2020届高考数学一轮复习单元检测04《三角函数解三角形》提升卷单元检测 理数（含解析）
展开单元检测四 三角函数、解三角形(提升卷)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间100分钟，满分130分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A．终边在x轴正半轴上的角是零角
B．三角形的内角必是第一、二象限内的角
C．不相等的角的终边一定不相同
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则角α与β的终边相同
答案 D
解析 对于A，因为终边在x轴正半轴上的角可以表示为α＝2kπ(k∈Z)，A错误；对于B，直角也可为三角形的内角，但不在第一、二象限内，B错误；对于C，例如30°≠－330°，但其终边相同，C错误，故选D.
2．已知角θ的终边经过点，则sin2的值为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 因为点在角θ的终边上，
所以cosθ＝－，则sin2＝＝，故选C.
3．(2019·四川成都龙泉驿区第一中学模拟)已知sin＝，则sin等于( )
A.B．－C．±D．－
答案 B
解析 ∵sin＝cos
＝cos＝，
∴sin＝cos
＝cos＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
4．(2018·南充模拟)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，若f(2017)＝－1，则f(2020)等于( )
A．1B．2C．0D．－1
答案 A
解析 由题知，f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，若f(2017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－1，则asinα＋bcosβ＝1，所以f(2020)＝asin(2020π＋α)＋bcos(2020π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1，故选A.
5．已知函数g(x)＝sinωx(ω>0)，若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为( )
A．2B．4C．5D．6
答案 A
解析 由已知，函数g(x)包含坐标原点的单调递增区间是.
若函数y＝g(x)在上为增函数，则⊆，只要≥，得ω≤2.
所以ω的最大值为2.
6．设a＝tan35°，b＝cos55°，c＝sin23°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
答案 A
解析 由题可知b＝cos55°＝sin35°，因为sin35°>sin23°，所以b>c，利用三角函数线比较tan35°和sin35°，易知tan35°>sin35°，所以a>b.综上，a>b>c，故选A.
7．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)是偶函数，则θ的最小正实数值是( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2·sin.因为f(x)为偶函数，所以当x＝0时，2x＋θ＋＝θ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝kπ＋(k∈Z)．当k＝0时，θ取得最小正实数值，故选B.
8．若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)等于( )
A.sin B.sin
C.sin D.sin
答案 C
解析 由题图知，函数f(x)的最小正周期T＝2＝8π，A＝，所以ω＝＝，
f(x)＝sin，由点在函数f(x)的图象上，可知sin＝0，又0<|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin.
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2bsinB＝(2a＋c)sinA＋(2c＋a)sinC．则角B的大小为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 由正弦定理得2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，化简得a2＋c2－b2＋ac＝0，所以cosB＝＝＝－，又B∈(0，π)，解得B＝，故选C.
10．已知函数f(x)＝sin2x－2cos2x，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x1)·g(x2)＝－4，则|x1－x2|的值可能为( )
A.B.C.D．π
答案 C
解析 由题意得f(x)＝sin2x－cos2x－1
＝2sin－1，则g(x)＝2sin，故函数g(x)的最小正周期T＝＝.由g(x1)·g(x2)＝－4，知g(x1)与g(x2)的值一个为2，另一个为－2，故|x1－x2|＝＝(k∈Z)．当k＝1时，|x1－x2|＝，故选C.
11．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，c2sinAcosA＋a2sinCcosC＝4sinB，cosB＝，已知D是AC上一点，且S△BCD＝，则等于( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 设＝＝＝k，则由c2sin A·cosA＋a2sin CcosC＝4sin B，得k2sin AsinC(sinC·cosA＋sinAcosC)＝4sinB，即k2sinAsinCsin(C＋A)＝4sinB，所以k2sinAsinC＝4，即ac＝4.又cosB＝，所以sinB＝，所以S△ABC＝acsinB＝，所以＝＝1－＝，故选A.
