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    2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档:第三章第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 学案

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    第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

    2019考纲考题考情

     

    考纲要求

    考题举例

    考向标签

    1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2xcos2x1tanx

    2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±απ±α的正弦、余弦、正切的诱导公式

    2017·北京高考·T12(诱导公式、两角和差公式)

    2016·全国卷·T9(同角三角函数的关系、二倍角公式)

    2016·全国卷·T5(同角三角函数的关系、二倍角公式)

    命题角度:

    1.同角三角函数的基本关系

    2.诱导公式及应用

    核心素养:数学运算

     

    1同角三角函数的基本关系

    (1)平方关系:sin2αcos2α1

    (2)商数关系:tanα

    2三角函数的诱导公式

    公式一:sin(α2kπ)sinαcos(α2kπ)cosαtan(α2kπ)tanα,其中kZ

    公式二:sin(πα)sinαcos(πα)cosαtan(πα)tanα

    公式三:sin(α)sinαcos(α)cosαtan(α)=-tanα

    公式四:sin(πα)sinαcos(πα)cosαtan(πα)=-tanα

    公式五:sincosαcossinα

    公式六:sincosαcossinα

    1同角三角函数关系式的常用变形

    (sinα±cosα)21±2sinαcosα

    sinαtanα·cosα

    2.诱导公式的记忆口诀

    奇变偶不变,符号看象限,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化。

    一、走进教材

    1(必修4P196改编)已知sinααπ,则tanα(  )

    A.-2 B2

    C D

    解析 因为cosα=-=-=-,所以tanα=-

    答案 D

    2(必修4P20练习T4改编)化简________

    解析 sin2θ

    答案 sin2θ

    二、走近高考

    3(2016·全国卷)tanα,则cos2α2sin2α(  )

    A B

    C1 D

    解析 cos2α2sin2α

    答案 A

    4(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称。若sinα,则sinβ________

    解析 由题意可知角α在第一或第二象限,若角α与角β的终边关于y轴对称,则β2kππα(kZ),所以sinβsin(πα)sinα

    答案 

    三、走出误区

    微提醒:不会运用消元思想转化为关于tanx的齐次式;不会对式子变形,且不注意角的范围出错;诱导公式记忆不熟出错。

    5.已知tanx2,则sin2x1的值为(  )

    A0 B

    C D

    解析 sin2x1,故选B

    答案 B

    6.化简cosα sinα (  )

    Asinαcosα2 B2sinαcosα

    Csinαcosα Dcosαsinα

    解析 原式=cosα sinα cosα·sinα·,因为π<α<π,所以cosα<0sinα<0。所以原式=-(1sinα)(1cosα)sinαcosα2。故选A

    答案 A

    7.若sin(πα)=-,则sin(7πα)__________cos________

    解析 sin(πα)=-,得sinα,则sin(7πα)sin(πα)sinαcoscoscoscossinα

    答案  

    考点一  同角三角函数的基本关系

    方向1知一求二问题

    【例1】 (1)已知cosαkkRα,则sin(πα)(  )

    A.- B

    C± Dk

    (2)(2019·厦门质检)αsin(πα),则tanα(  )

    A.- B

    C.- D

    解析 (1)cosαkαsinα,所以sin(πα)=-sinα=-。故选A

    (2)因为αsinα,所以cosα=-,所以tanα=-

    答案 (1)A (2)C

    利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形。同角三角函数的基本关系本身是恒等式,也可以看作是方程,对于一些题,可利用已知条件,结合同角三角函数的基本关系列方程组,通过解方程组达到解决问题的目的。

    方向2:弦切互化

    【例2】 (1)(2019·河南平顶山、许昌两市联考)已知5,则cos2αsin2α的值是(  )

    A    B.-

    C3   D3

    (2)已知θ为第四象限角,sinθ3cosθ1,则tanθ________

    解析 (1)55,可得tanα2,则cos2αsin2αcos2αsinαcosα。故选A

    (2)(sinθ3cosθ)21sin2θcos2θ,得6sinθcosθ=-8cos2θ,又因为θ为第四象限角,所以cosθ0,所以6sinθ=-8cosθ,所以tanθ=-

