2021年九年级中考数学 圆专项 培优训练（含答案）

2021中考数学 圆专项 培优训练
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为 (　　)

A.32° B.31° C.29° D.61°

2. 如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的☉O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD=OD，AB=12，CD的长是 (　　)

A.2 B.2
C.3 D.4

3. 如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则☉O的半径为 (　　)

A.2 B.3 C.4 D.4-

4. 如图，将☉O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若☉O的半径为3，则的长为 (　　)

A.π B.π
C.2π D.3π

5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为(　　)
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
　　　

6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是(　　)
A. 2－π B. 4－π C. 2－π D. π


7. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为(　　)
A. 70°　　　　　　 B. 35°　　　　　　 C．20°　　　　　　 D. 40°


8. 如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为(　　)
A. B. C．π D．2π


9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是(　　)

A. 1＜r＜4
B. 2＜r＜4
C. 1＜r＜8
D. 2＜r＜8

10. 如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝4，则S阴影＝(　　)
A. 2π B. π C. π D. π
　　　

二、填空题（本大题共8道小题）
11. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是上一点，则∠D＝________．
　　


12. 如图，∠AOB=90°，∠B=30°，以点O为圆心，OA为半径作弧，交AB于点A，C，交OB于点D，若OA=3，则阴影部分的面积为　　　　. 


13. 如图①，把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图②所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于　　　　. 


14. 在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．

15. 如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝________．
　　　

16. 如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.


17. 若一个圆锥的底面圆半径为3 cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是________cm.

18. 在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10 m．拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2)．
(1)如图1，若BC＝4 m，则S＝________m2.
(2)如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变．则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.

① ②

三、解答题（本大题共8道小题）
19. 如图所示，☉O的半径为4，点A是☉O上一点，直线l经过点A.P是☉O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l于点B，交☉O于点E，直径PD的延长线交直线l于点F，点A是的中点.
(1)求证:直线l是☉O的切线;
(2)若PA=6，求PB的长.






20. 如图，☉O与△ABC的AC边相切于点C，与AB，BC边分别交于点D，E，DE∥OA，CE是☉O的直径.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若BD=4，CE=6，求AC的长.






21. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，＝，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
(1)求证：∠1＝∠BCE；
(2)求证：BE是⊙O的切线；
(3)若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA.






22. 如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F(靠近点C)作CE的平行线交AB于点G，连接CG.
(1)求证：AB＝CD；
(2)求证：CD2＝BE·BC；
(3)当CG＝，BE＝，求CD的长．






23. 已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．
（1）求AB的长；
（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．






24. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；
（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．

图1 图2 图3





25. 已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．





26. 如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．
（1）当时，求AP的长；
（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．

图1 图2 图3





2021中考数学 圆专项 培优训练-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】A　[解析]记线段OP交☉O于点F.连接CO，CF，
∵∠A=119°，∴∠BFC=61°，∴∠BOC=122°，∴∠COP=58°.
∵CP与圆相切于点C，∴OC⊥CP，
∴在Rt△OCP中，∠P=90°-∠COP=32°，故选A.


2. 【答案】A　[解析]∵☉O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO=90°，
∵AD=OD，∴tanA==，∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODB=∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C=∠ADO=90°，
∴∠ABC=60°，BC=AB=6，
∵∠CBD=30°，∴CD=BC=×6=2.故选A.

3. 【答案】A　[解析]设☉O与AC的切点为E，连接AO，OE，∵等边三角形ABC的边长为8，∴AC=8，∠C=∠BAC=60°.
∵圆分别与边AB，AC相切，∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∴∠AOC=90°，∴OC=AC=4.
∵OE⊥AC，∴OE=OC=2，∴☉O的半径为2.故选A.

4. 【答案】C　[解析]连接OA，OB，过点O作OD⊥AB交于点E，由题可知OD=DE=OE=OA，在Rt△AOD中，sinA==，∴∠A=30°，
∴∠AOD=60°，∠AOB=120°，∴的长==2π，故选C.


