2020版高考数学一轮复习课后限时集训30《等比数列及其前n项和》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(三十)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．(2019·成都模拟)在等比数列{an}中，已知a3=6，a3＋a5＋a7=78，则a5=(　　)

A．12　　　B．18　　　C．36　　　D．24

B　[由题意知，a5＋a7=72，即6q2＋6q4=72，

解得q2=3，所以a5=a3q2=6×3=18，故选B.]

2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　)

A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列

B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列

C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列

D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列

C　[两个等比数列的和不一定是等比数列，但两个等比数列的积一定是等比数列，故选C．]

3．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)

A．－24 B．－3

C．3 D．8

A　[由已知条件可得a1=1，d≠0，

由a=a2a6可得(1＋2d)2=(1＋d)(1＋5d)，解得d=－2.

所以S6=6×1＋=－24.

故选A．]

4．(2019·洛阳模拟)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2=0的根，则的值为(　　)

A．－ B．－

C． D．－或

B　[∵{an}为等比数列，∴a2·a16=a3·a15=a，

由题意得∴a=2，

由上式可知，a3＜0，a15＜0；则a9＜0，

∴=a9=－.]

5．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)

A．1盏 B．3盏

C．5盏 D．9盏

B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7=381，q=2，

∴S7===381，解得a1=3.

故选B.]

二、填空题

6．(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=－1，a4=b4=8，则=________.

1　[设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

则由a4=a1＋3d，得d===3，

由b4=b1q3得q3===－8，∴q=－2.

∴===1.]

7．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n项和Sn=________.

2n－1　[设等比数列的公比为q，

则有

解得或

又{an}为递增数列，所以

所以Sn==2n－1.]

8．(2019·惠州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1＋2S2=3S3，则{an}的公比等于________．

－　[由S1＋2S2=3S3得a1＋2(a1＋a2)=3(a1＋a2＋a3)，

所以3a3=－a2，即=－.]

三、解答题

9．(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn＋1＋bn＋1=nbn.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{bn}的前n项和．

[解]　(1)由已知，a1b2＋b2=b1，b1=1，b2=，得a1=2.

所以数列{an)是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an=3n－1.

(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1=nbn，得bn＋1=，

因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．

记{bn}的前n项和为Sn，

则Sn==－.

10．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=－6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．

[解]　(1)设{an}的公比为q.由题设可得

解得q=－2，a1=－2.

故{an}的通项公式为an=(－2)n.

(2)由(1)可得

Sn==－＋(－1)n.

由于Sn＋2＋Sn＋1=－＋(－1)n

=2=2Sn，

故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．

B组　能力提升

1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=(　　)

A．2 B．

C． D．3

B　[法一：由等比数列的性质及题意，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6=3S3，∴=，即S9－S6=4S3，S9=7S3，∴=.

法二：=1＋=1＋q3=3，所以q3=2.

则===.]

2．在递增的等比数列{an}中，已知a1＋an=34，a3·an－2=64，且前n项和Sn=42，则n等于(　　)

A．3 B．4

C．5 D．6

A　[因为{an}为等比数列，

所以a3·an－2=a1·an=64.

又a1＋an=34.

所以a1，an是方程x2－34x＋64=0的两根，

解得或

又因为{an}是递增数列，所以

由Sn===42，

解得q=4.

由an=a1qn－1=2×4n－1=32，

解得n=3.故选A．]

3．在数列{an}中，若a1=1，an＋an＋1=(n∈N*)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2n=________.

　[由an＋an＋1=得a1＋a2=，a3＋a4=，a5＋a6=，…，a2n－1＋a2n=，所以a1＋a2＋…＋a2n=＋＋＋…＋==.]

4．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1=a1，bn=an－an－1(n≥2)，且an＋Sn=n.

(1)设cn=an－1，求证：{cn}是等比数列；

(2)求数列{bn}的通项公式．

[解]　(1)证明：∵an＋Sn=n，①

∴an＋1＋Sn＋1=n＋1，②

②－①得an＋1－an＋an＋1=1，即2an＋1=an＋1，

∴2(an＋1－1)=an－1，即2cn＋1=cn.

由a1＋S1=1得a1=，∴c1=a1－1=－，

从而cn≠0，∴=.

∴数列{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．

(2)由(1)知cn=－×n－1=－n，

又cn=an－1，∴an=cn＋1=1－n，

∴当n≥2时，

bn=an－an－1=1－n－=n.

又b1=a1=，适合上式，故bn=n.