0)
C．(0,2) D．(－2,0)
解析 二次函数f(x)＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，所以该函数在(－∞，0]上单调递减，所以x2－4x＋3≥3，同理f(x)＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，所以－x2－2x＋3<3。所以f(x)在R上单调递减，所以由f(x＋a)>f(2a－x)得x＋a<2a－x，即2x
此类问题有以下两种解法
1．解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可。
2．如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解。
【题点对应练】
1．(方向1)已知f(x)＝(0
C．3 D．－3
解析 由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5 ①，f(－1)＝a－1＋b＝3 ②，联立①②，结合0
2．(方向2)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A． B．[0,1]
C． D．[1，＋∞)
解析 由已知函数和f(f(a))＝2f(a)，得f(a)≥1。若a<1，则3a－1≥1，解得a≥，此时≤a<1；若a≥1，则2a≥1，解得a≥0，此时a≥1，综上可知a≥，即a的取值范围是。
答案 C
考点四 函数新定义问题
【例5】 (2019·洛阳高三统考)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0。
①f(x)＝sinx；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)。
以上四个函数中，“优美函数”的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调递减函数。对于①，f(x)＝sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”。故选B。
答案 B
所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现过或尚未介绍的一类函数。函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题。常见形式有：①讨论新函数的性质；②利用新函数进行运算；③判断新函数的图象；④利用新概念判断命题真假等。
【变式训练】 若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M，N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”。已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析 作出函数f(x)＝的图象如图所示，f(x)的“和谐点对”数可转化为y＝ex(x<0)和y＝－x2－4x(x<0)的图象的交点个数。由图象知，函数f(x)有2对“和谐点对”。
答案 B
1．(配合例1使用)已知集合M是函数y＝的定义域，集合N是函数y＝x2－4的值域，则M∩N＝( )
A．
B．
C．
D．∅
解析 由题意得M＝，N＝[－4，＋∞)，所以M∩N＝。故选B。
答案 B
2．(配合例2使用)已知f＝＋，则f(x)＝( )
A．(x＋1)2 (x≠1) B．(x－1)2 (x≠1)
C．x2－x＋1 (x≠1) D．x2＋x＋1 (x≠1)
解析 f＝＋＝2－＋1，令t＝，因为＝＋1≠1，所以t≠1，所以f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，所以f(x)＝x2－x＋1(x≠1)。故选C。
答案 C
3．(配合例3使用)已知函数f(x)＝则f的值为( )
A．－1 B．1
C． D．
解析 依题意得f＝f＋1＝f＋1＋1＝2cos＋2＝2×＋2＝1。故选B。
答案 B
4．(配合例4使用)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________。
解析 根据分段函数的性质分情况讨论，当x≤0时，则f(x)＋f＝x＋1＋x－＋1>1，解得－0时，根据指数函数的图象和性质以及一次函数的性质与图象可得，f(x)＋f>1恒成立，所以x的取值范围是。
答案
5．(配合例5使用)数学上称函数y＝kx＋b(k，b∈R，k≠0)为线性函数。对于非线性可导函数f(x)，在点x0附近一点x的函数值f(x)，可以用如下方法求其近似代替值：f(x)≈f(x0)＋f′(x0)(x－x0)。利用这一方法，m＝的近似代替值( )
A．大于m
B．小于m
C．等于m
D．与m的大小关系无法确定
解析 依题意，取f(x)＝，则f′(x)＝，所以≈＋(x－x0)。令x＝4.001，x0＝4，所以≈2＋×0.001。因为2＝4＋0.001＋2>4.001，所以m＝的近似代替值大于m。
答案 A
换元法求函数值
函数求值问题涉及很多方面：
1．分段函数求值问题，关键在于准确确定与自变量对应的函数解析式。
2．利用函数性质求值的关键在于利用函数的奇偶性、周期性或对称性等将自变量转化到已知区间内求解。
3．对于自变量之间存在某种特殊关系的函数求值问题，要注意与自变量对应的函数值之间关系的建立。
这里我们重点研究换元法求函数值，请看下面例子：
【典例】 设x∈R，若函数f(x)为单调递增函数，且对任意实数x，都有f(f(x)－ex)＝e＋1(e是自然对数的底数)，则f(ln2)的值等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 因为f(x)为单调递增函数，且对任意实数x，都有f(f(x)－ex)＝e＋1，所以f(x)－ex必然是一个常数，设f(x)－ex＝t(t为常数)，则f(x)＝ex＋t，故f(t)＝et＋t。由已知可得f(t)＝e＋1，所以et＋t＝e＋1。又函数y＝ex＋x在R上是单调递增的，显然t＝1，所以f(x)＝ex＋1，故f(ln2)＝eln2＋1＝3。故选C。
【答案】 C
先利用换元法，根据已知求出函数f(x)的解析式，然后代入求值。
【变式训练】 设定义在R上的函数f(x)满足f(tan2x)＝，则f＋f＋…＋f＋f＋f(0)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＋f(2 017)＝________。
解析 设t＝tan2x，则＝＝＝＝，所以f(t)＝。故f(t)＋f＝＋＝＋＝0。所以f＋f＋…＋f＋f＋f(0)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＋f(2 017)＝f(0)＝＝1。
答案 1
第一节 函数及其表示
2019考纲考题考情
1．函数与映射的概念
2.函数的三要素
函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域。
3．函数的表示法
表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。
1．一种优先意识
函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则。
2．两个关注点
(1)分段函数是一个函数。
(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集。