    答案 (1)A (2)

    若已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值,则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式,代入正切值就可以求出这个分式的值,这是同角三角函数关系中的一类基本题型。

    方向3sinα±cosαsinαcosα关系的应用

    【例3】 (1)(2019·山西晋城一模)|sinθ||cosθ|,则sin4θcos4θ(  )

    A B

    C D

    (2)已知θ为第二象限角,sinθcosθ是关于x的方程2x2(1)xm0(mR)的两根,则sinθcosθ(  )

    A B

    C D

    解析 (1)因为|sinθ||cosθ|,两边平方,得1|sin2θ|。所以|sin2θ|。所以sin4θcos4θ12sin2θcos2θ1sin22θ。故选B

    (2)因为sinθcosθ是方程2x2(1)xm0(mR)的两根,所以sinθcosθsinθ·cosθ,可得(sinθcosθ)212sinθ·cosθ1m,解得m=-。因为θ为第二象限角,所以sinθ>0cosθ<0,即sinθcosθ>0,因为(sinθcosθ)212sinθ·cosθ1m1,所以sinθcosθ。故选B

    答案 (1)B (2)B

    对于sinαcosαsinαcosαsinαcosα这三个式子,知一可求二,若令sinαcosαt,则sinαcosαsinαcosα±(注意根据α的范围选取正、负号),体现了方程思想的应用。

    【题点对应练】 

    1(方向1)已知sin(πα)=-,则tan值为(  )

    A2 B2

    C D±2

    解析 因为sin(πα)=-,所以sinαcosα±tan±2。故选D

    答案 D

    2(方向2)已知tanθ2,则sin2θ的值为(  )

    A     B.

    C     D.

    解析 原式=sin2θ,将tanθ2代入,得原式=。故选C

    答案 C

     

    3.(方向2)若角α满足sinα2cosα0,则tan2α(  )

    A.-    B.

    C    D.

    解析 由题意知,tanα=-2tan2α。故选D

    解析:由题意知,sinα=-2cosαtan2α。故选D

    答案 D

    4(方向3)已知sinαcosαα[0π],则tanα(  )

    A.-    B.-

    C     D.

    解析 sinαcosα,左右两边平方,得12sinαcosα,即2sinαcosα=-<0。又α[0π],所以sinα>0cosα<0,即sinαcosα>0,因为(sinαcosα)212sinαcosα,所以sinαcosα,联立①②解得sinαcosα=-,则tanα=-

    答案 A

    考点二  诱导公式及应用

    【例4】 (1)已知f(α),则f(  )

    A B

    C D.-

    (2)已知cos(75°α),则sin(α15°)cos(105°α)的值是(  )

    A B

    C.- D.-

    解析 (1)f(α)cosα,则fcos

    (2)因为cos(75°α),所以sin(α15°)cos(105°α)sin[(α75°)90°]cos[180°(α75°)]=-cos(75°α)cos(75°α)=-

    答案 (1)A (2)D

    1已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解。转化过程中注意口诀奇变偶不变,符号看象限的应用。

    2.对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化。特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错。

    【变式训练】 (1)sin300°tan600°的值是(  )

    A.- B

    C.- D

    (2)sin,则cos________

    解析 (1)sin300°tan600°sin(60°)tan60°=-sin60°tan60°=-。故选B

    (2)因为sin,所以coscossin

    答案 (1)B (2)

    1(配合例2使用)已知αRsinα2cosα,则tanα________

    解析 由题意结合同角三角函数基本关系有解方程可得tanα3或-

    答案 3或-

    2(配合例2使用)若角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线yx上,则cos2α(  )

    A B

    C D

    解析 由题意易得tanαcos2α。故选B

    答案 B

    3(配合例3使用)已知sinαcosα,则tanα的值为(  )

    A.-1 B2

    C D2

    解析 因为sinαcosα,所以(sinαcosα)22,所以sinαcosα。所以tanα2。故选D

    答案 D

    4(配合例4使用)已知αsin,则cos(  )

    A B

    C.- D

    解析 因为sincos,所以cos。故选B

    答案 B

     

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