2020版高考数学一轮复习课后限时集训26《平面向量的数量积与平面向量应用举例》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(二十六)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．在边长为1的等边△ABC中，设=a，=b，=c，则a·b＋b·c＋c·a=(　　)

A．－　　　　B．0　　　　C．　　　　D．3

A　[依题意有a·b＋b·c＋c·a=＋＋=－.]

2．(2019·合肥模拟)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|=2且a⊥(a－2b)，则|b|=(　　)

A． B．2

C．2 D．4

B　[由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)=|a|2－2a·b=0.又∵|a－b|=2，∴|a－b|2=|a|2－2a·b＋|b|2=4，则|b|2=4，|b|=2，故选B.]

3．(2019·昆明模拟)已知平行四边形OABC中，O为坐标原点，A(2,2)，C(1，－2)，则·=(　　)

A．－6 B．－3

C．3 D．6

B　[=(2,2)，=(1，－2)，则=＋=(3,0)，又=(－1，－4)，所以·=3×(－1)＋0×(－4)=－3.故选B.]

4．已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1，2)，D(1,5)，则向量在方向上的投影为(　　)

A． B．－

C． D．－

D　[∵=(－1,1)，=(3,2)，

∴在方向上的投影为||cos〈，〉====－.故选D.]

5．已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)

A． B．

C． D．

C　[∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)=0，

∴2|a|2＋a·b=0，

即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉=0.

∵|b|=4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉=0，

∴cos〈a，b〉=－，∵0≤〈a，b〉≤π.

∴〈a，b〉=.]

二、填空题

6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a=(x，x＋1)，b=(1,2)，且a⊥b，则x=________.

－　[∵a⊥b，∴a·b=0，即x＋2(x＋1)=0，∴x=－.]

7．已知a=，b=，则|a－b|=________.

　[由题意知|a|=|b|=1，a·b=coscos＋sinsinπ=cos=cos=－.所以|a－b|2=a2－2a·b＋|b|2=2＋2×=3，即|a－b|=.]

8．已知锐角三角形ABC中，||=4，||=1，△ABC的面积为，则·=________.

2　[由S△ABC=||||sin A=得sin A=，又A∈，则A=，故·=||||cos A=4×1×=2.]

三、解答题

9．已知|a|=4，|b|=3，(2a－3b)·(2a＋b)=61.

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求|a＋b|；

(3)若=a，=b，求△ABC的面积．

[解]　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)=61，

所以4|a|2－4a·b－3|b|2=61.

又因为|a|=4，|b|=3，所以64－4a·b－27=61，

所以a·b=－6.

所以cos θ===－.

又因为0≤θ≤π，所以θ=.

(2)|a＋b|2=(a＋b)2=|a|2＋2a·b＋|b|2=42＋2×(－6)＋32=13，所以|a＋b|=.

(3)因为与的夹角θ=，所以∠ABC=π－=.

又因为||=|a|=4，||=|b|=3，

所以S△ABC=||·||sin∠ABC=×4×3×=3.

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(cos(A－B)，sin(A－B))，n=(cos B，－sin B)，且m·n=－.

(1)求sin A的值；

(2)若a=4，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．

[解]　(1)由m·n=－，

得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B=－，

化简得cos A=－.因为0＜A＜π，

所以sin A===.

(2)由正弦定理，得=，

则sin B===，

因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC一内角，则B=.

由余弦定理得(4)2=52＋c2－2×5c×，

解得c=1，c=－7(舍去)，

故向量在方向上的投影为||cos B=ccos B=1×=.

B组　能力提升

1．(2019·黄冈模拟)已知=(cos 23°，cos 67°)，=(2cos 68°，2cos 22°)，则△ABC的面积为(　　)

A．2　　　　B.　　　　C．1　　　　D.

D　[因为=(cos 23°，sin 23°)，=(2sin 22°，2cos 22°)，

所以cos〈，〉=

=sin 45°=.

所以与的夹角为45°，故∠ABC=135°.

所以S△ABC=||||sin 135°=×1×2×=，故选D.]

2．(2019·太原模拟)向量a，b满足|a＋b|=2|a|，且(a－b)·a=0，则a，b的夹角的余弦值为(　　)

A．0 B．

C． D．

B　[(a－b)·a=0⇒a2=b·a，|a＋b|=2|a|⇒a2＋b2＋2a·b=12a2⇒b2=9a2，所以cos〈a，b〉===.]

3．已知点O为△ABC的外心，且||=4，||=2，则·=________.

6　[因为点O为△ABC的外心，且||=4，||=2，

所以·=·(－)

=·－·

=||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉

=||||×－||||×=6.]

4．(2019·合肥模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a，b，c成等比数列，cos B=.

(1)求＋的值；

(2)设·=，求a＋c的值．

[解]　(1)由cos B=，0＜B＜π得sin B==，

∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，

由正弦定理，可得sin2B=sin Asin C，

于是＋=＋=

====.

(2)由·=得cacos B=，而cos B=，∴b2=ac=2，由余弦定理，得b2=a2＋c2－2accos B，∴a2＋c2=5，∴(a＋c)2=5＋2ac=9，∴a＋c=3.