5. 【答案】B　【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∵＝，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF＝50°.

6. 【答案】A　【解析】设BC＝x，∵D为AB的中点，∴AB＝2BC＝2x, ∴在Rt△ABC中，由勾股定理有(2x)2－x2＝(2)2，解得x＝2，又∵sinA＝＝， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BCD＝×2×2－＝2－π.

7. 【答案】 D　【解析】∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠B＝20°，∴∠AOD＝∠B＋∠BDO＝2∠B＝2×20°＝40°.

8. 【答案】C　【解析】如解图，连接OE、OF，∵AB为⊙O的直径，AB＝12，∴AO＝OB＝6，∵⊙O与DC相切于点E，∴∠OEC＝90°，∵在▱ABCD中，∠C＝60°，AB∥DC，∴∠A＝∠C＝60°，∠AOE＝∠OEC＝90°，∵在△AOF中，∠A＝60°，AO＝FO，∴△AOF是等边三角形，即∠AOF＝∠A＝60°，∴∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝90°－60°＝30°，弧EF的长＝＝π.

解图

9. 【答案】B　【解析】连接AD，则AD＝＝＝5，∵⊙A与⊙D相交，∴3－r<5<3＋r，解得2＜r＜8，又∵点B在⊙D外，∴r
　　　　 解图


10. 【答案】 B　【解析】如解图，连接OC，设CD与OB交于点E，∵在⊙O中，弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝2，∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，在Rt△EOD中，OE＝＝2，∴OD＝4，∴BE＝OB－OE＝4－2＝2，在△DOE和△CBE中，CE＝DE，∠CEB＝∠DEO，OE＝BE，∴△DOE≌△CBE，∴S阴影＝S扇形OBD＝＝π.



二、填空题（本大题共8道小题）
11. 【答案】40°　【解析】AC是⊙O的直径⇒∠ABC＝90°⇒
⇒∠D＝∠A＝40°.

12. 【答案】π　[解析]连接OC，过点C作CN⊥AO于点N，CM⊥OB于点M，∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，∵OA=OC，∴△AOC为等边三角形，∵OA=3，∴CN=，CM=ON=，
∴S扇形AOC=π，S△AOC=，
在Rt△AOB中，OB=OA=3，S△OCB=，
∠COD=30°，S扇形COD=π，
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC+S△OCB-S扇形COD=π.


13. 【答案】4-π　[解析]如图，∵新的正方形的边长为1+1=2，∴恒星的面积=2×2-π×12=4-π，故答案为:4-π.


14. 【答案】24　【解析】设AB切⊙O于点E，如解图，连接EO并延长交CD于点M，∵C⊙O＝26π＝2πr，∴r＝13，∵AB∥CD，且AB与CD之间的距离为18，∴OM＝18－r＝5，∵AB为⊙O的切线，∴∠CMO＝∠AEO＝90°，∴在Rt△CMO中，CM＝＝12，∴CD＝2CM＝24.
解图

15. 【答案】2　【解析】如解图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝3×2＝6，AC＝2，∴BC＝＝＝4，∵∠D＝∠A，∴tanD＝tanA＝＝＝2.


16. 【答案】25　【解析】 如解图，取圆心为O，连接OA、OC，OC交AB于点D，则OC⊥AB.设⊙O 的半径为r，则OA＝OC＝r，又∵CD＝10，∴OD＝r－10，∵AB＝40，OC⊥AB，∴AD＝20.在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25，即脸盆的半径为25 cm.
　　　　



17. 【答案】 9　【解析】由n＝得120＝，解得l＝9.

18. 【答案】88π；　【解析】(1)因为AB＋BC＝10 m，BC＝4 m，则AB＝6 m，小狗活动的范围包括三个部分，第一部分是以点B为圆心，10为半径，圆心角为270°的扇面；第二部分是以C为圆心，6为半径，圆心角为90°的扇形，第三部分是以A为圆心，4为半径，圆心角为90°的扇形，则S＝＋＋＝88πm2；(2)当在右侧有一个等边三角形时，设BC＝x米，根据题意得S＝＋＋＝x2－πx＋π，所以当x＝－(－π)÷(2×)＝时，S最小，即此时BC的长为米．

三、解答题（本大题共8道小题）
19. 【答案】
解:(1)证明:连接OA.

∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA.
∵点A是的中点，
∴=，
∴∠DPA=∠APB，
∴∠OAP=∠APB.∴OA∥PB.
∵PB⊥l，∴OA⊥l，
∴直线l是☉O的切线.
(2)连接AD，∵PD是直径，
∴∠PAD=90°，∴∠PAD=∠PBA.
又∵∠DPA=∠APB，
∴△PAD∽△PBA，
∴=，即=，∴PB=.

20. 【答案】
解:(1)证明:连接OD，∵DE∥OA，
∴∠AOC=∠OED，∠AOD=∠ODE，
∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，
∴∠AOC=∠AOD，
又∵OA=OA，OD=OC，
∴△AOC≌△AOD(SAS)，∴∠ADO=∠ACO.
∵CE是☉O的直径，AC为☉O的切线，
∴OC⊥AC，∴∠OCA=90°，
∴∠ADO=∠OCA=90°，∴OD⊥AB.
∵OD为☉O的半径，
∴AB是☉O的切线.

(2)∵CE=6，∴OD=OC=3，
∵∠BDO=180°-∠ADO=90°，
∴BO2=BD2+OD2，
∴OB==5，
∴BC=8，
∵∠BDO=∠OCA=90°，∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴=，
∴=，
∴AC=6.

21. 【答案】
(1)证明：如解图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵＝，
∴AB＝BD
在△ABF与△DBE中，
，
∴△ABF≌△DBE(AAS)，
∴BF＝BE，
∵BE⊥DC，BF⊥AC，
∴∠1＝∠BCE；
(2)证明：如解图，连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠BAC＝90°，
∵∠BCE＋∠EBC＝90°，且∠1＝∠BCE，
∴∠BAC＝∠EBC，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∴∠EBC＝∠OBA，
∴∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝90°，
∴∠EBO＝90°，
又∵OB为⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；

解图
(3)解：在△EBC与△FBC中，

∴△EBC≌△FBC(AAS)，
∴CE＝CF＝1.
由(1)可知：AF＝DE＝1＋3＝4，
∴AC＝CF＋AF＝1＋4＝5，
∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝＝.

22. 【答案】
(1)证明：∵AC为直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴BC∥AD，
∴∠BCA＝∠CAD，
又∵AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA(AAS)，
∴AB＝CD；
(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心，
∴OA⊥AE，
即CA⊥AE，
∴∠EAB＋∠BAC＝90°，
而∠BAC＋∠BCA＝90°，
∴∠EAB＝∠BCA，
而∠EBA＝∠ABC，
∴△EBA∽△ABC，
∴＝，
∴AB2＝BE·BC，
由(1)知AB＝CD，
∴CD2＝BE·BC；
(3)解：由(2)知CD2＝BE·BC，
即CD2＝BC①，
∵FG∥BC且点F为AC的三等分点，
∴G为AB的三等分点，
即CD＝AB＝3BG，
在Rt△CBG中，CG2＝BG2＋BC2，
即3＝(CD)2＋BC2②，
将①代入②，消去CD得，
BC2＋BC－3＝0，
即2BC2＋BC－6＝0，
解得BC＝或BC＝－2(舍)③，
将③代入①得，CD＝.

