2020版高考数学一轮复习课后限时集训22《正弦定理与余弦定理三角形中的几何计算》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(二十二)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos B=sin C，那么△ABC一定是(　　)

A．直角三角形　　 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

B　[法一：由已知得2sin Acos B=sin C=sin(A＋B)=sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)=0，因为－π＜A－B＜π，所以A=B.

法二：由正弦定理得2acos B=c，再由余弦定理得2a·=c⇒a2=b2⇒a=b.]

2．在△ABC中，已知b=40，c=20，C=60°，则此三角形的解的情况是(　　)

A．有一解 B．有两解

C．无解 D．有解但解的个数不确定

C　[由正弦定理得=，

∴sin B===＞1.

∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]

3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

A　[由余弦定理得AB2=AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13=AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4=0，解得AC=1或AC=－4(舍去)．故选A．]

4．(2019·长春模拟)△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于(　　)

A． B．

C．或 D．或

D　[由余弦定理得AC2=AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，

即1=3＋BC2－3BC，解得BC=1或BC=2，

当BC=1时，△ABC的面积S=AB·BCsin B=××1×=.

当BC=2时，△ABC的面积S=AB·BCsin B=××2×=.

总上之，△ABC的面积等于或.]

5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sin A=(　　)

A． B．

C． D．

D　[过A作AD⊥BC于D，设BC=a，由已知得AD=.∵B=，∴AD=BD，∴BD=AD=，DC=a，

∴AC==a，在△ABC中，由正弦定理得=，

∴sin ∠BAC=，故选D.]

二、填空题

6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cos C=－，3sin A=2sin B，则c=________.

4　[由3sin A=2sin B及正弦定理，得3a=2b，所以b=a=3.由余弦定理cos C=，得－=，解得c=4.]

7．(2019·青岛模拟)如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为________．

　[∵sin∠BAC=sin(90°＋∠BAD)=cos∠BAD=，

∴在△ABD中，有BD2=AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，

∴BD2=18＋9－2×3×3×=3，

∴BD=.]

8．设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sin C=4sin A，(ca＋cb)(sin A－sin B)=sin C(2－c2)，则△ABC的面积为________．

　[由a2sin C=4sin A得ac=4，由(ca＋cb)·(sin A－sin B)=sin C(2－c2)得(a＋b)(a－b)=2－c2，即a2＋c2－b2=2，所以cos B=，则sin B=，所以S△ABC=acsin B=.]

三、解答题

9．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sin Asin C．

(1)若a=b，求cos B；

(2)设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

[解]　(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.

又a=b，可得b=2c，a=2c.

由余弦定理可得cos B==.

(2)由(1)知b2=2ac.

因为B=90°，由勾股定理得a2＋c2=b2，

故a2＋c2=2ac，进而可得c=a=.

所以△ABC的面积为××=1.

10．(2019·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A=(2c＋a)cos(π－B)．

(1)求角B的大小；

(2)若b=4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

[解]　(1)∵bcos A=(2c＋a)cos(π－B)，∴bcos A=(2c＋a)(－cos B)．

由正弦定理可得，sin Bcos A=(－2sin C－sin A)cos B，

即sin(A＋B)=－2sin Ccos B=sin C．

又角C为△ABC的内角，∴sin C＞0，

∴cos B=－.

又B∈(0，π)，∴B=.

(2)由S△ABC=acsin B=，得ac=4.

又b2=a2＋c2＋ac=(a＋c)2－ac=16.

∴a＋c=2，∴△ABC的周长为4＋2.

B组　能力提升

1．(2019·佛山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，c=2，且C=，则△ABC的面积为(　　)

A．＋1　　　B.－1　　　C．4　　　D．2

A　[法一：由余弦定理可得(2)2=22＋a2－2×2×a×cos，即a2－2a－4=0，解得a=＋或a=－(舍去)，△ABC的面积S=absin C=×2×(＋)sin=×2××(＋)=＋1，选A．

法二：由正弦定理=，得sin B==，又c＞b，且B∈(0，π)，所以B=，所以A=，所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×2sin=×2×2×=＋1.]

2．在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则BC边上的高为(　　)

A． B．

C． D．

B　[在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2＋BC2－2AB×BC×cos B，因为AC=，BC=2，B=60°，所以7=AB2＋4－4×AB×，所以AB2－2AB－3=0，所以AB=3，作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ADB中，AD=AB×sin 60°=，即BC边上的高为，故选B.]

3．(2019·宝鸡模拟)如图，在Rt△ABC中，两条直角边分别为AB，BC，且AB=2，BC=2，P为△ABC内一点，∠BPC=90°.若PB=1，则PA=________.

　[依题意，在Rt△ABC中，AC==4，sin∠ACB==，所以∠ACB=60°.在Rt△PBC中，PC==，sin∠PCB==，∠PCB=30°，因此∠ACP=∠ACB－∠PCB=30°.在△ACP中，AP==.]

4．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,1＋=.

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，求函数y=2sin2B－2sin Bcos C的取值范围；

(3)现在给出下列三个条件：①a=1；②2c－(＋1)b=0；③B=，试从中选择两个条件以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．

[解]　(1)因为1＋=，所以由正弦定理，得1＋==.

因为A＋B＋C=π，所以sin(A＋B)=sin C，

所以=，

所以cos A=，故A=.

(2)因为A＋B＋C=π，A=，

所以B＋C=.

所以y=2sin2B－2sin Bcos C

=1－cos 2B－2sin Bcos

=1－cos 2B＋sin Bcos B－sin2B

=1－cos 2B＋sin 2B－＋cos 2B

=＋sin 2B－cos 2B

=sin＋.

又△ABC为锐角三角形，

所以＜B＜⇒＜2B－＜，

所以＜sin＜1，

所以y=sin＋∈.

(3)法一：选择①②，可确定△ABC．

因为A=，a=1,2c－(＋1)b=0，

由余弦定理，得12=b2＋2－2b·b·，

整理得b2=2，b=，c=，

所以S△ABC=bcsin A=×××=.

法二：选择①③，可确定△ABC．

因为B=，所以C=.

又sin=sin=sincos＋cossin=，

故由正弦定理得c===，

所以S△ABC=acsin B=×1××=.