3．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点。
一、走进教材
1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析 对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数。故选B。
答案 B
2．(必修1P25B组T1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________。
答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
二、走近高考
3．(2018·江苏高考)函数f(x)＝的定义域为________。
解析 要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞)。
答案 [2，＋∞)
4．(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析 当0
解析：由f(x)的解析式可知其图象如图所示，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)在(0,1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递增。由f(a)＝f(a＋1)可知，自变量a和a＋1不可能同在单调区间(0,1)上，自变量a和a＋1也不可能同在单调区间[1，＋∞)上，因此自变量a和a＋1必须分别分布在两个不同的区间上。又a
答案 C
三、走出误区
微提醒：①对函数概念理解不透彻；②对分段函数解不等式时忘记范围；③换元法求解析式，反解忽视范围。
5．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________。(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝。
解析 对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数。
答案 ③
6．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________。
解析 因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解。当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1。当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10。综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0,10]。
答案 (－∞，－2]∪[0,10]
7．已知f()＝x－1，则f(x)＝________。
解析 令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)。
答案 x2－1(x≥0)
考点一 函数的定义域
【例1】 (1)(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f(x)＝＋ln(x＋4)的定义域为________。
(2)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8,1]，则函数g(x)＝的定义域是________。
解析 (1)要使函数f(x)有意义，需有解得－4
答案 (1)(－4,1] (2)∪(－2,0]
1．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍。
2．求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a
A．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
B．(－4,0)∪(0,1)
C．[－4,0)∪(0,1)
D．[－4,0)∪(0,1]
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 018]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[－1,2 017] B．[－1,1)∪(1,2 017]
C．[0,2 018] D．[－1,1)∪(1,2 018]
(3)若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________。
解析 (1)由解得－4≤x<0或0
答案 (1)C (2)B (3)－
考点二 求函数的解析式
【例2】 (1)已知二次函数f(x)满足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________。
(2)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________。
(3)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)。若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x<0时，f(x)＝________。
解析 (1)令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，所以f(t)＝42－6×＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)。
解法一(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9。
解法二(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c。因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得所以f(x)＝x2－5x＋9。
(2)因为2f(x)＋f＝3x ①，所以将x用替换，得2f＋f(x)＝ ②，由①②解得f(x)＝2x－(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)。
(3)(转换法)当－1≤x<0时，则0≤x＋1<1，故f(x＋1)＝(x＋1)(1－x－1)＝－x(x＋1)，又f(x＋1)＝2f(x)，所以－1≤x<0时，f(x)＝－。
答案 (1)x2－5x＋9 (2)2x－(x≠0)
(3)－
求函数解析式常用到如下方法
①待定系数法；②换元法；③配凑法；④转换法；⑤解方程组法。
【变式训练】 (1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________。
(2)已知f＝lgx，则f(x)＝________。
解析 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx。又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以解得a＝b＝。所以f(x)＝x2＋x(x∈R)。
(2)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)。
答案 (1)x2＋x(x∈R) (2)lg(x>1)
考点三 分段函数微点小专题
方向1：分段函数求值