23. 【答案】
（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE．
在Rt△AOE中，cos∠BAO＝，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2．
（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．
由△OAB∽△PAC，得．所以．所以．
在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝，得．
所以，．
在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得．
整理，得．定义域为x＞0．

图2 图3
（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．
因此．所以．
解方程，得．此时⊙P的半径为．
②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，．
如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．
所以．因此．
解方程，得．此时⊙P的半径为．

图4 图5 图6
考点伸展
第（3）题②也可以这样思考：
如图4，图5，图6，当∠OCA＝∠OPC时，3个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2．
这样，△CAO的三边长为、、3．△PAC的三边长为、、．

24. 【答案】
（1）在Rt△ABC中，AC＝6，，
所以AB＝10，BC＝8．
过点M作MD⊥AB，垂足为D．
在Rt△BMD中，BM＝2，，所以．
因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离．
（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．

图4
②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．
在Rt△BOM中，BM＝2，，所以．此时．
③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．
在Rt△BOE中，BE＝，，所以．此时．

图5 图6
（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．
当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．
在Rt△BNF中，BN＝y，，，所以，．
在Rt△ONF中，，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．
于是得到．
整理，得．定义域为0＜x＜5．

图7 图8
考点伸展
第（2）题也可以这样思考：
如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，，．
在Rt△OMF中，OF＝，所以．
在Rt△BPQ中，BP＝1，，．
在Rt△OPQ中，OF＝，所以．
①当MO＝MP＝1时，方程没有实数根．
②当PO＝PM＝1时，解方程，可得
③当OM＝OP时，解方程，可得．

25. 【答案】
（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于A(－1, 0)、B(4, 0)两点，
所以y＝a(x＋1)(x－4)＝ax2－3ax－4a．
所以－4a＝－2，b＝－3a．所以，．
所以。
顶点为．
（2）如图1，设抛物线与y轴的交点为D．

图1
由A(－1, 0)、B(4, 0)、D(0,－2)，可知．
所以△AOD∽△DOB．因此∠ADO＝∠DBO．
由于∠DBO与∠BDO互余，所以∠ADO与∠BDO也互余．
于是可得∠ADB＝90°．因此以AB为直径的圆经过点D．
当点P在x轴下方圆的内部时，∠APB为钝角，此时－1＜m＜0，或3＜m＜4．
（3）若m＞，当∠APB为直角时，点P与点D关于抛物线的对称轴对称，因此点P的坐标为(3,－2)．
如图2，由于点A、B、P、C是确定的，BB′、P′C′、PC平行且相等，所以A、B、P′、C′四点所构成的四边形中，AB和P′C′的长是确定的．
如图3，以P′C′、P′B为邻边构造平行四边形C′P′BB′，以直线为对称轴作点B′的对称点B′′，联结AB′′，那么AC′＋P′B的长最小值就是线段AB′′。
如图4，线段AB′′与直线的交点，就是四边形周长最小时点C′的位置．
如图2，点P(3,－2)先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，
如图3，点B(4, 0) 先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点．
所以点B′′的坐标为．
如图4，由，得．解得．
由于，所以抛物线向左平移了个单位．

图2 图3 图4
考点伸展
第（2）题不可回避要证明∠ADB＝90°，也可以根据勾股定理的逆定理证明．
由A(－1, 0)、B(4, 0)、D(0,－2)，得AB2＝25，AD2＝5， BD2＝20．
所以AB2＝AD2＋BD2．所以∠ADB＝90°．
第（3）题的运算量实在是太大了，很容易折磨同学们的自信．
求点B′的坐标，我们用了坐标平移的方法，比较简便．
求点C′的坐标，我们用了相似比的方法，回避了待定系数法更为繁琐的计算过程．

26. 【答案】
（1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．
在Rt△OAH中，OA＝3，，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32．
解得．所以．
（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．
又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．
因此，即．
由此得到．定义域是0＜x≤6．

图4 图5
（3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是⊙Q的半径．
在Rt△QPD中，，，因此．
如图7，设⊙M的半径为r．
由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝3－r．
由⊙M与⊙Q外切，，可得圆心距．
在Rt△QOM中，，OM＝3－r，，由勾股定理，得
．解得．

图6 图7 图8
考点伸展
如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M与⊙O、⊙Q都内切，那么⊙M的半径是多少？
同样的，设⊙M的半径为r．
由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝r－3．
由⊙M与⊙Q内切，，可得圆心距．
在Rt△QOM中，由勾股定理，得．解得r＝9．