12．已知f(x)＝2sinωxcos2－sin2ωx(ω>0)在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 f(x)＝sinωx(1＋sinωx)－sin2ωx＝sinωx，所以是含原点的单调递增区间，因为函数f(x)在区间上是增函数，所以⊆，所以解得ω≤.又ω>0，所以0<ω≤.因为函数f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以≤π<，解得≤ω<.综上ω的取值范围为，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知锐角α满足cos＝cos2α，则sinαcosα＝________.
答案
解析 由cos＝cos2α，得(cosα＋sinα)＝cos2α－sin2α，因为cosα＋sinα≠0，所以可化简得cosα－sinα＝，即(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，解得sinα·cosα＝.
14．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．高一某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm，则制作这样一面扇面需要的布料为________cm2.
答案 450π
解析 由扇形的面积公式，知制作这样一面扇面需要的布料为××60×60－××30×30＝450π(cm2)．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝，△ABC的面积为，且tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)，则a＋b＝________.
答案
解析 由tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)，
得tan(A＋B)＝＝－，又A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＝，所以C＝.由S△ABC＝absinC＝，得ab＝6.又cosC＝＝＝，解得a＋b＝.
16．已知函数f(x)＝sin－cos，若存在x1，x2，…，xn满足0≤x1<x2<…<xn≤6π，且|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|＝12(n≥2，n∈N*)，则n的最小值为________．
答案 8
解析 f(x)＝sin－cos
＝sin＝sinx．由y＝sinx的图象知，对xi，xi＋1(i＝1,2,3，…，n)有|f(xi)－f(xi＋1)|max＝f(x)max－f(x)min＝2，则要使n取得最小值，应尽可能多的使xi(i＝1,2,3，…，n)取得极值点，所以在区间[0,6π]上，
当xi的值分别为x1＝0，x2＝，x3＝，x4＝，x5＝，x6＝，x7＝，x8＝6π时，n取得最小值8.
三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.
(1)求tan2α的值；
(2)求β.
解 (1)由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝，
∴tanα＝＝×＝4，
∴tan2α＝＝＝－.
(2)由0<β<α<，得0<α－β<，
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝，∴β＝.
18．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝－对称，且图象上相邻的两个最高点之间的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
解 (1)因为函数f(x)的图象上相邻的两个最高点之间的距离为π，所以T＝＝π，解得ω＝2.
因为函数f(x)的图象关于直线x＝－对称，
所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
解得φ＝＋kπ(k∈Z)．
又－<φ<，所以φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝sin，
因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，
所以－≤sin≤1，
则－≤f(x)≤.
所以当x∈时，函数f(x)的值域为.
19．(13分)在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C.A，B，C都不是直角，且accosB＋bccosA＝a2－b2＋8cosA.
(1)若sinB＝2sinC，求b，c的值；
(2)若a＝，求△ABC面积的最大值．
解 (1)∵ac·＋bc·
＝a2－b2＋8cosA，
∴b2＋c2－a2＝8cosA，
∴2bccosA＝8cosA，
∵cosA≠0，∴bc＝4.
又∵sinB＝2sinC，
由正弦定理，得b＝2c，∴b＝2，c＝.
(2)a2＝b2＋c2－2bccosA≥2bc－2bccosA，
即6≥8－8cosA，
∴cosA≥，当且仅当b＝c时取等号．
∴sinA≤，∴S＝bcsinA≤，
∴△ABC面积的最大值为.
20．(13分)已知函数f(x)＝sin＋2sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)确定函数f(x)在[0，π]上的单调性；
(3)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若f＝，b＋c＝7，△ABC的面积为2，求边a的长．
解 (1)f(x)＝sin2xcos＋cos2xsin＋1－cos2x＝sin＋1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
同理f(x)的单调递增区间为，k∈Z，
故f(x)在上为减函数，
在和上为增函数．
(3)∵f(x)＝sin＋1，f＝，
∴sin＝，又－<A－<，∴A＝.
∵△ABC的面积为2，∴bcsin＝2，解得bc＝8.
∵b＋c＝7，∴a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc＝25，
∴a＝5.