【例3】 (2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________。
解析 因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4。因为在区间(－2,2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos＝。
答案
根据分段函数解析式求函数值。首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解，同时也要注意函数的奇偶性、周期性的应用。
方向2：求参数或自变量的值
【例4】 已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，0)
C．(0,2) D．(－2,0)
解析 二次函数f(x)＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，所以该函数在(－∞，0]上单调递减，所以x2－4x＋3≥3，同理f(x)＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，所以－x2－2x＋3<3。所以f(x)在R上单调递减，所以由f(x＋a)>f(2a－x)得x＋a<2a－x，即2x
此类问题有以下两种解法
1．解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可。
2．如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解。
【题点对应练】
1．(方向1)已知f(x)＝(0
C．3 D．－3
解析 由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5 ①，f(－1)＝a－1＋b＝3 ②，联立①②，结合0
2．(方向2)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A． B．[0,1]
C． D．[1，＋∞)
解析 由已知函数和f(f(a))＝2f(a)，得f(a)≥1。若a<1，则3a－1≥1，解得a≥，此时≤a<1；若a≥1，则2a≥1，解得a≥0，此时a≥1，综上可知a≥，即a的取值范围是。
答案 C
考点四 函数新定义问题
【例5】 (2019·洛阳高三统考)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0。
①f(x)＝sinx；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)。
以上四个函数中，“优美函数”的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调递减函数。对于①，f(x)＝sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”。故选B。
答案 B
所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现过或尚未介绍的一类函数。函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题。常见形式有：①讨论新函数的性质；②利用新函数进行运算；③判断新函数的图象；④利用新概念判断命题真假等。
【变式训练】 若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M，N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”。已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析 作出函数f(x)＝的图象如图所示，f(x)的“和谐点对”数可转化为y＝ex(x<0)和y＝－x2－4x(x<0)的图象的交点个数。由图象知，函数f(x)有2对“和谐点对”。
答案 B
1．(配合例1使用)已知集合M是函数y＝的定义域，集合N是函数y＝x2－4的值域，则M∩N＝( )
A．
B．
C．
D．∅
解析 由题意得M＝，N＝[－4，＋∞)，所以M∩N＝。故选B。
答案 B
2．(配合例2使用)已知f＝＋，则f(x)＝( )
A．(x＋1)2 (x≠1) B．(x－1)2 (x≠1)
C．x2－x＋1 (x≠1) D．x2＋x＋1 (x≠1)
解析 f＝＋＝2－＋1，令t＝，因为＝＋1≠1，所以t≠1，所以f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，所以f(x)＝x2－x＋1(x≠1)。故选C。
答案 C
3．(配合例3使用)已知函数f(x)＝则f的值为( )
A．－1 B．1
C． D．
解析 依题意得f＝f＋1＝f＋1＋1＝2cos＋2＝2×＋2＝1。故选B。
答案 B
4．(配合例4使用)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________。
解析 根据分段函数的性质分情况讨论，当x≤0时，则f(x)＋f＝x＋1＋x－＋1>1，解得－
答案
5．(配合例5使用)数学上称函数y＝kx＋b(k，b∈R，k≠0)为线性函数。对于非线性可导函数f(x)，在点x0附近一点x的函数值f(x)，可以用如下方法求其近似代替值：f(x)≈f(x0)＋f′(x0)(x－x0)。利用这一方法，m＝的近似代替值( )
A．大于m
B．小于m
C．等于m
D．与m的大小关系无法确定
解析 依题意，取f(x)＝，则f′(x)＝，所以≈＋(x－x0)。令x＝4.001，x0＝4，所以≈2＋×0.001。因为2＝4＋0.001＋2>4.001，所以m＝的近似代替值大于m。
答案 A
换元法求函数值
函数求值问题涉及很多方面：
1．分段函数求值问题，关键在于准确确定与自变量对应的函数解析式。
2．利用函数性质求值的关键在于利用函数的奇偶性、周期性或对称性等将自变量转化到已知区间内求解。
3．对于自变量之间存在某种特殊关系的函数求值问题，要注意与自变量对应的函数值之间关系的建立。
这里我们重点研究换元法求函数值，请看下面例子：
【典例】 设x∈R，若函数f(x)为单调递增函数，且对任意实数x，都有f(f(x)－ex)＝e＋1(e是自然对数的底数)，则f(ln2)的值等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 因为f(x)为单调递增函数，且对任意实数x，都有f(f(x)－ex)＝e＋1，所以f(x)－ex必然是一个常数，设f(x)－ex＝t(t为常数)，则f(x)＝ex＋t，故f(t)＝et＋t。由已知可得f(t)＝e＋1，所以et＋t＝e＋1。又函数y＝ex＋x在R上是单调递增的，显然t＝1，所以f(x)＝ex＋1，故f(ln2)＝eln2＋1＝3。故选C。
【答案】 C
先利用换元法，根据已知求出函数f(x)的解析式，然后代入求值。
【变式训练】 设定义在R上的函数f(x)满足f(tan2x)＝，则f＋f＋…＋f＋f＋f(0)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＋f(2 017)＝________。
解析 设t＝tan2x，则＝＝＝＝，所以f(t)＝。故f(t)＋f＝＋＝＋＝0。所以f＋f＋…＋f＋f＋f(0)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＋f(2 017)＝f(0)＝＝1。
答案 1
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